贵州省黔南州都匀一中2018-2019学年下学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B．C．πD．2π3．若不等式x2+2x﹣3≥0的解集是（）A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|x≤﹣3或x≥1} C．{x|x≥1} D．{x|x≤﹣3}4．下列命题正确的是（）A．若a2＞b2，则a＞b B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则a2＞b25．已知，那么cos（﹣2α）等于（）A．B．C．D．6．已知数列{an}是等比数列，且，a4=﹣1，则{an}的公比q为（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．7．在[0，2π]内，满足sinx＞cosx的x的取值范围是（）A．（，） B．（，） C．（，）D．（，）8．小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b（a＞b＞0），他往返甲乙两地的平均速度为v，则（）A．v=B．v=C．＜v＜D．b＜v＜9．已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则的最小值是（）A．6 B．4 C．3+2D．3+410．在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知sinA，sinB，sinC成等比数列，且a2=c（a+c﹣b），则角A为（）A．B． C． D．11．已知点A（0，1），动点P（x，y）的坐标满足y≤|x|，那么|PA|的最小值是（）A．B．C．D．112．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．23二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA 的方程为x ﹣y+1=0，则直线PB 的方程是______．14．等差数列{a n }前n 项和S n ，若S 10=S 20，则S 30=______．15．若0＜a ＜b 且a+b=1，则四个数，b ，2ab ，a 2+b 2中最大的是______．16．直线x+（a 2+1）y+1=0的倾斜角取值范围为______．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．已知函数f （x ）=x 2+（a ﹣2）x+a ﹣1，且f （x ）在[2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，2]上单调递减．（1）求实数a 的值；（2）求函数f （x ）的最小值；（3）不等式f （x ）≥﹣2的解．18．已知等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a 1+a 2+a 3=7，S 6=63．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，求数列{a n +b n }的前n 项和T n ．．19．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，已知2cos ﹣sin +1=0．（ I ）求sinC 的值；（ II ）若a 2+b 2=4（a+b ）﹣8，求c 的值．20．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W （元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？21．要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米．（Ⅰ）求y 关于x 的表达式；（Ⅱ）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？22．设a ＞0，b ＞0，且a+b=1．证明：（ I ）+≥a+b ；（II ）+≤2．贵州省黔南州都匀一中2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．2．若函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A．0 B．C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x+φ）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即sin（﹣x+φ）=sin（x+φ），∴（﹣x+φ）=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z，当（﹣x+φ）=x+φ+2kπ时，可得x=﹣kπ，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k∈Z，结合选项可得B为正确答案．故选：B．3．若不等式x2+2x﹣3≥0的解集是（）A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|x≤﹣3或x≥1} C．{x|x≥1} D．{x|x≤﹣3}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式x2+2x﹣3≥0化为（x+3）（x﹣1）≥0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2+2x﹣3≥0可化为（x+3）（x﹣1）≥0，解得x≤﹣3，或x≥1；∴不等式的解集是{x|x≤﹣3或x≥1}．故选：B．4．下列命题正确的是（）A．若a2＞b2，则a＞b B．若|a|＞b，则a2＞b2C ．若a ＞|b|，则a 2＞b 2D ．若a ＞b ，则a 2＞b 2【考点】不等式的基本性质．【分析】通过特殊值法代入判断即可．【解答】解：对于A ：错误，如a=﹣3，b=0；对于B ：错误，如|a|=2，b=﹣5，对于C ：正确；对于D ：错误，如a=0，b=﹣3，故选：C ．5．已知，那么cos （﹣2α）等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求值得解．