专题39 快速解选择题的解法大全一、题型特点近几年来,在新课标全国卷Ⅰ数学试题中选择题一直是12道题,填空题一直是4道题,所占分值为80分,约占数学试题总分数的53%。

且在高考题中属于中低难度的试题,仅有个别题属于较高难度试题,在一般的情况下分别按由易到难的顺序排列,在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果,不要求写出解答过程的试题．具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广,其中融入多种数学思想和方法等特点,可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题、判断问题、推理问题和解决问题的能力． 二、解题思路做选填题的步骤为：1．首先,审题．能很好的把数学的三种语言(文字语言、图形语言、数字符号语言)之间快速转化并发掘题目中的隐含条件,要去伪存真,快速领会题目的真正含义．2．其次,要注意选填题的解题技巧．小题小做、巧做,简单做,要多用数形结合、特殊值法等技巧,节约时间．3．最后,仔细检查答卷不能有漏填的现象(遇到不会做的,也不要空着不做,一定要写一个答案),不能有把答案抄错的现象． 三、典例分析 (一)直接演绎法所谓直接演绎法,就是直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果．例1(2015课标全国Ⅰ)已知点M(x 0,y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是( ) A 。

⎝⎛⎭⎫－33，33 B 。

⎝⎛⎭⎫－36，36 C 。

⎝⎛⎭⎫－223，223 D 。

⎝⎛⎭⎫－233，233 【解析】选A 。

由题意知a ＝2,b ＝1,c ＝3, ∴F 1(－3,0),F 2(3,0),∴MF 1→＝(－3－x 0,－y 0),MF 2→＝(3－x 0,－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0,∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0, 即x 20－3＋y 20<0。

∵点M(x 0,y 0)在双曲线上, ∴x 202－y 20＝1,即x 20＝2＋2y 20。

∴2＋2y 20－3＋y 20<0,∴－33<y0<33。

故选A。

【反思】直接演绎法是解选择填空题最基本的方法,涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目,充分挖掘题设条件,通过严谨的推理,正确的运算必能得出正确的答案．因此,学会熟练运用基本知识,并能迅速分析题目,抓住主干,吃透题意是用直接演绎法解题的不二法宝．练习1．已知为三角形内角,且,若,则关于的形状的判断,正确的是A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．三种形状都有可能【答案】C练习2．如图,在中,,,为上一点,且满足,若的面积为,则的最小值为( )A．B．C．3D．【答案】D【解析】,得到,所以,结合的面积为,得到,得到,所以,故选D。

练习3．等差数列和的前n项和分别为与,对一切自然数n,都有,则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】,故选D。

练习4．已知数列满足,,则A．2n B．C．D．【答案】D【解析】数列满足,,可得：,所以数列是等差数列,可得：,可得,故选：D．练习5．已知数列和首项均为1,且,,数列的前项和为,且满足,则（）A．2019B．C．D．【答案】D【解析】由,可得：,即数列是常数列,又数列首项为1,所以,所以可化为,因为数列的前项和,所以,所以,因此数列是以2为公差的等差数列,又,所以,故,所以。

故选D(二) 特例(值)法所谓特例(值)法,就是利用满足题设条件的一些特殊数值、特殊函数、特殊方程、特殊数列、特殊点、特殊角、特殊图形、特殊位置等进行求解,从而得出正确答案．例2(2014课标全国Ⅰ)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且tan α＝1＋sin βcos β,则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2 D ．2α＋β＝π2【解析】∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,取β＝π6, ∴sin β＝12,cos β＝32,∴tan α＝1＋sin βcos β＝3,又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2, ∴取α＝π3,则有2α－β＝π2。

故选B 。

【反思】特例(值)法是高考数学解选择填空题的最佳方法,能降低解题难度,提高解题效率．当正确的选择对象,在题设普遍条件下都成立的情况下,用特例(值)法(取得越简单越好)进行探究,从而清晰、快捷地得到正确答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律． 练习1．给出下列五个命题： ①若为真命题,则为真命题； ②命题“,有”的否定为“,有”；③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；④在锐角三角形中,必有； ⑤为等差数列,若,则其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A【解析】对于①,若为真命题,则 与 中至少有一个为真命题, 不一定为真命题,故错误。

对于②,命题“,有”,则为,有,故错误。

对于③, 若平面向量,的夹角为可能为,故错误。

对于④,在锐角三角形中,必有,即,所以,所以,故正确；对于⑤,在等差数列 中,若为常数,则满足,,但是不成立,即不成立,故错误,故选A 。

练习2．已知数列满足：,则的前40项的和为（ ）A ．860B ．1240C ．1830D ．2420 【答案】B(三) 极限化法在一些选择填空题中,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行计算,以此来判断结果．这种通过动态变化,或对极端取值来解选择填空的策略是一种极限化法．例3．P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0,b>0)的右支上的一点,F 1,F 2分别是左、右焦点,则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为( )A ．aB ．bC 。

a 2＋b 2D ．a ＋b －a 2＋b 2【解析】如图,点P 沿双曲线向右顶点无限接近时,△PF 1F 2的内切圆越来越小,直至“点圆”,此“点圆”应为右顶点,则内切圆圆心的横坐标为a 。

