算法分析与设计之Prim学院：软件学院学号：201421031059 ：吕吕一、问题描述1.Prim的定义Prim算法是贪心算法的一个实例，用于找出一个有权重连通图中的最小生成树，即：具有最小权重且连接到所有结点的树。
(强调的是树，树是没有回路的)。
2.实验目的选择一门编程语言，根据Prim算法实现最小生成树，并打印最小生成树权值。
二、算法分析与设计1.Prim算法的实现过程基本思想：假设G＝(V，E)是连通的，TE是G上最小生成树中边的集合。
算法从U ＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}开始。
重复执行下列操作：在所有u∈U，v∈V－U的边(u，v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中，同时v0并入U，直到V＝U为止。
此时，TE中必有n-1条边，T=(V，TE)为G的最小生成树。
Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。
2.时间复杂度Prim算法适合稠密图，其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边得数目无关，N 为顶点数，而看ruskal算法的时间复杂度为O(eloge)跟边的数目有关，适合稀疏图。
三、数据结构的设计图采用类存储，定义如下：class Graph{private:int *VerticesList;int **Edge;int numVertices;int numEdges;int maxVertices;public:Graph();~Graph();bool insertVertex(const int vertex);bool insertEdge(int v1,int v2,int cost);int getVertexPos(int vertex);int getValue(int i);int getWeight(int v1,int v2);int NumberOfVertices();int NumberOfEdges();void Prim();}其中，图中结点连接情况及权值使用二重指针表示，即二维数组实现邻接矩阵。
四、代码与运行结果代码运行结果：源码：//普雷姆算法#include<iostream>using namespace std;const int maxWeight=10000;const int DefaultVertices=10000;const int maxEdges=10000;const int MAXINT = 10000000;class Graph{private:int *VerticesList;int **Edge;int numVertices;int numEdges;int maxVertices;public:Graph();~Graph();bool insertVertex(const int vertex);bool insertEdge(int v1,int v2,int cost);int getVertexPos(int vertex);int getValue(int i);int getWeight(int v1,int v2);int NumberOfVertices();int NumberOfEdges();void Prim();void lvlv(Graph &G);};istream& operator>>(istream& in,Graph &G); ostream& operator<<(ostream& out,Graph &G);//默认构造函数Graph::Graph(){maxVertices=DefaultVertices;numVertices=0;numEdges=0;int i,j;VerticesList=new int [maxVertices];Edge=(int **)new int *[maxVertices];for(i=0;i<maxVertices;i++)Edge[i]=new int[maxVertices];//邻接矩阵表示权值for(i=0;i<maxVertices;i++)for(j=0;j<maxVertices;j++)Edge[i][j]=(i==j)?0:maxWeight; };Graph::~Graph(){delete []VerticesList;delete []Edge;};//获取结点在结点数组中的下标，从0开始int Graph::getVertexPos(int vertex){for(int i=0;i<numVertices;i++)if(VerticesList[i]==vertex)return i;return -1;};//共有属性int Graph::getValue(int i){return (i>=0&&i<=numVertices)?VerticesList[i]:NULL;};int Graph::getWeight(int v1,int v2){return (v1!=-1&&v2!=-1)?Edge[v1][v2]:0;};int Graph::NumberOfVertices(){return numVertices;};int Graph::NumberOfEdges(){return numEdges;};//插入结点bool Graph::insertVertex(const int vertex){if(numVertices==maxVertices)return false;VerticesList[numVertices++]=vertex;return true;};//插入边，v1和v2为结点在数组的下标bool Graph::insertEdge(int v1,int v2,int cost){if(v1>-1&&v1<numVertices&&v2>-1&&v2<numVertices&&Edge[v1][v2]==maxWeight) {Edge[v1][v2]=Edge[v2][v1]=cost;numEdges++;return true;}elsereturn false;};//输入图信息istream& operator>>(istream &in ,Graph &G) {//边的围是n-1至n(n-1)/2,n为顶点数int edges,vertices,i,j,k;int start,end,weight;//输入顶点in>>vertices>>edges;for(i=1;i<=vertices;i++){G.insertVertex(i);}i=0;while(i<edges){in>>start>>end>>weight;j=G.getVertexPos(start);k=G.getVertexPos(end);if(j==-1||k==-1)cout<<"input error!"<<endl;else{G.insertEdge(j,k,weight);i++;}}return in;};//输出图对象ostream& operator<<(ostream &out,Graph &G) {int i,j,vertices,edges;int start,end,weight;vertices=G.NumberOfVertices();edges=G.NumberOfEdges();out<<vertices<<","<<edges<<endl;for(i=0;i<vertices;i++){for(j=i+1;j<vertices;j++){weight=G.getWeight(i,j);if(weight>0 && weight<maxWeight){start=G.getValue(i);end=G.getValue(j);out<<"("<<start<<","<<end<<","<<weight<<")"<<endl;}}}return out;};//普雷姆算法void Graph::Prim (){int *lowcost,*nearvex;int sum=0;lowcost=new int[numVertices];nearvex=new int[numVertices];for (int i=1;i<numVertices;i++){lowcost[i]=Edge[0][i]; //顶点0到各顶点的代价nearvex[i]=0; //及最短带权路径}nearvex[0]=-1; //顶点0到生成树顶点集合int count = 0; //生成树边值数组存放指针for(int i=1;i<numVertices;i++) //循环n-1次,加入n-1条边{int min=MAXINT;int v=0;for(int j=0;j<numVertices;j++){//顶点j不在最小生成树中且边<0,j>权值比min小if (nearvex[j]!=-1 && lowcost[j]<min ){v=j; //求生成树外顶点到生成树顶点具有最小min=lowcost[j]; //权值的边, v是当前具最小权值的边的位置}}//找到了下一个结点if(v!=0){ //v==0表示再也找不到要求的顶点了count++; //向生成树边值数组存放sum+=lowcost[v];nearvex[v]=-1; //作该边已加入生成树标记//更新权值for (int j=1;j<numVertices;j++){if (nearvex[j]!=-1 && Edge[v][j]<lowcost[j] ) //j不在生成树中{//需要修改lowcost[j] = