母函数（生成函数）（发生函数）（发生函数）英文：generating function我们已知道了解决组合的计数问题的几种方法，从基本的加法原理和乘法原理开始，导出了排列与组合的各种公式，证明了容斥原理，并且已用它来解决某些计数问题。
这里将论证一种方法是属于Eular 的生成函数法。
（对工程师来说，数列的母函数通称为z-变换）§1 母函数利用生成函数可以说是研究计数问题的一个最主要的一般方法：其基本思想很简单：为了获得一个数列{} 210,,0:a a a k a k=≥的知识，我们用一个母函数+++=∑=≥22100)(x a x a a xa x g kk k这里x k 是指数函数来整体地表示这个数列，称g （x ）是数列{}0:kx a k 的普通母函数，这样原数列就转记为成函数。
假如能求得这个函数，则不仅原则上已确定了原数列，还可以通过对函数的运算和分析得到这个数列的许多性质。
这里如果把x k 提成)(x k μ亦称普通母函数指数函数通常选来使得没有两个不同的序列令产生同一个母函数，故序列的母函数仅只是序列的另一种表示。
如1，cos x ，cos2x ，…为指数函数，序列{}2,,1ωω的母函数为+++++=rx x x x F rcos 2cos cos1)(2ωωω另一方面，用，1，1+x ，1-x ，1+x 2，1-x 2，…，1+x r ，1-x r …作为指数函数，序列（3，2，6，0，0）的普通母函数是3+2（1+x ）+6（1-x ）=11-4x ，而序列（1，3，7，6，0）和（1，2，6，1，1）会产生同一母函数即，1+3（1+x ）+7（1-x ）=11-4x ，xx x x x 411)1()1()1(6)1(2122-=-+++-+++故函数 ,1,1,1,1,122x x x x -+-+不应做为指数函数，)(x r μ的最近常用的是r x ，以下我们仅讨论这种情况的指数函数。
结论是（ r a a ,,0）可能无限，故应注意，)(x F 的收敛性。
例1，设三种物，a ，b ，c ，现从中 0，1，2，3的不同取法有33231303,,,C C C C 。
已知多项式)1)(1)(1(cx bx ax +++即为a 、b 、c 不同取法的母函数，显然可知。
只有一种方法)1(03C =从三个中一个也不取，有三种方法)3(13=C ，从三中取一把元扩广到n ，有nn n rr n n n n nxC x C x C x C C x ++++++=+ 221)1(为0n C ，nn m C C 1的母函数是上式1=x 得nk n nk C 2=∑=是1-=x 得0)1()1(210=-++-+-+-nn nrn rn n n C C C C C 。
得 ++=++312n n n n C C C C例2，可用母函数证明恒等式nnnn r n n n C C C C C 222212)()()()(=+++++证明：∵左边为n n x x )1()1(1-++的常数项之和 又∵nnnnnnxx x x x xx --+=⎪⎭⎫⎝⎛++=++21)1(1)1()1()1(而n n x x 2)1(+-中常数项系数为n n C 2∴左=右。
例3，在10095)1(x x ++中项23x 的系数是什么？解：因为10095)1(x x ++的展式中，项23x 只能有一种方式生成：23995xx x x =，且有2100C 种方式取9x 之后，有198C 种取5x ，故23x 的系数是9797299110019821009797485100C C C C C C ⋅⋅==⋅，余下97项中取1即0x ： 9797C解4：证明序列00C ，12C ，24C ，36C ，…r r C 2…的母函数为21)41(--x证：∵rr nxr r n n n x !1()1(1)1(1+--+=+∑= ，n 为任意实数。
这里求和上限，当n 是一个正整数时是n ，否则为∞。
由此定理有：[]rr r r rr rr rr r rrr rr r r r xC x r r r xr r r r xr r r r xr r xr r x r r x 21111111211!!)!2(1!!))12(5,3,1)(26,4,2(1!!))12(5,3,1)(!2(1!)12(5,3,121!212232141)4(!121121211)41(∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=-+=+=-+=-⋅+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-作为这一定理的一个应用，今对一给定的t ，计算和式it it i i ti C C --=∑2220的值解：∵i iC 2是21)41(--x 中项i x 的系数而it i t C --22是21)41(--x 中项i t x -的系数故it it i i ti C C --=∑220是2121)41()41(---⋅-x x 中项t x 的系数，因为21)41(--x+++++=-=---tx x x x x )4()4(41)41()41(2121故有tit i t ii ti C C 42220=∑--=。
当允许重复选取时，或等价地，当同一类的物可能多于一个时，上面结果可直接推广，如多项式423222222)()()()(1)1)(1)(1(xbc a x c a b a abc xa ac bc ab xc b a cx bx x a ax +++++++++++=++++是三物体a ，b ，c 的普通母函数，这里a 可以在两次之内选取。
例5：有p 个类的每一类中给两个物，在另外的q 个类的每一类中给出一个物，问有多少种方法选取r 个物。
p ：0，1，2， q ：0，1 解：此时组合的计数的普通母函数是qpx x x )1()1(2+++rx在其中的系数是ir iq p ip r i CC 2]2/[0--+=∑这是因为在形如21x x ++的p 个因子中，可以选出i 个2x ，而在其余i p -个形如21xx ++的因子和q 个形如x +1的因子中，可以选出i r 2-个x 。
例6，从n 个物中不限重复地选取r 个物的组合的计数普通母函数是rrr n r rr rr nnnkxC xr r n n n x r r n n n x x xx x 10112!)1()1(1)(!)1()1)((1)1(11)1(-+∞=∞=∞=-∑=-++∑+=-+-----∑+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++++这表明有r n C 11-+种方法从n 个物中不限重复地选取r 物，这在组合中已证完。
例7，从n 个物中不限重复地选取r 个（r ≥n ），每一选取至少有一个，这样的组合的计数普通母函数是in ii n i iii n i n nn nn nkxC x C xx x x x x x x +-+∞=-+∞=-∑∑==-=⎪⎭⎫⎝⎛-=++++10102)1(11)(令rn r r nr xC i n r --∞=∑+=1例8，把r 个相同的球放入n 个不同的盒子中，且无一盒子含少个q 个球，也无一盒含多于q +j -1个球？证明：这样的分配方法个数是njxx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11的展式中qn r x -的系数。
解：因为某个盒子可以装球的方法的计数普通母函数是11-+++++j q q q xxx故所求放法的母函数是njqn nj nqn j q q qxx x xx xx xx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++=+++--++11)1()(111作为这一结果的应用，如，今有四人，每人掷一骰子一次，求四人所得点数总和为17的个数。
这里.6,1,4,17====δq n r 计算母函数为46411⎪⎪⎭⎫⎝⎛--x x x,因为2418126464641)1(xxxx x +-+-=- ①13411713336225143241!3654!254!141)1(xxxxx C x C x C x x x x qn r ===++++=+⨯⨯+⨯++=-⨯---故446)1()1(---x x 中13x 的系数是!146!7106544!1316654⋅+⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=104!146!310984!3161514=⨯+⨯⨯⋅-⨯⨯指数母函数(exponential genenating functios)现讨论排列的母函数，然而把前面结果推广到排列，就存在一些困难，因为在整数城中两个数相乘是可交换的，即ab=ba ，故不能用普通的代数来完全处理排列问题。
设a 、b 两球，作为排列的母函数 我们想有的式子是2)()(1xba ab x b a ++++然而这式子等价于2)2()(1x ab x b a +++其中两个不同的排列ab ，ba 不被识别了。
故不妥！这里，我们不准备对排列情况引入一个新的不可换代数，而只限于讨论排列的计数母函数这计数母函数，仍可借助于实数域上普通的代数而得到处理。
由组合的计数母函数的概念的直接推广指出n 个不同事物的排列计数母函数应如下：nn h rr n n n n xP x P x P x P P x F ++++++= 221)(=nrxn x r n n x n n x n n !)!(!)!2(!)!1(!12++-++-+-+然而上式没有简单了“和式”，故为用F(x)来处理，会使母函数的目的落空组，但由二项式展式：nn h rr n n n nxC x C x C x C x ++++++=+ 211)1(=nnnrrnrrhnn xn P x r P x r P x P x P !!!!2!11221++++++++可见，定义另一类的母函数（即指数母函数）的关键： 设（a 0,a 1,……a r ,…）是序列。
函数++++=)(!)(!1)(!0)(1100x r a x a x a x F r r μμμ，叫作以 ),(),(),(10x x x r μμμ作为指标函数时序列)(0 r a a 的指数母函数，这样一来n x )1(+是r n P 以x 为方作为指标函数的指母函数。
例9， 由例4中结果21)41(--x 是系列（ r r P P P 21200,,,）的指母函数。
序列（1，1×3，1×3×5，…，1×3×5，…x （2r+1），…）的指母函数为23)21(--x序列（1，1，1，…，1）的指母函数为x e*1 显然,一个物的无重复排列的计数指数母函数是1+x(0,1两种).*2 当排列中定允许重复时，推广是直接的，个个相同物的全排列的计数指母函数为!p xp,因为只有一种方法这样做,故p 个相同物的0—排列,1—排列…，2—排列，…，P —排列的计数母函数为PxP x x !1!21!1112++++同样，当P 物属于一类，q 物体属于另一类时，这P+q 物的全排列的计数母函数为!!!!q p xq xp xqp qp+=⋅同这样的排列的个数是!!)!(q p q p +的已知结果一致。