【解答】解：∵，∴cos （﹣2α）=cos2α=2cos 2α﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：B ．6．已知数列{a n }是等比数列，且，a 4=﹣1，则{a n }的公比q 为（ ）A ．2B ．﹣C ．﹣2D ． 【考点】等比数列．【分析】由已知的题意利用等比数列的通项公式建立关于公比的方程即可．【解答】由，故选C ．7．在[0，2π]内，满足sinx ＞cosx 的x 的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，）C ．（，）D ．（，）【考点】三角函数线．【分析】由题意可得sin （x ﹣）＞0，可得 2k π＜x ﹣＜2k π+π，k ∈z ．再根据x ∈（0，2π）内，可得x 的范围．【解答】解：在[0，2π]内，∵sinx ＞cosx ，∴sin （x ﹣）＞0，∴2k π＜x ﹣＜2k π+π，k ∈z ．再根据x∈（0，2π）内，可得x∈（，），故选：B．8．小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b（a＞b＞0），他往返甲乙两地的平均速度为v，则（）A．v=B．v=C．＜v＜D．b＜v＜【考点】基本不等式．【分析】设甲地到乙地的距离为s．可得他往返甲乙两地的平均速度为v==，由于a＞b＞0，利用不等式的基本性质可得.=．即可得出．【解答】解：设甲地到乙地的距离为s．则他往返甲乙两地的平均速度为v==，∵a＞b＞0，∴，∴．=．∴．故选：D．9．已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则的最小值是（）A．6 B．4 C．3+2D．3+4【考点】基本不等式．【分析】由题意可得=（）（2x+y）=3++，由基本不等式求最值可得．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，∴=（）（2x+y）=3++≥3+2=3+2当且仅当=即x=且y=1+时取等号，故选：C10．在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知sinA，sinB，sinC成等比数列，且a2=c（a+c﹣b），则角A为（）A．B． C． D．【考点】余弦定理；等比数列的性质；正弦定理．【分析】先根据正弦定理以及sinA，sinB，sinC成等比数列能够得出b2=ac，再由余弦定理cosA=以及条件即可求出cosA，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．【解答】解：根据正弦定理以及sinA，sinB，sinC成等比数列可知b2=ac ①由余弦定理可知cosA=②又∵a2=c（a+c﹣b）∴a2=ac+c2﹣bc ③联立①②③解得cosA=A∈（0，180°）∴∠A=故选D．11．已知点A（0，1），动点P（x，y）的坐标满足y≤|x|，那么|PA|的最小值是（）A．B．C．D．1【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】作出平面区域，根据图形找出PA的最小值．【解答】解：作出平面区域如图，则|PA|的最小值为A（0，1）到直线x﹣y=0的距离d==．故选：B．12．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．【解答】解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以z=4+3=7，min故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB 的方程是x+y﹣5=0 ．【考点】直线的一般式方程．【分析】把P点的横坐标代入x﹣y+1=0求出纵坐标得到P的坐标，然后根据|PA|=|PB|得到P在线段AB的垂直平分线上，则过P作PQ⊥x轴即为AB的中垂线，根据中点坐标公式求出点B的坐标，然后根据P和B 的坐标写出直线方程即可．【解答】解：根据|PA|=|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据y=x+1求出点A的坐标为（﹣1，0），由P的横坐标是2代入y=x+1求得纵坐标为3，则P（2，3），又因为Q 为A 与B 的中点，所以得到B （5，0），所以直线PB 的方程为：y ﹣0=（x ﹣5）化简后为x+y﹣5=0故答案为：x+y ﹣5=014．等差数列{a n }前n 项和S n ，若S 10=S 20，则S 30= 0 ．【考点】等差数列的性质．【分析】利用S 10=S 20，可得2a 1=﹣29d ，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．【解答】解：∵S 10=S 20，∴10a 1+d=20a 1+d ，∴2a 1=﹣29d ．∴S 30=30a 1+d=15×（﹣29d ）+15×29d=0． 故答案为：015．若0＜a ＜b 且a+b=1，则四个数，b ，2ab ，a 2+b 2中最大的是 b ．【考点】不等式比较大小；基本不等式．【分析】由0＜a ＜b 得a 2+b 2＞2ab ，由0＜a ＜b 且a+b=1，把a 换为b 可得b ＞，下面只要比较a 2+b 2与b 的大小，两数作差，再根据b 的范围，可得差的最大值小于0，所以b 最大．【解答】解：（1）∵0＜a ＜b 且a+b=1，∴0＜1﹣b ＜b ，∴＜b ＜1，（2）∵0＜a ＜b ，∴a 2+b 2﹣2ab=（a ﹣b ）2，a 2+b 2＞2ab ，（3）∵a 2+b 2﹣b=（1﹣b ）2+b 2﹣b=2b 2﹣3b+1=2﹣，又∵＜b ＜1，∴当b=或b=1时，a 2+b 2﹣b 取得最大值为﹣＜0，∴a 2+b 2＜b ，综上可知：b 最大．故答案为b16．直线x+（a 2+1）y+1=0的倾斜角取值范围为 [135°，180°） ．【考点】直线的倾斜角．【分析】求出直线的斜率的范围，结合斜率是倾斜角的正切值得答案．【解答】解：设直线x+（a 2+1）y+1=0的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan α=，∵a 2+1≥1，∴，即tan α∈[﹣1，0），∴α∈[135°，180°）．故答案为：[135°，180°）．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．