2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一)1.如图所示,四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 为正方形,⊥PD 平面ABCD ,2PD AB ,点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点.(1)求证:EF PA ⊥;(2)求二面角D FG E 的余弦值.2.如图所示,该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF 和一个正四棱锥P ABCD 组合而成,AF AD ⊥,2AEAD .(1)证明:平面⊥PAD 平面ABFE ;(2)求正四棱锥P ABCD 的高h ,使得二面角C AF P 的余弦值是223.3.四棱锥P ABCD-中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是面积为ADC∠为锐角,M为PB的中点.(Ⅰ)求证:PD∥面ACM.(Ⅱ)求证:PA⊥CD.(Ⅲ)求三棱锥P ABCD-的体积.4.如图,四棱锥S ABCD-满足SA⊥面ABCD,90DAB ABC∠=∠=︒.SA AB BC a===,2AD a=.(Ⅰ)求证:面SAB⊥面SAD.(Ⅱ)求证:CD⊥面SAC.SB A DMC BAPD5.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,测棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,点E 是BC 的中点,作EF PB ⊥交PB 于F . (Ⅰ)求证:平面PCD ⊥平面PBC . (Ⅱ)求证:PB ⊥平面EFD .6.在直棱柱111ABC A B C -中,已知AB AC ⊥,设1AB 中点为D ,1A C 中点为E . (Ⅰ)求证:DE ∥平面11BCC B . (Ⅱ)求证:平面11ABB A ⊥平面11ACC A .E DABC C 1B 1A 1DAB CEF P7.在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,//AB CD ,AB AD ⊥,PA PB =,::2:2:1AB AD CD =.(1)证明BD PC ⊥;(2)求二面角A PC D --的余弦值;(3)设点Q 为线段PD 上一点,且直线AQ 平面PAC 所成角的正弦值为23,求PQ PD的值.8.在正方体1111ABCD A B C D -中,O 是AC 的中点,E 是线段D 1O 上一点,且D 1E =λEO . (1)若λ=1,求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值; (2)若λ=2,求证:平面CDE ⊥平面CD 1O .9.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,135BCD =︒∠,侧面PAB ⊥底面ABCD ,90BAP =︒∠,2AB AC PA ===,E ,F 分别为BC ,AD 的中点,点M 在线段PD 上.(Ⅰ)求证:EF ⊥平面PAC .(Ⅱ)若M 为PD 的中点,求证:ME ∥平面PAB . (Ⅲ)如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所在的角相等,求PMPD的值.10.如图,在三棱柱111ABC A B C -,1AA ⊥底面ABC ,AB AC ⊥,1AC AB AA ==,E ,F 分别是棱BC ,1A A 的中点,G 为棱1CC 上的一点,且1C F ∥平面AEG . (1)求1CGCC 的值. (2)求证:1EG AC ⊥. (3)求二面角1A AG E --的余弦值.A 1B 1C 1G F AB CEM F E CBAPD11.如图,在四棱锥P ABCD -中,PB ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形,AD BC ∥,AD AB ⊥,且3PB AB AD ===,1BC =.(Ⅰ)若点F 为PD 上一点且13PF PD =,证明:CF ∥平面PAB .(Ⅱ)求二面角B PD A --的大小. (Ⅲ)在线段PD 上是否存在一点M ,使得CM PA ⊥若存在,求出PM 的长;若不存在,说明理由.12.如图,在四棱锥E ABCD -中,平面EAD ⊥平面ABCD ,CD AB ∥,BC CD ⊥,EA ED ⊥,4AB =,2BC CD EA ED ====.Ⅰ证明:BD AE ⊥.Ⅱ求平面ADE 和平面CDE 所成角(锐角)的余弦值.DABCEPF DBCA13.己知四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是菱形,且2PA AB ==.60ABC ∠=︒,BC 、PD 的中点分别为E ,F .(Ⅰ)求证BC PE ⊥.(Ⅱ)求二面角F AC D --的余弦值.(Ⅲ)在线段AB 上是否存在一点G ,使得AF 平行于平面PCG ?若存在,指出G 在AB 上的位置并给予证明,若不存在,请说明理由.14.如图,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,AF DE ∥,3DE AF =,BE 与平面ABCD 所成角为60︒.