【郑重说明】《理论力学》课程的习题及解答方面的参考书很多，学习者可以通过各种形式阅读与学习，按照学院对教学工作的要求，为了满足学习者使用不同媒体学习的实际需要，通过各种渠道收集、整理了部分习题及参考解答，仅供学习者学习时参考。

由于理论力学的题目解答比较灵活，技巧性也比较强，下面这些解答不一定是最好的方法，也可能会存在不够完善的地方，希望阅读时注意之。

学习理论力学课程更重要的是对物理概念的掌握与理解，学习处理问题的思想与方法，仅盲目的做题目或者阅读现成的答案，很难达到理想的结果。

质点运动学习题与参考解答一、质点运动学思考题(1.1) 如思考题1.1图所示, 岸距水面高为h , 岸上有汽车拉着绳子以匀速率u 向左开行,绳子另一端通过滑轮A 连于小船B 上, 绳与水面交角为θ, 小船到岸的距离为s .则u 与s &的关系为:(1)θcos su &=；(2) θcos s u &-= ；(3)θcos u s =&；(4) θcos u s -=&思考题1.1图(1.2) 在参考系上建立一个与之固连的极坐标系, 但其单位矢量re ρ和θe ρ随质点位置变化而改变, 这是否与固连相矛盾? 是否说明极坐标系是动坐标系?(1.3) 质点沿一与极轴Ox 正交的直线以0v ρ做匀速运动, 如思考题1.3图所示. 试求质点运动加速度在极坐标系中的分量r a 和θa . 思考题1.3图(1.4) 杆OA 在平面内绕固定端O 以匀角速ω转动. 杆上有一滑块m ,相对杆以匀速u ρ沿杆滑动, 如思考题1.4图所示. 有人认为研究m 的运动有如下结论: (1) r a =0, θa =0, 故a ρ=0； (2) O 为OA转动中心, 所以在自然坐标法中向心加速度指向O 点. 试分析上述结论是否正确. 思考题1.4图思考题参考答案(1.) (2) 小船速度沿水面, 向绳方向投影为u . s &为负, 故θcos su &-=. (1.2) 坐标系与参考系是否固连, 决定于坐标曲线组成的空间网格是否与参考系固连, 与单位矢量是否变化无关. (1.3) 因0=a ρ, 故0==θa a r .(1.4) (1) 0≠r a , 0≠θa ; (2) 加速度指向曲率中心而非O 点.二、质点运动学习题及参考解答【1.1】沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s 的时间为t 1，而通过下一等距离s{{SSt t 题1.1.1图题1.2.1图的时间为2t .试证明枪弹的减速度（假定是常数）为()()2121122t t t t t t s +- 【解】由题可知示意图如题1.1.1图:设开始计时的时刻速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a . 则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=-=221210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得11021at t s v +=再由此式得()()2121122t t t t t t s a +-=证明完毕.【1.2】某船向东航行，速率为每小时15km,在正午某一灯塔。

另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔。

问在什么时候，两船的距离最近？最近的距离是多少？【解】由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1图.设A 船经过0t 小时向东经过灯塔,则向北行驶的B 船经过⎪⎫ ⎝⎛+110t 小时经过灯塔任意时刻A 船的坐标()t t x A 15150--=，0=A yB 船坐标0=B x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+-=t t y B 15211150则AB 船间距离的平方 ()()222B A B A y y x x d -+-=即()2021515t t d -=201521115⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛++t t()20202211225225675900450⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=t t tt t2d 对时间t 求导()()67590090002+-=t t dtd d AB 船相距最近，即()02=dtd d ，所以y题1.3.2图第1.3题图h t t 430=- 即午后45分钟时两船相距最近最近距离22min 231543154315⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=s km【1.3】曲柄,r A O =以匀角速ω绕定点O 转动。

