直线测试题一.选择题(每小题5分共40分) 1. 下列四个命题中的真命题是( )A.经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示;B.经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程 (y -y 1)·(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示;C.不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示; D.经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示。
【答案】B【解析】A 中过点P 0(x 0,y 0)与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y -y 0=k (x -x 0)表示,因为其斜率k 不存在;C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b (b ≠0)或x =a (a ≠0)不能用方程bya x +=1表示;D 中过A (0,b )的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示.评述:本题考查直线方程的知识,应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围.2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2【答案】D【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1<0,直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角,且α2>α3,所以k 2>k 3>0,因此k 2>k 3>k 1,故应选D.3. 两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是( ) A. A 1A 2+B 1B 2=0 B.A 1A 2-B 1B 2=0 C.12121-=B B A A D.2121A A BB =1 【答案】A【解析】法一:当两直线的斜率都存在时,-11B A ·(22B A -)=-1,A 1A 2+B 1B 2=0. 当一直线的斜率不存在,一直线的斜率为0时,⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==0001221B A B A 或,图1同样适合A 1A 2+B 1B 2=0,故选A. 法二:取特例验证排除.如直线x +y =0与x -y =0垂直,A 1A 2=1,B 1B 2=-1,可排除B 、D. 直线x =1与y =1垂直,A 1A 2=0,B 1B 2=0,可排除C ,故选A.评述:本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点,重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.4. 若直线l :y =kx 3-与直线2x +3y -6=0的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.)3,6[ππB.)2,6(ππ C.)2,3(ππ D.]2,6[ππ【答案】B【解析】法1:求出交点坐标,再由交点在第一象限求得倾斜角的范围:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎩⎨⎧=-+-=k k y kx y x kx y 3232632)32(306323 ∵交点在第一象限,∴⎩⎨⎧>>00y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->++032326032)32(3kk k解得k ∈(33,+∞), ∴倾斜角范围为(2,6ππ)法2:如图,直线2x +3y -6=0过点A (3,0),B (0,2),直线l 必过点(0,-3),当直线过A 点时,两直线的交点在x 轴,当直线l 绕C 点逆时针旋转时,交点进入第一象限,从而得出结果.5. 设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长,则直线sin A ·x +ay +c =0与bx -sin B ·y +sin C =0的位置关系是( )A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直【答案】C【解析】由题意知a ≠0,s i n B ≠0,两直线的斜率分别是k 1=-a A sin ,k 2=Bbsin . 由正弦定理知k 1·k 2=-a A sin ·Bbsin =-1,故两直线垂直. 评述:本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.6. 已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax -y =0,其中a 为实数,当这两条直线的夹角在(0,12π)内变动时,a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(3,33) C.(33,1)∪(1,3) D.(1,3) 【答案】C【解析】直线l 1的倾斜角为4π,依题意l 2的倾斜角的取值范围为(4π-12π,4π)∪(4π,4π+12π)即:(6π,4π)∪(4π,3π),从而l 2的斜率k 2的取值范围为:(33,1)∪(1,3). 评述:本题考查直线的斜率和倾斜角,两直线的夹角的概念,以及分析问题、解决问题的能力. 7. 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα,,则( ) A .221a b +≤ B .221a b +≥ C .22111a b +≤ D .22111a b+≥【答案】D 本题是训练思路的极好素材,看能否找到10种解法?8.已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( )A .(0,1)B .21(1,)22-( C) 21(1,]23-D .11[,)32【答案】B二.填空题(每小题5分,共30分)9.过点)3,2(P ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 【解析】错解:设所求直线方程为1x y a a+=-,过点)3,2(P ,则有2311a a a-=⇒=- ∴直线的方程为01=+-y x .错因:少了直线经过原点的情况,故还有x y 23=,即023=-y x 也适合题意. 10. 与直线0532=++y x 平行,且距离等于13的直线方程是 . 【解析】设所求直线方程为032=++m y x ,则1332522=+-m ,解得18=m 或8-=m ,∴直线方程为01832=++y x 或0832=-+y x .11. 直线l 经过点)3,2(P ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线l 的方程为 .【解析】依题意,直线l 的斜率为±1,∴直线l 的方程为23-=-x y 或)2(3--=-x y ,即01=+-y x 或05=-+y x .12. 在△ABC 中,BC 边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0,∠A 的平分线所在的直线方程为y=0,若点B 的坐标为(1,2),则点A 和点C 的坐标分别为 。