(Ⅰ)求证:AC ⊥平面BDE . (Ⅱ)求二面角F BE D --的余弦值.(Ⅲ)设点M 线段BD 上一个动点,试确定点M 的位置,使得AM ∥平面BEF ,并证明你的结论.DDABCEF15.如图,PA ⊥面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证:AM ⊥平面PBC . (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值. (Ⅲ)在线段PC 上是否存在点D ,使得BD AC ⊥,若存在,求出PDPC的值,若不存在,说明理由.16.如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,AB ⊥平面,//,PAD AB CD E 是PB 的中点,2,5,3,2AHPD PA AB AD HD===== . (1)证明:PH ⊥平面ABCD ;(2)若F 是CD 上的点,且23FC FD ==,求二面角B EF C --的正弦值.MDABCP17.如图,DC ⊥平面ABC ,//EB DC ,22AC BC EB DC ====,120ACB ∠=︒,Q为AB 的中点.(Ⅰ)证明:CQ ⊥平面ABE ; (Ⅱ)求多面体ACED 的体积; (Ⅲ)求二面角A -DE -B 的正切值.18.如图1 ,在△ABC 中,AB =BC =2, ∠B =90°,D 为BC 边上一点,以边AC 为对角线做平行四边形ADCE ,沿AC 将△ACE 折起,使得平面ACE ⊥平面ABC ,如图2.(1)在图 2中,设M 为AC 的中点,求证:BM 丄AE ; (2)在图2中,当DE 最小时,求二面角A -DE -C 的平面角.19.如图所示,在已知三棱柱ABF -DCE 中,90ADE ∠=︒,60ABC ∠=︒,2AB AD AF ==,平面ABCD ⊥平面ADEF ,点M在线段BE 上,点G 是线段AD 的中点.(1)试确定点M 的位置,使得AF ∥平面GMC ; (2)求直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值.20.已知在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是菱形,AC =AB ,P A ⊥平面ABCD ,E ,F 分别是AB ,PD 的中点.(Ⅰ)求证:AF ∥平面PCE ;(Ⅱ)若22AB AP ==,求平面P AD 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值.21.如图,五面体P ABCD 中,CD ⊥平面P AD ,ABCD 为直角梯形,,2BCD PD BC CD π∠===1,2AD AP PD =⊥. (1)若E 为AP 的中点,求证:BE ∥平面PCD ; (2)求二面角P -AB-C 的余弦值.22.如图(1)所示,已知四边形SBCD 是由Rt △SAB 和直角梯形ABCD 拼接而成的,其中90SAB SDC ∠=∠=︒.且点A 为线段SD 的中点,21AD DC ==,2AB =.现将△SAB沿AB 进行翻折,使得二面角S -AB -C 的大小为90°,得到图形如图(2)所示,连接SC ,点E ,F 分别在线段SB ,SC 上. (Ⅰ)证明:BD AF ⊥;(Ⅱ)若三棱锥B -AEC 的体积为四棱锥S -ABCD 体积的25,求点E 到平面ABCD 的距离.23.四棱锥S-ABCD中,AD∥BC,,BC CD⊥060SDA SDC∠=∠=,AD DC=1122BC SD==,E为SD的中点.(1)求证:平面AEC⊥平面ABCD;(2)求BC与平面CDE所成角的余弦值.24.已知三棱锥P-ABC,底面ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形,P A⊥AC,BA=BC=P A=2,二面角P-AC-B的大小为120°.(1)求直线PC与平面ABC所成角的大小;(2)求二面角P-BC-A的正切值.25.如图,在四棱锥P -ABCD 中,平面P AD ⊥平面ABCD ,090=∠=∠BCD ABC ,AB CB DC PD PA 21====,E 是PB 的中点, (Ⅰ)求证:EC ∥平面APD ;(Ⅱ)求BP 与平面ABCD 所成的角的正切值; (Ⅲ)求二面角P -AB -D 的余弦值.26.四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为边长为2的正方形,P A =2,PB =PD =22,E ,F ,G ,H 分别为棱P A ,PB ,AD ,CD 的中点.(1)求CD 与平面CFG 所成角的正弦值;(2)探究棱PD 上是否存在点M ,使得平面CFG ⊥平面MEH ,若存在,求出PDPM的值;若不存在,请说明理由.试卷答案1以点D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ,则 0,0,0D ,0,2,0A ,2,0,0C,0,0,2P ,1,0,1E ,0,0,1F ,2,1,0G .(1)∵0,2,2PA ,1,0,0EF,则0PA EF ,∴PA EF .(2)易知0,0,1DF,2,11FG, 设平面DFG 的法向量111,,m x y z ,则m DF m FG ,即1111020z x yz ,令11x ,则1,2,0m 是平面DFG 的一个法向量,同理可得0,1,1n 是平面EFG 的一个法向量,∴210cos ,552m n m nm n, 由图可知二面角D FG E 为钝角, ∴二面角D FG E 的余弦值为105.2.