故选A【反思】用极限化法是解选择填空题的一种有效方法,也是在选择填空题中避免“小题大做”的有效途径．它根据题干及选择支的特征,考虑极端情形,有助于缩小做题难度,计算简便,能迅速得到答案．练习1．已知椭圆的左、右焦点分别为,,为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点,,分别为的内心、重心,当轴时,椭圆的离心率为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】如图,令点在第一象限（由椭圆对称性,其他位置同理）,连接,显然点在上,连接并延长交轴于点,连接并延长交轴于点,轴,过点作垂直于轴于点,设点,,则,因为为的重心,所以,因为轴,所以点横坐标也为,,因为为的角平分线,则有,又因为,所以可得,又由角平分线的性质可得,,而所以得,所以,,所以,即,因为即,解得,所以答案为A。

练习2．定义直线l：为椭圆的右准线,研究发现椭圆上任意一点M到右焦点的距离与它到l的距离之比为定值,已知椭圆,为椭圆内一点,点M为椭圆上的动点,当取最小值时,M点的坐标为A．B．C．D．【答案】B(四)数形结合法所谓数形结合法是把抽象的数学语言同直观的图形结合起来,通过“以形助数”、“以数辅形”,使抽象思维与形象思维相结合,通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题．例4(2015课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝e x (2x －1)－ax ＋a,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f(x 0)<0,则a 的取值范围是( )A 。

⎣⎡⎭⎫－32e ，1B 。

⎣⎡⎭⎫－32e ，34C 。

⎣⎡⎭⎫32e ，34D 。

⎣⎡⎭⎫32e ，1 【解析】选D 。

设g(x)＝e x (2x －1),y ＝ax －a,由题知存在唯一的整数x 0,使得g(x 0)在直线y ＝ax －a 的下方, 因为g′(x)＝e x (2x ＋1), 所以当x<－12时,g′(x)<0,当x>－12时,g′(x)>0,所以当x ＝－12时,[g(x)]min ＝－2e －12,作出大致图象如图所示,当x ＝0时,g(0)＝－1, g(1)＝e >0,直线y＝ax－a恒过(1,0),斜率为a,故－a>g(0)＝－1,且g(－1)＝－3e－1≥－a－a,解得32e≤a<1。

故选D。

【反思】“数”与“形”是数学的重要基石,二者在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可以互相转化,如果在解答选择填空题的过程中能够很好的运用这一数学解题中最重要的方法之一,就能够使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,进而简化解题过程,从而达到事半功倍的效果．练习1。

已知,,则的最小值是( )A．1B．C．2D．【答案】C【解析】设是曲线上的点,是直线上的点；可看成曲线上的点到直线上的点的距离的平方．对函数求导得,令,得,所以,曲线上一点到直线上距离最小的点为,该点到直线的距离为．因此,的最小值为．故选：C．练习2．设函数若关于的方程恰有四个不同的实数解,则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得或或,作出函数的图象如图,由图可知与的图象有2个交点；与的图象有1个交点, 所以方程与分别有2个与1个根,要使方程恰有四个不同的实数解,只需由1个不同于以上3个根的解,即与的图象有1个交点, 有图可知,当且或时符合题意,所以使方程恰有四个不同的实数解,实数的取值范围为,故选D 。

【点睛】本题考査方程的解、函数的零点、图象的交点,考査数形结合的解题思想方法,是中档题。

函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点。

(五) 构造法所谓构造法就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征,用已知条件中的元素为“元件”,用已知的数学关系为“支架”,在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性,为待解决的问题设置一个框架,从而使问题转化并得到解决的方法．例5(2015·课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数,f (－1)＝0,当x >0时, xf ′(x )－f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞,－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1,＋∞)C ．(－∞,－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1,＋∞) 【解析】选A 。

构造函数g (x )＝f （x ）x ,则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2,当x >0时,总有xf ′(x )－f (x )<0, 即当x >0时,g ′(x )恒小于0, ∴当x >0时,函数g (x )为减函数,又∵g (－x )＝g (x ),∴g (x )为定义域上的偶函数, 又∵g (－1)＝f （－1）－1＝0,∴g (x )的图象性质类似如图：数形结合可得,不等式f (x )>0⇔xg (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0g （x ）>0 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0g （x ）<0,⇔0<x <1或x <－1。