已知函数f （x ）=x 2+（a ﹣2）x+a ﹣1，且f （x ）在[2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，2]上单调递减．（1）求实数a 的值；（2）求函数f （x ）的最小值；（3）不等式f （x ）≥﹣2的解．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）利用二次函数的对称轴方程，即可求出实数a 的值；（2）直接利用二次函数的性质求出函数f （x ）的最小值；（3）转化不等式f （x ）≥﹣2为二次不等式，直接求解即可．【解答】解：（1）∵f （x ）在[2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，2]上单调递减，∴函数f （x ）=x 2+（a ﹣2）x+a ﹣1对称轴为，∴a=﹣2，∴f （x ）=x 2﹣4x ﹣3．（2）∵f （x ）=x 2﹣4x ﹣3，∴当且仅当x=2时，． （3）∵f （x ）≥﹣2，∴x 2﹣4x ﹣3≥﹣2，即x 2﹣4x ﹣1≥0．∵，∴不等式f （x ）≥﹣2的解集为：．18．已知等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a 1+a 2+a 3=7，S 6=63．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，求数列{a n +b n }的前n 项和T n ．．【考点】数列的求和；等比数列的前n 项和．【分析】（1）根据已知条件建立方程组求出数列的通项公式．（2）进一步求出数列{b n }的通项公式，进一步利用分类法求数列的和．【解答】解：（1）∵等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a 1+a 2+a 3=7，S 6=63，∴等比数列不是公比为1的等比数列，∴，∴两式相除得：，∴q3=8，∴q=2，a1=1，∴．（2）∵数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，∴bn=n．∵数列{an +bn}的前n项和Tn，∴（1+2+…+n）=．19．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知2cos﹣sin+1=0．（ I）求sinC的值；（ II）若a2+b2=4（a+b）﹣8，求c的值．【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦．【分析】（ I）由条件可得 2cos=1+sin，平方利用二倍角公式可得 1+5cosC=4，平方化简求得cosC的值，可得sinC的值．（ II）由条件可得（a﹣2）2+（b﹣2）2=0，求得 a=b=2，再利用余弦定理求得c的值．【解答】解：（ I）△ABC中，∵2cos﹣sin+1=0，∴2cos=1+sin，∴4=1+2sin+，即 4•=1+2•+，即+cosC=2，即 1+5cosC=4，平方可得1+25cos2C+10cosC=16•，求得cosC=﹣1（舍去），或cosC=，∴sinC==．（ II）若a2+b2=4（a+b）﹣8，∴（a﹣2）2+（b﹣2）2=0，∴a=b=2．∴c===．20．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【分析】（1）依题意，每天生产的伞兵的个数为100﹣x﹣y，根据题意即可得出每天的利润；（2）先根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设W=2x+3y+300，再利用T的几何意义求最值，只需求出直线0=2x+3y过可行域内的点A时，从而得到W值即可．【解答】解：（1）依题意每天生产的伞兵个数为100﹣x﹣y，所以利润W=5x+6y+3=2x+3y+300（x，y∈N）．（2）约束条件为整理得目标函数为W=2x+3y+300，如图所示，作出可行域．初始直线l：2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，W有最大值．由得最优解为A（50，50），所以W=550（元）．max答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550（元）21．要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h=AB，tan∠FED=，设AB=x米，BC=y米．（Ⅰ）求y关于x的表达式；（Ⅱ）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？【考点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式．【分析】（1）依题意可表示出梯形的高，和底边长，进而可得表示面积，可建立x，y的关系式，化为函数式即可；（2）RT△DEH中，可表示出DE，进而可得l=2y+6x=+，由基本不等式可得答案．【解答】解：（1）如图，等腰梯形EFCD中，DH是高，依题意：DH=AB=x，EH===，∴=xy+（x+x+）=xy+，∴y=，∵x＞0，y＞0，∴，解得0＜x＜，∴所求的表达式为：y=，（0＜x＜）（2）在RT △DEH 中，∵tan ∠FED=，∴sin ∠FED=，∴DE==÷=，∴l=（2x+2y ）+2×+（2×）=2y+6x==+≥2=26，当且仅当=，即x=3时取等号，此时y==4， ∴AB=3米，BC=4米时，用材料最少22．设a ＞0，b ＞0，且a+b=1．证明：（ I ）+≥a+b ；（II ）+≤2．【考点】不等式的证明．【分析】（1）去分母后使用分析法寻找使不等式成立的条件恒成立即可；（2）两边平方使用分析法寻找使得不等式成立的条件，转而证明条件恒成立即可．【解答】证明：（I ）∵a ＞0，b ＞0，且a+b=1，欲证+≥a+b ，即证+≥1只需证a 3+b 3≥ab ，即证（a+b ）（a 2﹣ab+b 2）≥ab ，即证a 2﹣ab+b 2≥ab ，只需证a 2﹣2ab+b 2≥0，即证（a ﹣b ）2≥0，显然（a ﹣b ）2≥0恒成立，∴+≥a+b ．（II ）欲证+≤2，只需证（+）2≤8，即证2a+2b+2+2≤8，即证≤2，只需证（2a+1）（2b+1）≤4，即证4ab+2a+2b+1≤4，即证ab ．∵a+b=1，∴=，∴ab．∴+≤2．。