2014年数学二真题及答案解析2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1 : 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.• • •1 ________________________________________ (1)当X 0时，若In (1 2x)，(1 cosx)—均是比X咼阶的无2(A) (2, )(B) (1,2)(C)(2,1)(D)囲)⑵下列曲线中有渐近线的是()(A) y x sin x (B) 2 .y x sin x(C) y x sin 1 x (D) y 2 . 1x sinx⑶设函数f( x)具有2阶导数，g(x) f(0)(1 x) f(1)x，贝y 在区间［0,1］上( )(A)当f(x)0 时，f (x) g(x) (B)当f (x) 0时，f(x) g(x)(C)当f(x) 0 时，f (x) » g(x) (D)当f (x) 0时，f(x) g(x)⑷丄 2曲线x t2 y t27上对'4t 1应于t 1的点处的曲率半径是324(D) 5.10(D )1 (6)设函数u(x,y)在有界闭区域D 上连续，在D 的内部222具有2阶连续偏导数，且满足」0及-u -4 0，则x yx y( )(A) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C)u(x,y)的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得(A)10 50■ 10 100(C) 10.10(5) 设函数 f (x) arctan x ,f(x) xf (),lim 2 x 0x 2(A)1(叫 (C)1(D)u(x, y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得52 6(C) a 2d 2b 2e 2(D) b 2e 2a 2d 2(8)设1, 2,3均为3维向量，则对任意常数k,l ,向量 组1k 3, 2l 3线性无关是向量组无 关 的要条件非必要条件1、填空题：9： 14小题,每小题4分,共24分.请将 答案写在答题纸指定位置上.• • •dx2x 5(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f(x) 2(x 1), x [0,2]，贝V f(7)_________________.⑺行列()(A)2(ad bc)0 a b 0 式a 0 0b 0cd 0c0 0 d(A)必要非充分条件 (B)充分非必 (C)充分必要条件 (D)既非充分也((9)(B) (ad be)27(11) 设z z(x,y)是由方程e2yzx y 2 z 4确定的函数，则dz(2$ --------------------------------------------------------------.(12) 曲线r r()的极坐标方程是r ，则L 在点(r ，)(-.-)处的切线的直角坐标方程是 _______________ .(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间［0,1］上，若其 线密度 x x 22x 1 ,则该细棒的质心坐标x _________________.(14) 设二次型 f x 1,x,,x 3x ,2x,22ax ,x 4乂2冷的负惯性指数为1,则a 的取值范围为 ________ .三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在 答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过• • •程或演算步骤. (15)(本题满分10分)(16)(本题满分10分)已知函数y y x 满足微分方程x 2y 2y 1 y ，且y 2 0 ,求极限x lim1X 2 t t e ' 1 t dt1x 2ln 1丄x8求y x 的极大值与极小 值.(17) (本题满分10分) 设平面区域Dxsin 、x 2 y 2 dxdy .D x y(18) (本题满分10分)设函数f (u)具有二阶连续导数, 三乍(4z excosy)e2x，若f(0) 0'f(0) 0，(19)(本题满分10分) 设函数f(x),g(x)的区间［a,b ］上连续，且f(x)单调增加，0 g(x) 1.证明: (I) 0 ag(t)dt x a,x [a,b],(20)(本题满分11分)f 1(x) f(x), f 2(x) f(f 1(x)), L f n (x) f(f n 1(x) ),L，记 S n是由曲线 y 围成平面图形的面积，求极限x, y 1x 2 y4,x 0, y 0 ,计算z f (e x cosy)满足 f(u)的表达式.(II)g(t)dtaf(x)dx f (x)g(x)dx . 设函数 f(x) —,x 0,11 x定义函数列 f n (x)，直线x 1及x 轴所lim nS nn(21)(本题满分11分)已知函数f(x,y)满足—2(y 1),且f(y,y) (y 1)2 (2 y)ln y, y求曲线f(x,y) 0所围成的图形绕直线y 1旋转所成的旋转体的体积•(22)(本题满分11分)1 2 3 4设矩阵A 0 1 1 1 ，E为三阶单位矩阵.1 2 0 3⑴求方程组Ax 0的一个基础解系; (II)求满足AB E的所有矩阵.(23)(本题满分11分)1 1 L 1 0 L 1 1 L 1 与0 LM M M M 円M M1 1 L 1 0 L 0 10 2相似•M M0 n证明n阶矩阵92014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1 : 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.• • •1 ________________________________________ (1)当X 0时，若In (1 2x)，(1 cosx「均是比X咼阶的无10(A) (2, )(B)(1,2) (C)右)(D)(0，|)【答案】B所以1 0，故1.21 —当X 0时，(1 cosx) ~ t 是比X 的咼阶无穷小，2-所以Z 1 0，即2.故选B【解析】由定义In (1 2x)xX m(2x) X戈叫2X 1 0下列曲线中有渐近线的是(A) y x sin x(B) y x 2sin x(C)y x1 sin — x(D) yx 2 sin -x【答案】 C【解析】 关于 C 选项： .1 . 1 x sin sinlim xlim1 lim x1 0 1xx xxxlimsin - 0，所以y x sin-存在斜渐近线 Xx x故选CF (x)f(0)f(1) f (x), F则F (x) 0 , F(x)在［0,1］上为凸的.⑶设函数f(x)具有 2阶导数， g(x) f (0)(1 在区间［0,1］上()(A)当 f(x) 0 时， f (x)g(x)(B) 当 f(x) g(x)(C)当 f (x) 0时，f (x) g(x)(D) 当 f(x) g(x)【答案】D【解析】令F(x)g(x)f(x)f (0)(1 x)f(1)xf(x),F(0)F(1) 0x) f(1)x，贝yf (x) 0 时,f (x) 0 时,1sin — x ］x(x) f (x). 若 f (x) 0，又 F(0)故选D. ⑷曲线F(1) 0，所以当 x [0,1]时，F(x) 0，从而 g(x) f(x).74t 上对应于t 1的点处的曲率半径是1(A)) 50(B)卫100(D) 5.10 【答案】 【解析】 dy dxd 2y dx 2 2t 42t dx2石2t10.10故选C(5) 设函数f(x) arcta n x,若 f(x) xf (),(A)1(B)3(C )2(D)i( )(A) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) u(x,y)的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C)u(x, y)的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D)u(x,y)的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得 【答案】A222【解析】记A0,代C 相反数xx yy则=AC-B 20,所以u(x, y)在D 内无极值，则极值在边界处 取得•故选A【答案】D 【解析】因为凹f '( ) 7^-2，所以x11 lim2 lim -x 0x arctanxx 0x f(x) f(x)1 1 X2 3x 22lim 2 lim x 0 x X故选D.(6)设函数u(x,y)在有界闭区域D 上连续, 具有2阶连续偏导数，且满足 x f (x) .. x arctanx 0 x 2f(x)在D 的内部 丄0及厶j 0，贝Vx y x y()(A) (ad be)2(C) a 2d 2b 2e 2(D) b 2e 2a 2d 2【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列ad (ad be) be(ad be)2(ad be).(8)设a i,a 2,a 3均为三维向量，则对任意常数k,l,向量组a ika 3, a ?玄线性无关是向量组 印包舄线性无关的 ()(A)必要非充分条件 要条件 (C)充分必要条件 也非必要条件a b 0a b 0 a ed0 e 0 0 b0 de d 0 0 a b 0 a 0 0 b 0 e d 0行列0 a b 0 a 0 0 b 0 e d 0 e0 0 d(B) (ad be)2(B)充分非必(D)既非充分【答案】A1 0【解析】1k3 213 1 230 1.k 1性无关.）举反例.令 3，^ V 1‘ 2线性无关，但此时却线性相关.综上所述，对任意常数k,1 ,向量 1k 3, 2 1 3线性无关是向量1, 2,3线性无关的必要非充分条件故选A1、填空题：9： 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. • • •11 dxx 2x 5【答案】I 【解析】)!己A 1k 3213, B1 01 2 3, C 0 1 .若k 11, 2,3线性无关，则 r(A) r(BC) r(C) 2，故 1k 3, 21 3线(9)(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且 f (x) 2(x 1), x [0,2]，贝V f(7)________________.【答案】1【解析】f 'X 2 x 1 , x 0,2且为偶函数贝y f 'x 2 x 1 , x 2,0又f x x 22x c 且为奇函数，故c=02f x x 2x , x 2,0又Q f x 的周期为4, f 7 f 1 1 (11)设z z(x,y)是由方程e2yzx y 2 z 4确定的函数，则【答案】冷呦2yzz ze 2y 1一xe 2yz (2z 2^z ) 2yy=dxx 2x 5-dx 4larctan x 1 2 2dz(2,2)【解析】对e2yzx彳方程两边同时对x,y 求偏导4x181当 x2，y(舅)， 112y (2,2)12(dx dy)(12)曲线艸n&的极坐标方程是r ，则L 在点故dz(1,1)11 dx ( )dy2 2(r, )(2,2)处的切线的直角坐标方程是【答案】 【解析】 由直角坐标和极坐标的关系x r cos cos y rsi nsin于是r,2,2,对应于x,ydy 切线斜率乎先 dx dx d所以切线方程为 cos sin cos sindy dx即『=2x -2(13) 一根长为 线密度x 轴的区间［0,1］上，若其 ,则该细棒的质心坐标1的细棒位于 2x x 2x 12014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二i19【答案】101112 = 11 5 =20 3(13)设二次型 f X 1,X 2,X 3xj X； 2aX j X 3 4X 2X 3的负惯性指数是1 ,则a 的取值范围 _________ . 【答案】2,222 2 22x 1 ax 3 a x 3 x 2 2x 3 4x 3由于二次型负惯性指数为1，所以4 a 20，故2 a 2. 三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在 答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过• • •程或演算步骤. (15)(本题满分10分)X 21t 2 e t 1 t dt【解析】质心横坐标x1x x dx 0x dx1 x dx=2x 2x 1 dx1 x dx= x2x 1 dx4X 2 3 2X 1 11 — -X — 0— 4 3212【解析】配方法:f X 1,X 2,X 33 x21§ X X 02014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二求极限讪------- 1—X x2ln 1 丄2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二i21x 1 【解析】lim 亠*:X21x 2 ln(1 -)x2 —lim[ x (e x 1) x]xtt t..e 1 t . e 1 lim 2 lim t o t t o 2t(16)(本题满分10分)已知函数y y X 满足微分方程x 2y 2y 1 y ，且y 2 0， 求y x 的极大值与极小 值.【解由 x 2y 2y 1 y ，得(y 2 1)y 1 x 2 ................................................................................................................. ①此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为由y(2) 0得c彳当y (x) 0时，x 1，且有:limxx 1it 2(& 1) t dtlim 丄丄又由①可得y(x)1 x 2y 2 1x 1,y (x) 0 1 x 1,y (x) 0x 1,y (x) 0所以y(x)在x1处取得极小值，在x 1处取得极大y( 1) 0, y(1) 1即：y(x)的极大值为1,极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域D x,y|1/ 2 2xsin - x y dxdy.D x y 【解析】D 关于y x 对称，满足轮换对称性，则:xsin( x 2 y 2) yI xsi n( x 2 y 2)D2 2亠dxdyX 2 y 2 4,x 0, y 0 ,计算ysin( .x 2 y 2),,dxdy x y」」1 xsin( Jx 2y 2) dxdyx y2 D x yysin(x ysin(1 2 4(14 14 sin r rdr rd cos r2.2r r 1cos rdr11 .■2sin r 1dcos2 1 244233 4（18）（本题满分10分）设函数f （u ）具有二阶连续导数,f (e x cosy) e x cosy^z f (e x cosy)y2z ~2 y(4z e x cosy)e 2x ， 若 f(0) 0, f '(0) 0，求 f(u) 的表达式.2z~2xf (e xcos y) xe cosy xe cos yf (e x cosy) e x cosy，2z ~2y2 2z z~~2 + 2 x yf (e x cos y)xe sin yxe sin yf (e x cosy)e x cosy4z x e cosy 2xexf e cosy，代入得，2xe[4 f e xcosyx 2xe cosy]exe cosy4f xe cosyxe cosy，y=t ，得f 特征方程xe cos 4f t t0, 2得齐次方程通解2tGe2tc 2e设特解y*at b， 代入方程得a-J ，b 0，特解4则原方程通解为 y=f t&e 2t c 2e 2tz f (e x cosy)满足z e cosy ,xxe sin y由 f 0 0, f '0 0，得 C i— ,C2丄，贝y16 16 11 2u 1 2u 1y=f u —e —e-u 16 164 '(19)(本题满分10分)设函数f (x), g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增 加，0g(x) 1，证明:(I ) 0ag(t)dt x a ,x [a,b],ba g(t)dtb(II ) af (x)d x f(x)g(x)dx .aa【解析】(I )由积分中值定理：g t dt g x a , [a,x]Q 0 g x 1，0 g x a x axa g t dt X a(II )直接由g x 1,得到xx 0 g t dt 1dt= x aa au(II ) 令 F u :fxgxdxI ag t dtf x dx'uF u f u g u f a g t dt g u au g u f u f a g t dta由(I )矢口 0 ag t dt u a a a a g t dt u又由于 f x单增，所以f U f a： g t dt 0F ' u 0, F u单调不减， F u F a 0取u b，得Fb 0，即(II )成立.(20)(本题满分11分)设函数f(x)亠,x 0,1，定义函数列1 xf 1(x) f(x), f 2(x) f(f 1(x))丄，f n(x) f(fn1(X )),L ， 记 S n 是 由曲线 y f n (x)，直线x 1及x 轴所围成平面图形的面积，求极 限 lim nS n.nf(y, y) (y 1)2(2 y)ln y,求曲线f(x,y) 0所围成的图形绕直 线y 1旋转所成的旋转体的体积. 【解析】因为—2(y 1),所以f (x,y) y 22y (x),其中(x)为 y待定函数. 又因为 f(y,y) (y 1)22 y l ny,则(y) 1 2 y l ny ，从而【解析】f 1(x) xr?f 2(x)S n1 n 1 n 10 f n (x)dx1 1dx -n 1P ln(1 n 10 I 1 01 n)..ln(1 n) lim n nx1x—dx — 1 nx1 1 dx2ln(1 nx)nx n nx x ,f3(X )1 2x1 3x1 nx 1 0丄，f n (X )x 1 nxlim nS n 1n(21)(本题满分已知函1 lim也山Xx11分)数 f(x,y)1 lim —十2(y 1)，2 In xd1(22)(本题满分11分)341 13(I) 求方程组Ax 0的一个基础解系; (II) 求满足AB E 的所有矩阵B . 【解析】1 2 34 1 0 0 1 2 3 4 10 0 A E0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 01 2 0 3 0 0 1 0 43 1 1 0 11 234 10 0 1 0 0 1 2 6 10 11 1 0 1 0 0 1 02 13 10 0 1 314 10 0 13141(I)Ax的 基础解系为1,2,3,1 T(II) e1,0,0 T,e 2 0,1,0T ,e s 0,0,1Tf(x,y) y 2 2y 12 x 令 f(x,y) 0,可得(y 而所求的体积为In x 1)2(y 1)2 2In xx In x.当y1时，x 1或x2dxIn xdxIn x(2x2ln 222(2x£)2ln 2dx2In21E为三阶单位矩阵.设矩阵Ax e i 的通解为x kiAx e的通解为x k 2Ax e 3的通解为xk32 k 1 6 k 2 1 k 3B 1 2k 1 3 2k 2 1 2k 3B1 3k 14 3k 21 3k 3k1k2k3(23)( 本题满分 11 分)1 1 L 11 1 L 1 M M M M1 1 L 11 M1 L L 1， M1， 0( n 1重).n的特征向量为(1,1L ,1)T； r(A) 1,故Ax 0基T2 k 1, 1 2k 1, 1 3k 1,k 1 T6 k 2, 3 2k 2, 4 3k 2,k 2 T1 k 3,1 2k 3,1 3k 3, k 3 T2, 1, 1,0 6, 3, 4,0 T1,1,1,0 T0L与0 LMM 0L01 0 2相似 .MM0n1 2 B= 0 0 L 1， Mnk 1,k 2,k 3为任意常数）证明n 阶矩阵0有A 相似于对角阵解析】已知A则 A 的特征值为A属于础解系有n 1个线性无关的解向量，即A属于n 1个线性无关的特征向量；故n 0.■ OB的特征值为n，0（n 1重），同理B属于0有n 12014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二个线性无关的特征向量，故 B 相似于对角阵由相似关系的传递性， A 相似于B.30。