(1)证明:直三棱柱ADE BCF 中,AB 平面ADE ,所以:AB AD ,又AD AF ,所以:AD平面ABFE ,AD 平面PAD ,所以:平面PAD 平面ABFE .(2)由(1)AD平面ABFE ,以A 为原点,,,AB AE AD 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz ,设正四棱锥P ABCD 的高h ,2AE AD ,则0,0,0A ,2,2,0F ,2,0,2C ,1,,1P h . 2,2,0AF,2,0,2AC,1,,1APh .设平面ACF 的一个法向量111,,m x y z ,则:1111220220m AF x y n ACx z ,取11x ,则111y z ,所以:1,1,1m .设平面AFP 的一个法向量222,,n x y z ,则222222200n AF x y n APx hy z ,取21x ,则21y ,21z h ,所以:1,1,1n h ,二面角C AF P 的余弦值是223,所以:211122cos ,3321m n h m n m nh , 解得:1h .3.E ODPABC M(Ⅰ)证明:连结AC 交BD 于O ,则O 是BD 中点, ∵在PBD △中,O 是BD 的中点,M 是PB 的中点, ∴PD MO ∥,又PD ⊄平面ACM ,MO ⊂平面ACM ,∴PD ∥平面ACM .(Ⅱ)证明:作PE CD ⊥,则E 为CD 中点,连结AE , ∵底面ABCD 是菱形,边长为2,面积为,∴11sin 222sin 222S AD DC ADC ADC =⨯⨯⨯∠⨯=⨯⨯∠⨯=∴sin ADC ∠,60ADC ∠=︒, ∴ACD △是等边三角形, ∴CD AE ⊥, 又∵CD PE ⊥, ∴CD ⊥平面PAE , ∴CD PA ⊥.(Ⅲ)11233P ABCD ABCD V S PE -=⨯=⨯.4.DABCSE(1)证明:∵SA ⊥平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD , ∴AB SA ⊥, 又∵90BAD ∠=︒, ∴AB AD ⊥, ∵SA AD A =, ∴AB ⊥平面SAD , 又AB ⊂平面SAB , ∴平面SAB ⊥平面SAD . (Ⅱ)证明:取AD 中点为E ,∵90DAB ABC ∠=∠=︒,2AD a =,BC a =,E 是AD 中点, ∴ABCE ∠是矩形,CE AB a ==,DE a =,∴CD =,在ACD △中,AC,CD =,2AD a =, ∴222AC CD AD +=, 即CD AC ⊥,又∵SA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , ∴CD SA ⊥, ∴CD ⊥平面PAC . 5.P F ECB AD(Ⅰ)证明:∵PD ⊥底面ABCD ,BC ⊂平面ABCD , ∴PD BC ⊥,又∵底面ABCD 为矩形, ∴BC CD ⊥, ∴BC ⊥平面PCD , ∵BC ⊂平面PBC , ∴平面PCD ⊥平面PBC .(Ⅱ)证明:∵PD DC =,E 是PC 中点, ∴DE PC ⊥,又平面PCD ⊥平面PBC ,平面PCD 平面PBC PC =, ∴DE ⊥平面PBC , ∴DE PB ⊥, 又∵EF PB ⊥,EF DE E =,∴PB ⊥平面EFD .6.E A 1B 1C 1CBAD(Ⅰ)证明:连结1A B , ∵D 是1AB 的中点, ∴D 是1A B 的中点,∵在1A BC △中,D 是1A B 的中点,E 是1A C 的中点, ∴DE BC ∥,又DE ⊄平面11BCC B ,BC ⊂平面11BCC B , ∴DE ∥平面11BCC B .(Ⅱ)证明:∵111ABC A B C -是直棱柱, ∴1AA ⊥平面ABC , ∴1AA AB ⊥, 又AB AC ⊥, ∴AB ⊥平面11ACC A , ∵AB ⊂平面11ABB A , ∴平面11ABB A ⊥平面11ACC A .7.以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系(2,0,0)B,D ,(0,0,2)P,C(1)(BD =-,(1,2)PC =-, ∵0BD PC •=∴BD PC ⊥(2)(1,AC =,(0,0,2)AP =,平面PAC 的法向量为(2,1,0)m =-(0,2)DP =,(1,0,0)AP =,平面DPC 的法向量为(0,2,1)n =--.2cos ,3m n m n m n•==•,二面角B PC D --的余弦值为3.(3)∵AQ AP PQ AP tPD =+=+,[]0,1t ∈ ∴(0,0,2)(0,2,2)(0,2,22)AQ t t t =+-=- 设θ为直线AQ 与平面PAC 所成的角2sin cos ,3AQ m AQ m AQ mθ•===• 2222223684332(22)tt t t t t =⇒=-++-,解得2t =(舍)或23. 所以,23PQ PD =即为所求.8.解:(1)不妨设正方体的棱长为1,以DA ,DC ,1DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -. 