【答案】(1,0),(5,6)--13.光线自点)3,2(M 射到点)0,1(N 后被x 轴反射,则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】330x y +-=14.若ABC ∆的顶点)4,3(A ,)0,6(B ,)2,5(--C ,则A ∠的平分线AT 所在直线方程为 .【解析】如图,在此对图形特征从不同角度给予分析以获得解题思路:法1 AB 的方程为4(6)43243y x x y =--⇒+-AC 的方程为3374(3)444y x y x -=-⇒=+3470x y ⇒-+=设直线AT 的斜率为k ,则用到角公式可得433443(34)3411()43k k k k k k ---=⇒-=±+++-,解得7k =或17k =-(舍去)所以有47(3)7170y x x y -=-⇒--=。
法2 3tan 4AC k α==,如图有314tan(45)7314AT k α+=+==-,下略。
法3 取直线CA,TA,BA 的方向向量分别为12(4,3),(1,),(3,4)v v k v ===-,则1212cos 43347.v v v v k k k v vv vθ==⇒+=-+⇒=Bα45法4 设AT 上任意一点坐标为(a,b ),则43243474324(347)55x y x y x y x y ++-+=⇒++=±-+检验,舍去一个即可。
三.解答题(满分30分)15.(7分)已知点)2,5(),1,1(B A -,直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半,求直线l 的斜率. 【解析】设直线l 的倾斜角为α,则直线AB 的倾斜角为α2,依题意有4315)1(22tan =---=α,∴43tan 1tan 22=-αα,即03tan 8tan 32=-+αα, ∴31tan =α或3tan -=α. 由0018020≤≤α,得0900≤≤α,有0tan ≥α, ∴31tan =α,∴直线l 的斜率为31.16. (7分)已知三条直线0,0134,0532=-=+-=++y mx y x y x 不能构成三角形,求实数m 的值. 【解析】依题意,当三条直线中有两条平行或重合,或三条直线交于一点时,三条直线不能构成三角形,故23m =-或34=m 或1=m ,∴实数m 的取值集合是24,,133⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 17. (8分)已知点)15,2(),5,3(B A -,在直线0443:=+-y x l 上求一点P ,使PB PA +最小.【解析】由题意知,点A 、B 在直线l 的同一侧.由平面几何性质可知,先作出点A 关于直线l 的对称点'A ,然后连结B A ',则直线B A '与l 的交点P 为所求.事实上,设点'P 是l 上异于P 的点,则PB PA B A B P A P B P A P +=>+=+''''''.设),('y x A ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋅--⋅-=⋅+-0425423314335y x x y ,解得⎩⎨⎧-==33y x ,∴)3,3('-A ,∴直线B A '的方程为05118=-+y x .由⎩⎨⎧=-+=+-051180443y x y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==338y x ,∴)3,38(P .18. (8分)在直角坐标系中,设矩形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t ∈(0,+∞).求矩形OPQR 在第一象限部分的面积S (t ).【解析】(1)当1-2t >0即0<t <21时,如图7—13,点Q 在第一象限时,此时S (t )为四边形OPQK 的面积,直线QR 的方程为y -2=t (x +2t ).令x =0,得y =2t 2+2,点K 的坐标为(P ,2t 2+2).t t t S S S OKR OPQR OPQK 2)22(21)1(2222⋅+-+=-=)1(232t t t -+-=当-2t +1≤0,即t ≥21时,如图7—14,点Q 在y 轴上或第二象限,S (t )为△OP L的面积,直线PQ 的方程为y -t =-t1(x -1),令x =0得y =t +t1,点L 的坐标为(0,t +t1),S △OPL =1)1(21⋅+t t )1(21tt += 所以S (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-21 )1(21210 )1(232t t t t t t t附加题(计入总分,每题5分,但总分不超过100分):1.已知长方形的四个顶点)0,0(A 、)0,2(B 、)1,2(C 和)1,0(D ,一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P (入射角等于反射角).设4P 的坐标为)0,(4x .若412x <<,则θtan 的取值范围是( )A.)1,31(B.)32,31(C.)21,52(D.)32,52(【解析】用特例法,取14=x ,则1P 、2P 、3P 、4P 分别为BC 、CD 、DA 、AB 的中点,此时21tan =θ.依题图7—13图7—14意,包含21tan =θ的选项(A )(B )(D )应排除,故选(C ).2. 在直角坐标系xOy 中,已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0,y =0,2x +3y =30,求△AOB 内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数为 。