E(X n )
1 。 p
由 Feller 初等更新定理知, 较长时间后的单位时间试验成功的平均次数，即更新速率为
1 由 Blackwell 更新定理知, 较长时间后， 在长为 a 的时间内试验成功的平均次 p； E(X n )
数为
a ap 。 E( X n )
1 e t , t 0, b, 0 t a, 例 设函数 w(t ) F (t ) 为更新间隔时间的分布函数， t a, 0 , t 0 , 0,
( 2) 11 ，
p
因P
( 2)
0.8 0.2 0.8 0.2 0.8 0.2 0.68 0.32 P 0.2 0.8 ，故经 2 次投 0.2 0.8 0.2 0.8 0.32 0.68


0
w(t )dt ab ，又 F (t ) 为非格点分布，故由
ab 。
Smith 关键更新定理， lim H (t ) t 源自 0 0
w(t )dt tdF (t )
五 时齐 Markov 链部分 1. 掌握时齐 Markov 链一步转移矩阵的写法，明确 n 步转移矩阵等于一步转移矩阵的 n 次方并会应用
1 1 , t t 0, , 0, (t1 , t2 ) E ( X (t1 ) X (t2 )) 2 2 1 ，于是 ( ) 2 0, t2 t1 0, 0, 0,
又因 lim
1 N N
N 1 N
移概率与起始时刻 n 无关，故 X n , n 1, 2, 为时齐 Markov 链， （2）其一步转移概率矩阵 一步转移概率矩阵 P
0.8 0.2 。 0.2 0.8
( 2)
（3）开始投掷时硬币是正面，经 2 次投掷后是反面的概率为 p12 ，硬币仍为正面的概率为
量 B(t ) - B( s) 服从正态分布 N (0，t
6. 延迟更新过程中更新间隔时间序列独立但不同分布. 7．离散参数不可约 Markov 链的全部状态要么都是常返态，要么都是非常返态. 8.
Brown 运动的增量服从不同参数的正态分布.
9. 明确 Poisson 过程、复合 Poisson 过程和 Brown 运动都是平稳独立增量过程 10. 明确独立同分布随机变量序列 X n，n 严平稳过程，而 E
解 设 X n , n 1,2, 表示第 n 1 次试验成功到第 n 次试验成功的间隔时间，则由于每个整 数时刻做 Bernoulli 试验，故 X n 表示首次试验成功时的试验次数，服从参数为 p 的几何分 布； 又每个整数时刻 Bernoulli 试验是独立做的， 故 X n , n 1,2, 独立， 则 X n , n 1,2, 产 生一更新过程 N ( n) （ N ( n) 表示 （0，n] 内试验成功的次数） ，且平均更新间隔时间为
N (t )
分布，从而 X (t )
Y
i 1
i
为复合 Poisson 过程，于是保险公司一年的平均赔付金额
E[ X (t )] t 12 tEY1 t 12 2 12 1 24 万元。
例 设一成批到达排队系统中，一段时间内的到达批数是强度为每小时 批的 Poisson 过程。 每批到达的个数服从均值为 的均匀分布，求 s 小时内到达的平均个数？ 解 设 N (t ) (0, t ] 内到达的批数， Yi 第 i 批的到达个数， i 1, 2, ， 则 N (t ) 为参数为 批 / 小时的 Poisson 过程，Yi , i 1,2, 独立均服从均值为 的均匀分
2 1 3
4
解： （ 1）因为已知当前状态（昆虫所在的节点位置）
X n 1 ~ 4; n 0,1, ，则可知以后的状态
X n 1 1 ~ 4 及其概率，比如 X n 1; n 0,1, ，则 X n 1 2或3 且其概率
P{ X n1 1 X n 1} 0, P{ X n1 3 X n 1} 0.5 ， P{ X n 1 2 X n 1} 0.5
( 2) ( 2) （ 3） 昆虫从节点 1 开始经 2 次爬行后位于节点 3 的概率为 p13 ， 爬回节点 1 的概率为 p11 ，
因 P ( 2)
0 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0.5 0 2 P 1/3 1/3 0 1/3 1/3 1/3 0 1/3 1/3 1/3 0 1/3 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
( ) lim 2N
0
1
0 ，所以，该序列均值具有遍历性。
N (t )
三. 掌握复合 Poisson 过程 X (t )
Y
i 1
i
的定义及其均值函数 E[ X (t )] tEY1
例 设保险公司接到的索赔要求是强度为每月 2 次的 Poisson 过程。每次赔付金额服从均值 为 1 万元的正态分布，求保险公司一年的平均赔付金额？ 解 设 N (t ) (0, t ] 内保险公司的赔付次数， Yi 保险公司第 i 次的赔付金额， i 1, 2, ， 则 N (t ) 为参数 2次/ 月的 Poisson 过程，Yi , i 1,2, 独立均服从均值为 1 万元的正态
即具有 Markov 性，又转移概率与起始时刻 n 无关，故
X n , n 1, 2, 为时齐 Markov
链， （2）其一步转移概率矩阵
0 0.5 0.5 0 0.5 0 0.5 0 。 P 1/3 1/3 0 1/3 0 0 0 1
m : m 1, P
(m) 11
0 时，定义1 的周期为正无穷大