则A (1,0,0),()11022O ,,,()010C ,,,D 1(0,0,1), E ()111442,,, 于是,.由cos==.所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36. (2)设平面CD 1O 的向量为m =(x 1,y 1,z 1),由m ·CO =0,m ·1CD =0 得 取x 1=1,得y 1=z 1=1,即m =(1,1,1) .由D 1E =λEO ,则E ,.又设平面CDE 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),由n ·CD =0,n ·DE =0. 得取x 2=2,得z 2=-λ,即n =(-2,0,λ) .因为平面CDE ⊥平面CD 1F ,所以m ·n =0,得λ=2.9.(Ⅰ)证明:在平行四边形ABCD 中, ∵AB AC =,135BCD =︒∠,45ABC =︒∠, ∴AB AC ⊥,∵E ,F 分别为BC ,AD 的中点, ∴EF AB ∥,∴EF AC ⊥,∵侧面PAB ⊥底面ABCD ,且90BAP =︒∠, ∴PA ⊥底面ABCD ,∴PA EF ⊥, 又∵PAAC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,∴EF ⊥平面PAC .(Ⅱ)证明:∵M 为PD 的中点,F 为AD 的中点, ∴MF PA ∥,又∵MF ⊄平面PAB ,PA ⊂平面PAB , ∴MF ∥平面PAB ,同理,得EF ∥平面PAB , 又∵MFEF F =,MF ⊂平面M EF ,EF ⊂平面M EF ,∴平面MEF ∥平面PAB ,又∵ME ⊂平面M EF , ∴ME ∥平面PAB .(Ⅲ)解:∵PA ⊥底面ABCD ,AB AC ⊥,∴AP ,AB ,AC 两两垂直,故以AB ,AC ,AP 分别为x 轴,y 轴和z 轴建立如图空间直角坐标系,则(0,0,0)A ,(2,0,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,2)P ,(2,2,0)D -,(1,1,0)E , 所以(2,0,2)PB =-,(2,2,2)PD =--,(2,2,0)BC =-, 设([0,1])PMPDλλ=∈,则(2,2,2)PM λλλ=--, ∴(2,2,22)M λλλ--,(12,12,22)ME λλλ=+--, 易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =, 设平面PBC 的法向量为(,,z)n x y =,则:n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩,令1x =,得(1,1,1)n =, ∴直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等, ∴|cos ,||cos ,|ME m ME n <>=<>,即||||||||||||ME m ME n ME m ME n ⋅⋅=⋅⋅,∴|21|λ-=,解得λ=或λ=(舍去),故PM PD .D10.(1)∵1C F ∥平面AEG ,又1C F ⊂平面11ACC A ,平面11ACC A 平面AEG AG =,∴1C F AG ∥,∵F 为1AA 的点,且侧面11ACC A 为平行四边形, ∴G 为1CC 中点, ∴112CG CC =. (2)证明:∵1AA ⊥底面ABC ,1AA AB ⊥,1AA AC ⊥, 又AB AC ⊥,如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -,设2AB =,则由1AB AC AA ==可得(2,0,0)C ,(0,2,0)B ,1(2,0,2)C ,1(0,0,2)A , ∵E ,G 分别是BC ,1CC 的中点,∴(1,1,0)E ,(2,0,1)G , ∴1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=, ∴1EG CA ⊥, ∴1EG AC ⊥. (3)设平面AEG 的法向量为(,,)n x y z =,则:0n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即020x y x z +=⎧⎨+=⎩,令1x =,则1y =-,2z =-, ∴(1,1,2)n =--,由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)m =, ∴6cos ,6||||n m n m n m ⋅<>==-⋅由题意知二面角1A AG E --为钝角, ∴二面角1A AG E --的余弦值为.111.