2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

(1) 曲线221xxyx渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C 【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i）当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

（ii）渐近线分为水平渐近线（lim()xfxb，b为常数）、垂直渐近线（0lim()xxfx）和斜渐

近线（lim[()()]0xfxaxb，,ab为常数）。 （iii）注意：如果 （1）()limxfxx不存在；

（2）()limxfxax，但lim[()]xfxax不存在，可断定()fx不存在斜渐近线。 在本题中，函数221xxyx的间断点只有1x. 由于1limxy，故1x是垂直渐近线.

（而11(1)1limlim(1)(1)2xxxxyxx，故1x不是渐近线）.

又211limlim111xxxyx，故1y是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeenL,其中n为正整数,则(0)f ( )

(A) 1(1)(1)!nn (B) (1)(1)!nn (C) 1(1)!nn (D) (1)!nn 【答案】A 【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解一】本题涉及到的主要知识点：

00000()()()limlimxxfxxfxyfxxxVV

VV

VV.

在本题中，按定义 1(1)(2)[(1)](1)(1)!nnnL

.故选A.

【详解二】本题涉及到的主要知识点： ()[()()]()()()()fxuxvxuxvxuxvx.

在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe项在0x为0，故只留下一项.于是 故选（A）. (3) 设0(1,2,)nanL，123nnSaaaaL，则数列nS有界是数列na收敛的( ) （A）充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】B 【考点】数列极限 【难易度】★★★

【详解】因0(1,2,)nanL，所以123nnSaaaaL单调上升.

若数列nS有界，则limnnS存在，于是 反之，若数列na收敛，则数列nS不一定有界.例如，取1na(1,2,)nL，则nSn是无界的. 因此，数列nS有界是数列na收敛的充分非必要条件.故选（B）. (4)设20sin(1,2,3)kxKexdxkI则有 ( ) (A)123III (B) 321III (C) 231III (D)213III 【答案】D 【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：

设acb，则()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx. 在本题中， 210sinxIexdx，2220sinxIexdx，2330

sinxIexdx

222121sin0xIIexdxII，

2332322

sin0xIIexdxII，

因此213III.故选D.

（5）设函数(,)fxy可微，且对任意的,xy都有(,)0fxyx，(,)0fxyy，则使不等式

1122(,)(,)fxyfxy成立的一个充分条件是( )

（A）12xx，12yy （B）12xx，12yy （C）12xx，12yy （D）12xx，12yy 【答案】D 【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：

函数单调性的判定法 设函数()yfx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导.

①如果在(,)ab内()0fx，那么函数()yfx在[,]ab上单调增加； ②如果在(,)ab内()0fx，那么函数()yfx在[,]ab上单调减少. 在本题中，因(,)0fxyx，当y固定时对x单调上升，故当12xx时1121(,)(,)fxyfxy 又因(,)0fxyy，当x固定时对y单调下降，故当12yy时2122(,)(,)fxyfxy 因此，当12xx，12yy时112122(,)(,)(,)fxyfxyfxy 故选D. （6）设区域D由曲线sinyx，2x，1y围成，则5(1)Dxydxdy( ) （A） （B）2 （C）-2 （D） 【答案】D 【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

在本题中，11555222sinsin221(1)(1)()2xxDxydxdydxxydyxyydx 其中521(1sin)2xx，sinx均为奇函数，所以 52221(1sin)02xxdx，2

2sin0xdx



故选（D） (7)设1100c,2201c ,3311c ,4411c ,其中1234,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的为( ) (A)123,, (B) 124,, (C)134,, (D)234,, 【答案】C 【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：

n个n维向量相关12,,,0nL

在本题中，显然

134123

011,,0110ccc，

所以134,,必线性相关.故选C. (8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1100010002pAP.若P=（123,,），1223(,,)，则1QAQ ( ) (A) 100020001 (B) 100010002 (C) 200010002 (D)200020001 【答案】B 【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.

在本题中，由于P经列变换为Q，有

12100110(1)001QPPE



，

那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)QAQPEAPEEPAPE 故选B. 二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.

（9）设yyx是由方程21yxye所确定的隐函数，则220xdydx . 【答案】1 【考点】隐函数的微分 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有： 1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。 2. 利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。 对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法2比较简单些，若只求某个偏导数，则方法1和方法2的繁简程度差不多。

在本题中，令0x，得(0)0y.等式两边同时对x求导，得

2yxyey （*） 令0x，0y得 (0)(0)yy，

于是(0)0y.再将（*）是对x求导得 令0x，0y，0y得 2(0)(0)yy

于是(0)1y

（10）22222111lim12nnnnnnL . 【答案】4



【考点】定积分的概念 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 利用定积分定义求某些和式的极限（先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）.

特别是对于n项和数列的极限，应该注意到：1011lim()()nniiffxdxnn 在本题中，由积分定义， （11）设1(ln)zfxy，其中函数()fu可微，则2zzxyxy 【答案】0 【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 二元函数[(,)]zfuxy（是一元函数()fu与二元函数(,)uuxy的复合函数），在变量替换

(,)uuxy下，得到z对x，y的偏导数为()zufuxx，()zufuyy.