此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线Ox 运动。

求连杆上C 点的轨道方程及速度。

设a CB AC ==，ψϕ=∠=∠ABO AOB ,。

【解】(1)把图1.3改画为题1.3.2 由题分析可知，点C 的坐标为⎩⎨⎧=+=ψψϕsin cos cos a y a r x 又由于在∆AOB 中，有ϕψsin 2sin ar =（正弦定理）所以 ry r a 2sin 2sin ==ψϕ联立以上各式运用 1cos sin 22=+ϕϕ由此可得rya x r a x 22cos cos --=-=ψϕ得12422222222=---++r y a x y a x r y 得22222223y a x r a x y -=-++化简整理可得()()2222222234r a y x y a x -++=-此即为C 点的轨道方程.（2）要求C 点的速度，分别求导⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=2cos sin cos 2cos sin ϕωψψϕωϕωr y r r x && 其中 ϕω&= 又因为ψϕsin 2sin a r =对两边分别求导故有ψϕωψcos 2cos a r =&A BOCL x θd 第1.4题图22y x V &&+=4cos sin cos 2cos sin 2222ϕωψψϕωϕωr r r +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= ()ψϕψϕϕψω++=sin cos sin 4cos cos 22r 【1.4】细杆OL 绕O 点以角速ω转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动。

图中的d 为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。

【解】如题1.4 图所示，OL 绕O 点以匀角速度转动，C 在AB 上滑动，因此C 点有一个垂直杆的速度分量 22x d OC v +=⨯=⊥ωωC 点速度dx d d v v v 222sec sec cos +====⊥⊥ωθωθθ又因为ωθ=&所以C 点加速度 θθθω&⋅⋅⋅⋅==tan sec sec 2d dt dv a ()2222222tan sec 2d x d x d +==ωθθω【1.5】 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。

已知升降机的初速度为零。

【解】由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得dt T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002sin 1π可得 ：D Ttc Tct v ++=2cos2ππ（D 为常数） 代入初始条件：0=t 时，0=v ，故cT D π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos2T t T t c v ππdtds v =所以=ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ【1.6】 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为r λ及μθ，式中λ及μ是常数。

试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-r rr μλμθθμλ,222【解】由题可知质点的位矢速度r λ=//v ①沿垂直于位矢速度μθ=⊥v又因为 r r λ==&//v ， 即r r λ=&μθθ==⊥r v &即rμθθ=& ()()j i v a θ&&r dtd r dt d dt d +==（取位矢方向i ，垂直位矢方向j ） 所以()j i i i θ&&&&&&&r r dtd r i dt r d r dt d +=+=()dtd r dt d r dt dr r dt d j j j j θθθθ&&&&++=i j j 2r r r θθθ&&&&&-+= 故()()j i a θθθ&&&&&&&r r r r 22++-=即 沿位矢方向加速度 ()2θ&&&r r a -= 垂直位矢方向加速度 ()θθ&&&&r r a 2+=⊥ 对③求导 r r r 2λλ==&&&对④求导θμμθθ&&&&rr r +-=2⎪⎭⎫⎝⎛+=λμμθr把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得rr a 222//θμλ-=题1.8.1图【1.7】试自θθsin ,cos r y r x ==出发，计算x &&及y &&。

并由此推出径向加速度r a 及横向加速度θa 。

【解】题可知⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ① ② 对①求导 θθθ&&&sin cos r r x -= ③ 对③求导 θθθθθθθcos sin sin 2cos 2&&&&&&&&&r r r r x ---= ④对②求导 θθθcos sin &&&r r y += ⑤对⑤求导θθθθθθθsin cos cos 2sin 2&&&&&&&&&r r r r y -++= ⑥对于加速度a ，我们有如下关系见题1.7.1图题1.7.1图即⎩⎨⎧+=+=θθθθθθcos sin sin cos a a y a a x r r &&&&⑦--⑧ 对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦θcos ⨯，⑧θsin ⨯即得⎩⎨⎧+=-=θθθθθθθθθθcos sin sin sin cos sin cos cos a a y a a x r r &&&&⑨--⑩ ⑨+⑩得 θθsin cos y x a r &&&&+= ⑾把④⑥代入 ⑾得 2θ&&&r r a r -= 同理可得θθθ&&&&r r a 2+= 【1.8】 直线FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速ω绕其焦点F 转动。