(Ⅰ)证明:过点F 作FH AD ∥, 交PA 于H ,连结BH ,如图所示,∵13PF PD =,∴13HF AD BC ==,又FH AD ∥,AD BC ∥,HF BC ∥, ∴四边形BCFH 为平行四边形, ∴CF BH ∥,又BH ⊄平面PAB ,CF ⊄平面PAB , ∴CF ∥平面PAB .z D(Ⅱ)解:∵梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥, ∴BC AB ⊥, ∵PB ⊥平面ABCD , ∴PB AB ⊥,PB BC ⊥,∴如图,以B 为原点,BC ,BA ,BP 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系, 则(1,0,0)C ,(3,0,0)D ,(0,3,0)A ,(0,0,3)P ,设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =, 平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =, ∵(3,3,3)PD =-,(0,0,3)BP =,∴00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩,令1x =得(1,1,0)n =-,同理可得(0,1,1)m =, ∴1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-⋅,∵二面角B PD A --为锐角, ∴二面角B PD A --为π3. (Ⅲ)假设存在点M 满足题意,设(3,3,3)PM PD λλλλ=-, ∴(13,3,33)CM CP PD λλλλ=+=-+-,∵(0,3,3)PA =-,∴93(33)0PA CM λλ⋅=+-=,解得12λ=,∴PD 上存在点M 使得CM PA ⊥,且12PM PD =.12.Ⅰ∵BC CD ⊥,2BC CD ==,∴BD =,同理EA ED ⊥,2EA ED ==,∴AD =,又∵4AB =,∴由勾股定理可知222BD AD AB +=,BD AD ⊥, 又∵平面EAD ⊥平面ABCD ,平面EAD 平面ABCD AD =,BD ⊂平面ABCD ,∴BD ⊥平面AED , 又∵AE ⊂平面AED , ∴BD AE ⊥.Ⅱ解:取AD 的中点O ,连结OE ,则OE AD ⊥, ∵平面EAD ⊥平面ABCD ,平面EAD 平面ABCD AD =,∴OE ⊥平面ABCD ,取AB 的中点F ,连结DF BD ∥,以O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,则(D ,(C -,E ,(DC =-,(2,0,DE =, 设平面CDE 的法向量为(,,)n x y z =,则00DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00x z x y +=⎧⎨-+=⎩,令1x =,则1z =-,1y =,∴平面CDE 的法向量(1,1,1)n =-, 又平面ADE 的一个法向量为1(0,1,0)n =, 设平面ADE 和平面CDE 所成角(锐角)为θ, 则1113cos |cos ,|3||||nn n n n n θ⋅=<>==⋅,∴平面ADE 和平面CDE. C13.(1)证明:连结AE ,PE .∵PA ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD , ∴PA BC ⊥.又∵底面ABCD 是菱形,AB BC =,60ABC ∠=︒, ∴ABC △是正三角形. ∵E 是BC 的中点, ∴AE BC ⊥.又∵PA AE A =,PA ⊂平面PAE ,PE ⊂平面PAE ,∴BC ⊥平面PAE , ∴BC PE ⊥.(2)由(1)得AE BC ⊥,由BC AD ∥可得AE AD ⊥. 又∵PA ⊥底面ABCD ,∴PA AE ⊥,PA AD ⊥.∴以A 为原点,分别以AE ,AD ,AP 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,如图所示,则(0,0,0)A,E ,(0,2,0)D ,(0,0,2)P,1,0)B -,C ,(0,1,1)F .∵PA ⊥平面ABCD ,∴平面ABCD 的法向量为(0,0,2)AP =. 又∵(3,1,0)AC =,(0,1,1)AF =. 设平面ACF 的一个法向量(,,)n x y z =,则:AC n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即00y y z +==⎪⎩+,令1x =,则y =z ,∴(1,3,n =-. ∴21cos ,7||||AP n AP n AP n ⋅==. ∵二面角F AC D --是锐角, ∴二面角F AC D -- (3)G 是线段AB 上的一点,设(01)AG t AB t =≤≤. ∵(3,1,0)AB =-,∴,,0)G t -. 又∵(3,1,2)PC =-,(3,,2)PG t t =--. 设平面PCG 的一个法向量为(,,)n x y z =,则:1100PC n PGn ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1111112020y z ty z-=--=+,∴1()n t t =-+, ∵AF ∥平面PCG ,∴AF n ⊥,0AF n ⋅=1)0t -=, 解得12t =. 故线段AB 上存在一点G ,使得AF 平行于平面PCG ,G 是AB 中点.14.(1)证明:∵DE ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , ∴DE AC ⊥. ∵ABCD 是正方形, ∴AC BD ⊥. 又DEBD D =,∴AC ⊥平面BDE .(2)∵DA ,DC ,DE 两两重叠,∴建立空间直角坐标系D xyz -如图所示.∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒,即60DBE ∠=︒,∴EDDB. 由3AD =,可知DZ =AF ,则(3,0,0)A,F,E ,(3,3,0)B ,(0,3,0)C .∴(0,BF =-,(3,0,EF =-, 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =,则00n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即3030y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,令z (4,2,6)n =. ∵AC ⊥平面BDE ,∴CA 为平面BDE 的一个法向量,(3,3,0)CA =-,∴cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅==.∵二面角F BE D --为锐角, ∴二面角F BE D -- (3)点M 线段BD 上一个动点,设(,,0)M t t ,则(3,,0)AM t t =-.∵AM ∥平面BEF ,∴0AM n ⋅=,即4(3)20t t -+=,解得2t =,此时,点M 坐标为(2,2,0),13BM BD =,符合题意.15.(1)证明:∵PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC , ∴PA BC ⊥.∵BC AB ⊥,PA AB A =, ∴BC ⊥平面PAB . 又AM ⊂平面PAB , ∴AM BC ⊥.∵PA AB =,M 为PB 的中点, ∴AM PB ⊥. 又∵PBBC B =,∴AM ⊥平面PBC .(2)如图,在平面ABC 内作AZ BC ∥,则AP ,AB ,AZ 两两垂直,建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0)A ,(2,0,0)P ,(0,2,0)B ,(0,2,1)C ,(1,1,0)M . (2,0,0)AP =,(0,2,1)AC =,(1,1,0)AM =.设平面APC 的法向量为(,,)n x y z =,则:0n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即020x y z =⎧⎨+=⎩,令1y =,则2z =-. ∴(0,1,2)n =-.由(1)可知(1,1,0)AM =为平面PBC 的一个法向量,∴cos||||5AM nn AMAM n⋅⋅==∵二面角A PC B--为锐角,∴二面角A PC B--.(3)证明:设(,,)D v wμ是线段PC上一点,且PD PCλ=,(01)λ≤≤,即(2,,)(2,2,1)v wμλ-=-,∴22μλ=-,2vλ=,wλ=.∴(22,22,)BDλλλ=--.由0BD AC⋅=,得4[0,1]5λ=∈,∴线段PC上存在点D,使得BD AC⊥,此时45PDPCλ==.16.解:(1)证明:因为AB⊥平面PAD,所以PH AB⊥,因为3,2AHADHD==,所以2,1AH HD==,设PH x=,由余弦定可得,22221cos22x HD PH xPHDx HD x+--∠==⋅22221cos24x HA PH xPHAx HA x+--∠==⋅因为cos cosPHD PHA∠=-∠,故1PH x==,所以PH AD⊥,因为AD AB A=,故PH⊥平面ABCD.(2)以H为原点,以,,HA HP HP所在的直线分别为,,x y z轴,建立空间直角坐标系,则3139(2,3,0),(0,0,1),(1,,),(1,,0),(1,,0)2222B P E F C--,所以可得,3311(3,,0),(1,,),(2,0,),(0,3,0)2222BF BE EF FC=--=--=-=,设平面BEF的法向量(,,)n x y z=,则有:33002(1,2,4)30022x yBF nnzBE n x y⎧--=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=⎪⎪⎩--+=⎪⎩,设平面EFC的法向量(,,)m x y z=,则有:020(1,0,4)2030z EF m x m FC m y ⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩,故17cos ,21n m n m n m⋅===⋅设二面角B EF C --的平面角为θ ,则sin 21θ=.17.解(Ⅰ)证明:∵DC ⊥平面ABC ,//BE DC ∴BE ⊥平面ABC ∴CQ BE ⊥ ①又∵2AC BC ==,点Q 为AB 边中点 ∴CQ AB ⊥ ②AB BE B =故由①②得CQ ⊥平面ABE(Ⅱ)过点A 作AM BC ⊥交BC 延长线于点M ∵,AM BC AM BE ⊥⊥ ∴AM ⊥平面BEDC ∴13A CED CDE V S AM -∆=sin33AM AC π==11212CDE S ∆=⨯⨯= ∴113A CED V -=⨯= (Ⅲ)延长ED 交BC 延长线于S ,过点M 作MQ ES ⊥于Q ,连结AQ 由(Ⅱ)可得:AQM ∠为A DE B --的平面角∵1//2CD BC ∴2SC CB == ∴SE ==1MC MS ==∵SQM ∆∽SBE ∆∴QM SM BE SE=∴1225QM=即55QM=∴3tan1555AMAQMQM∠===18.(1)证明:∵在中,,∴当为的中点时,∵平面平面,平面,平面平面∴平面∵平面∴(2)如图,分别以射线,的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系设,则,,,∵,,平面平面∴∴当且仅当时,最小,此时,设,平面,则,即∴令,可得,,则有∴∴观察可得二面角的平面角19.(1)取FE 的中点P ,连接CP 交BE 于点M ,M 点即为所求的点. 连接PG ,∵G 是AD 的中点,P 是FE 的中点,∴//PG AF , 又PG ⊂平面MGC ,AF ⊄平面MGC ,所以直线//AF 平面MGC , ∵//PE AD ,//AD BC ,∴//PE BC ,∴2BM BCME PE==, 故点M 为线段BE 上靠近点E 的三等分点. (2)不妨设2AD =,由(1)知PG AD ⊥, 又平面ADEF ⊥平面ABCD ,平面ADEF平面ABCD AD =,PG ⊂平面ADEF ,∴PG ⊥平面ABCD .故PG GD ⊥,PG GC ⊥,以G 为坐标原点,GC ,GD ,GP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系G xyz -,∵60ABC ∠=︒,2AB AD AF ==,∴ADC ∆为正三角形,3GC =,∴(0,0,0)G ,3,0,0)C ,(0,1,0)D ,(0,1,1)E ,∴(0,1,1)GE =,(3,0,0)GC =,设平面CEG 的一个法向量1(,,)n x y z =,则由10n GE ⋅=,10n GC ⋅=可得0,30,y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =,则1(0,1,1)n =-,∵(3,1,0)CD =-BA =,且(0,1,0)A -,故3,2,0)B -,故(3,2,0)BG =-, 故直线BG 与平面GCE 所成角的正弦值为11||14sin 7||||n BG n BG θ⋅==⋅.20.(Ⅰ)取PC 中点H ,连接、EH FH .∵E 为AB 的中点,ABCD 是菱形,∴//AE CD ,且12AE CD =,又F 为PD 的中点,H 为PC 的中点,∴//FH CD ,且12FH CD =,∴//AE FH ,且AE FH =,则四边形AEHF 是平行四边形,∴//AF EH .又AF ⊄平面PCE ,EH ⊂面PCE ,∴//AF 平面PCE .(Ⅱ)取BC 的中点为O ,∵ABCD 是菱形,AC AB =,∴AO BC ⊥,以A 为原点,,,AO AD AP 所在直线分别为,,z x y 轴,建立空间直角坐标系A xyz -,则)()()3,1,0,3,1,0,0,2,0BCD -,)()313,0,0,0,0,1,,02OP E ⎫-⎪⎪⎝⎭,∴()333,1,1,,,022PC EC ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,()3,0,0AO =,设平面的法向量为()1,,n x y z =,则110n PC n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即30330x y z x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪,令1y =-,则3,2x z ==,∴平面PCE 的一个法向量为)13,1,2n =-,又平面PAD 的一个法向量为()21,0,0n =.∴12121236cos ,|n ||n |4314n n n n ⋅<>===⋅++.即平面PAD 与平面PCE 621.解:(1)证明:取PD 的中点F ,连接,EF CF , 因为,E F 分别是,PA PD 的中点,所以//EF AD 且12EF AD =, 因为1,//2BC AB BC AD =,所以//EF BC 且EF BC =,所以//BE CF , 又BE ⊄平面,PCD CF ⊂平面PCD ,所以//BE 平面PCD .(2)以P 为坐标原点,,PD PA 所在直线分别为x 轴和y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设1BC =,则13(0,0,0),3,0),(1,0,0),(1,0,1),(2P A D C B , 13(0,3,0),(,1),(1,3,0)22PA AB AD ==-=-,设平面PAB 的一个法向量为(,,)n x y z =,则30013002y n PA yn AB x z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩, 令2x =,得(2,0,1)n =-, 同理可求平面ABD 的一个法向量为6(3,3,0)cos ,55n m m n m n m⋅=⇒===⨯,平面ABD 和平面ABC 为同一个平面, 所以二面角P AB C --.22.解:(Ⅰ)证明:因为二面角S AB C --的大小为90°,则SA AD ⊥, 又SA AB ⊥,故SA ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以SA BD ⊥; 在直角梯形ABCD 中,90BAD ADC ∠=∠=︒,21AD CD ==,2AB =, 所以1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=,又90DAC BAC ∠+∠=︒, 所以90ABD BAC ∠+∠=︒,即AC BD ⊥; 又ACSA A =,故BD ⊥平面SAC ,因为AF ⊂平面SAC ,故BD AF ⊥.(Ⅱ)设点E 到平面ABCD 的距离为h ,因为B ABC E ABC V V --=,且25E ABC S ABCD V V --=,故511215*********ABCD S ABCD E ABCABC S SAV V S h h --∆⨯⋅⨯===⋅⨯⨯⨯梯形,故12h =,做点E 到平面ABCD 的距离为12.23.(1)E 为SD 的中点,01,602AD DC SD SDA SDC ==∠=∠=.ED EC AD DC ∴===设O 为AC 的中点,连接,EO DO 则EO AC ⊥//,AD BC BC CD ⊥ .AD BC ∴⊥又OD OA OC ==EOC EOD ∴∆≅∆ 从而EO OD ⊥AC ABCD = DO ⊂面ABCD 0AC DO =EO ∴⊥面ABCD EO ⊂面AEC∴面EAC ⊥面ABCD ………………6分(2)设F 为CD 的中点,连接OF EF 、,则OF 平行且等于12AD AD ∥BC EF ∴∥BC不难得出CD ⊥面OEF (EO CD ⊥ FO CD ⊥)∴面ECD ⊥面OEFOF 在面ECD 射影为EF ,EFO ∠的大小为BC 与面ECD 改成角的大小设AD a =,则2aOF =32EF a = 3os OF c EFO EF <== 即BC 与ECD 3(亦可以建系完成) ………………12分24.解(Ⅰ)过点P 作PO ⊥底面ABC ,垂足为O , 连接AO 、CO ,则∠PCO 为所求线面角,,AC PA ⊥,AC PO PA PO P ⊥⋂=且,AC ∴⊥平面PAO .则∠P AO 为二面角P -AC -B 平面角的补角∴∠ 60=PAO ,又23PA =∴,,1sin 2PO PCO CO ∠== 030PCO ∴∠=,直线PC 与面ABC 所成角的大小为30°.(Ⅱ)过O 作OE BC ⊥于点E ,连接PE ,则PEO ∠为二面角P -BC -A 的平面角,AC ⊥平面PAO ,AC OA ⊥045AOE ∠=,设OE 与CA 相交于F 22OE EF FO ∴=+=+在PEO ∆中,3436tan 7222POPEO EO-∠===+则二面角P -BC -A 的正切值为4367-.25.解:(Ⅰ)如图,取PA 中点F ,连接FD EF ,,E 是BP 的中点,AB EF // 且AB EF 21=,又AB DC AB DC 21,//= ∴∴DC EF //四边形EFDC 是平行四边形,故得//EC FD又⊄EC 平面⊂FD PAD ,平面PAD//EC ∴平面ADE(Ⅱ)取AD 中点H ,连接PH ,因为PD PA =,所以AD PH ⊥平面⊥PAD 平面ABCD 于AD ,⊥∴PH 面ABCD ,HB ∴是PB 在平面ABCD 内的射影 PBH ∠∴是PB 与平面ABCD 所成角四边形ABCD 中,090=∠=∠BCD ABC∴四边形ABCD 是直角梯形AB CB DC 21== 设a AB 2=,则a BD 2=在ABD ∆中,易得a AD DBA 2,450=∴=∠.22212222a a a DH PD PH =-=-=又22224AB a AD BD ==+ABD ∆∴是等腰直角三角形,090=∠ADBa a a DB DH HB 2102212222=+=+=∴ ∴ 在PHB Rt ∆中,5521022tan ===∠a aHB PH PBH(Ⅲ)在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于G 点,连接PG ,则HG 是PG 在平面ABCD 上的射影,故AB PG ⊥,所以PGH ∠是二面角D AB P --的平面角, 由a HA a AB 22,2==,又a HG HAB 21450=∴=∠ 在PHG Rt ∆中,22122tan ===∠a aHG PH PGH∴ 二面角D AB P --的余弦值大小为.3326.(1)∵四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为边长为2的正方形,PA=2,PB=PD=2,∴PA 2+AB 2=PB 2,PA 2+AD 2=PD 2, ∴PA ⊥AB ,PA ⊥AD ,∴以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AP 为z 轴, 建立空间直角坐标系,∵E ,F ,G ,H 分别为棱PA ,PB ,AD ,CD 的中点. ∴C (2,2,0),D (0,2,0),B (2,0,0), P (0,0,2),F (1,0,1),G (0,1,0), =(﹣2,0,0),=(﹣1,﹣2,1),=(﹣2,﹣1,0),设平面CFG 的法向量=(x ,y ,z ), 则,取x=1,得=(1,﹣2,﹣3),设CD与平面CFG所成角为θ,则sinθ=|cos<>|===.∴CD与平面CFG所成角的正弦值为.(2)假设棱PD上是否存在点M(a,b,c),且,(0≤λ≤1),使得平面CFG⊥平面MEH,则(a,b,c﹣2)=(0,2λ,﹣2λ),∴a=0,b=2λ,c=2﹣2λ,即M(0,2λ,2﹣2λ),E(0,0,1),H(1,2,0),=(1,2,﹣1),=(0,2λ,1﹣2λ),设平面MEH的法向量=(x,y,z),则,取y=1,得=(,1,),平面CFG的法向量=(1,﹣2,﹣3),∵平面CFG⊥平面MEH,∴=﹣2﹣=0,解得∈[0,1].∴棱PD上存在点M,使得平面CFG⊥平面MEH,此时=.。