第八章《立体几何》综合检测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（ ）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台2、一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为 ①矩形；②直角三角形；③圆；④椭圆.其中正确的是A.①B.②C.③D.④3 ．设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, （ ）A ．若m∥α,n∥α,则m∥nB ．若m∥α,m∥β,则α∥βC ．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD ．若m∥α,α⊥β,则m⊥β4．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是（ ）A ．16B ．13C ．23D ．125 ．在空间，下列命题正确的是 （ ）A ．平行直线在同一平面内的射影平行或重合 B. 垂直于同一平面的两条直线平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 平行于同一直线的两个平面平行6、一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）A ．45,8B ．845,3C ．84(51),3+ D ．8,87、如图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π28、如图是不锈钢保温饭盒的三视图，根据图中数据（单位：cm ）， 则 该饭盒的表面积为A ．1100π2cmB ．900π2cmC ．800π2cmD ．600π2cm9、已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A ．3172B ．210C132D ．31010．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A 、233πB 、23πC 、736πD 、733π11、若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =A . 1:1.B . 2:1.C . 3:2.D . 4:1.12、在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，1P，2P 分别为线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112C ．16 D ．12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、已知正四棱锥O ABCD -的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________。

14、某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.15、已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 .16．(2013湖北 文16)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在直三棱柱111C B A ABC -中, AB BC ⊥, D 为棱1CC 上任一点. (1)求证：直线11A B ∥平面ABD ； (2)求证：平面ABD ⊥平面11BCC B .18．(本小题满分12分) 如图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点(1)求证:BC PAC ⊥平面；(2)设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面19．(本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA ==.OD 1B 1C 1D ACBA 1(Ⅰ) 证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.20．(本小题满分12分)如图1,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图2所示的三棱锥A BCF -,其中22BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3)当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.图1 图221．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，且E 是BC 中点.（1）求证：1//A B 平面1AEC ； （2）求证：1B C ⊥平面1AEC .22．(本小题满分12分)已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE = BC = 1，AE = 3，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点。

（1）求证：AE⊥MN；（2）求四棱锥M–ADNP的体积。

参考答案一、选择题 1、【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为圆台. 2、【答案】C【解析】当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时主视图和左视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，选C.3、【答案】C【解析】平行的传递性只有在线线和面面之间成立，其他的线面混合的不成立，所以A,B 错误。

两条平行线中的一条直线垂直于某个平面，则另一条也垂直该平面，所以C 正确. 4、【答案】B【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111112323V =⨯⨯⨯⨯=，选B. 5、【答案】B【解析】A 中的射影也有可能是两个点，错误。

C 中两个平面也可能相交，错误。

D 中的两个平面也有可能相交，错误。

所以只有B 正确。

6、【答案】B【解析】由三视图可知四棱锥的底面边长是2，高为2，斜高是5，所以11842545,222233S V =⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=侧，故选B.7、答案 C解析 连结AC 、BD 交于点O ，连结OE ，易得OE ∥P A . ∴所求角为∠BEO .由所给条件易得OB ＝62，OE ＝12P A ＝22，BE ＝2，∴cos ∠OEB ＝12，∴∠OEB ＝3π，选C.8、B由三视图可知，该饭盒是一个圆柱和半球的组合体，圆柱的底面半径为10cm ，高为30cm ，半球的半径为10cm ，则S 圆柱=22700rh r πππ+=.S 半球=22r π=200π，所以这个饭盒的表面积为90πcm 2.9、【答案】C【解析】由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M 。

计算AM=52，由垂径定理，OM=6，所以半径R=22513()622+=,选C.10、答案 D解析 上底半径r ＝1，下底半径R ＝2.∵S 侧＝6π，设母线长为l ，则π(1＋2)·l ＝6π，∴l ＝2，∴高h ＝l 2－(R －r )2＝3，∴V ＝13π·3(1＋1×2＋2×2)＝733π.故选D.11、【答案】C 12、【答案】A【解析】过2P 作2PO ⊥底面于O,连结1OP , 则1OP AB ⊥，即1OP 为三棱锥211PPAB -的高，设101AP x x =<<，，则由题意知1//OP AD ,所以有11OP BP AD AB=，即11OP x =-。

所以四面体121PP AB 的体积为11211111111(1)(1)()33266224AP B x x S OP x x x x ∆+-⋅=⨯-=-≤=，当且仅当1x x =-，即12x =时，取等号，所以四面体121PP AB 的体积的最大值为124，选A.二、填空题13、【答案】24π【解析】设正四棱锥的高为h ，则2132(3)32h ⨯=，解得高322h =。