二 会用教材上的定理即（1）平稳过程 {X (t ) X , t (, )}均值具有遍历性
lim
1 T T

2T
0
(1
) ( ) d 0 和 2T
1 N N
N 1
（2）平稳序列 {X n , n为整数 , }均值具有遍历性 lim 证明平稳过程均值具有遍历性 例 设平稳过程 {X (t ), t (,)}的协方差函数 ( ) e 解：因 lim
( ) 0
0
2
， 证明该过程均值具有遍历性.
1 T T

2T
0
(1
1 2T 2 ) ( )d lim (1 ) e d 0 T 2T T 2T
1 1 e 2 lim (1 ) 0 T 2T 4T
所以，该过程均值具有遍历性。 例 对平稳过程 {X (t) sinUt, t 1,2, },U ~ U (0,2 ) ， 证明该过程均值具有遍历性. 证：因均值函数 E ( X (t )) 0 (常数)，故协方差函数
Poisson 过程，但复合 Poisson 过程有平稳增量和独立增量；
3.非负独立同分布随机变量序列与更新过程的关系. 4．连续型分布不是格点分布. 常见离散型分布是格点分布且周期一般都为 1 5．标准 Brown 运动 B(t ), t
0 是高斯（正态）过程，也是平稳独立增量过程，但不是平稳过程，其增 s) .
计算，见对应章节的例题或教案。 16.明确大数定律中涉及的随机变量序列收敛是依概率收敛， 而中心极限定理中涉及的随机变量序列收敛是 依分布收敛 17. 明确在离散参数时齐 Markov 链中：转移概率与起始时刻无关；互通是等价关系；状态均为正常返非 周期的不可约链称为遍历链; 常返状态的有限步首达概率为 1; 零常返状态的的有限步首达概率<1, 平均 首返步数为正无穷； 有限维分布由初始分布和一步转移概率确定; 常返状态只能转移到常返状态 互通状态是同一种状态具有相同周期；
的 Poisson 分布。
13．明确在更新过程中，事件发生一次称为一次更新，事件发生的时刻称为更新时刻 14．明确在时齐离散 Markov 链中，吸收态 i 是非周期正常返态，且 ui 15. 明确标准
1
B(t ), t 0 中， B(t ) ~ N (0, t ) ， B(t ) - B(s) ~ N (0, t s) ，掌握这些随机变量的
N (t )
布，从而 X (t )
Y
i 1
i
为复合 Poisson 过程，于是 s 小时内到达的平均个数
E[ X ( s)] sEY1 个。
四 明确 Feller 初等更新定理、 Blackwell 更新定理（非格点情形）和 Smith 关键更新定理 （非格点情形）的内容并掌握其应用
例 在每个整数时刻独立地 Bernoulli 试验， 设出现正面的概率为 p ， 出现反面的概率为1 p ，
2
5/12 1/6 1/4 1/6 1/6 5/12 1/4 1/6 ，故经 2 次爬行后位于节点 3 的概率为 0.25，爬回节点 1 的概 1/6 1/6 1/3 1/3 0 0 0 1
率为 5/12。
例 记硬币的正面为 1，反面为 2，每次投掷时以概率 0.2 翻转，则投掷 n 次后出现的硬币面
4. 设某昆虫在如图的 4 个节点间爬行，当两个节点相邻时，昆虫以相同的概率爬向临近的节点，n 时刻昆
虫所在的节点位置记为， X n , n
1, 2, 则（1）证明 X n , n 1, 2, 为时齐 Markov
链； （2）写出
其一步转移概率矩阵; （3）设开始时昆虫位于节点 1，求经 2 次爬行后位于节点 3 的概率？爬回节点 1 的 概率？