则底面正方形的对角线长为236⨯=，所以22326()()622OA =+=,所以球的表面积为24(6)24ππ=. 14、【答案】π3【解析】 由三视图可知，该几何体是一个半径r=1的半个球体。

其表面积为πππ342122=+⋅r r 。

15、【答案】2π【解析】将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以222,2R R ==,则球的表面积为214422S R πππ==⨯=.16、【答案】3【解析】本题考查圆台的体积公式。

做出圆台的轴截面如图,由题意知，14BF =（单位寸，下同），6OC =,18,9OF OG ==,即G 是中点，所以GE 为梯形的中位线，所以146102GE +==，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为1(1003610036)95883πππππ++⨯⨯=。

盆口的面积为214196ππ=，所以5883196ππ=，即平地降雨量是3寸。

⊥三、解答题17、(1)证明:由直三棱柱111C B A ABC -,得11//A B AB ,而11,A B ABD AB ABD ⊄⊂平面平面,所以直线11A B ∥平面ABD . (2)因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以1AB BB ⊥,又AB BC ⊥,而1B B ⊂平面11BCC B ,BC ⊂平面11BCC B ,且1BB BC B = ,所以AB ⊥平面11BCC B 又AB ABD ⊂平面,所以平面ABD ⊥平面11BCC B .18、证明：(1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC. 由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC. 又PA∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BC ⊥平面PAC.11(2)连结OG 并延长交AC 于M ，连结QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点，由Q 为PA 中点，得QM ∥PC. 又O 为AB 中点，得OM ∥BC.因为QM∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO. MO ⊂平面QMO ，BC∩PC ＝C ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以平面QMO ∥平面PBC. 因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC.19、解: (Ⅰ) 设111O D B 线段的中点为. 在正方体AG 中有BD ∥B 1D 1,A 1O 1∥OC∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.11111,AO BD O OC B D O == ∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.(Ⅱ) ∵A 1O ∥O 1C.且平.在正方形AB CD 中,AO = 1 .三棱柱A 1B 1D 1-ABD 的体积V A1B1D1-ABD =S △ABD ·A 1O=12×()22×1=1. 11)2(2121111111=⋅⋅=⋅=-∆-O A S V ABD D B A ABD ABD D B A 的体积三棱柱. 所以,1111111=--ABD D B A V ABD D B A 的体积三棱柱.20、解：(1)在等边三角形ABC 中,AD AE = AD AE DB EC ∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立,//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,12BF CF ==.. 1 1 1 = ≥ O A OA RT 中，在 A12在三棱锥A BCF -中,22BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面;(3)由题意可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.11111131332323323324F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛⎫==⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭21、解：(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO因为四边形1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点，又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，所以1//EO A B又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC ,所以1//A B 平面1AEC .(2)因为AB AC =，又E 为CB 中点，所以AE BC ⊥又因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，又AE ⊂底面ABC , 所以1AE BB ⊥,又因为1BB BC B = ，所以AE ⊥平面11BCC B .又1B C ⊂平面11BCC B ，所以AE ⊥1B C .在矩形11BCC B 中, 1112tan tan 2CB C EC C ∠=∠=,所以111CB C EC C ∠=∠， 所以11190CB C EC B ∠+∠= ，即11B C EC ⊥又1AE EC E = ，所以1B C ⊥平面11BCC B ,22、解： （1）,//AE BE MP BE ⊥ MP AE ∴⊥又BC ⊥ 平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，BC AE ∴⊥, P N M AD CBE13 N 为DE 的中点，P 为AE 的中点，,//AD NP ∴ BC NP BC AD //,//∴ ， ,NP AE ∴⊥ 又,,NP MP P NP MP =⊂ 平面PMN .MN AE MNP MN MNP AE ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面（2）由（1）知AE MP ⊥,且2121==BE MP . //,ABE AD BC AD ∴⊥ 平面,ABE MP 平面⊂ ,MP AD ⊥∴, ADNP AE AD A AE AD 平面⊂=,, ,⊥∴MP ADNP 平面 //,ABE AD BC AD ∴⊥ 平面，AP AD ⊥∴, 又,//AD NP ADNP 四边形∴为直角梯形 131332228ADNP S ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭==梯形，21=MP , ∴四棱锥ADNP M -的体积1331338216ADNP V S MP =⋅=⋅⋅=梯形 .。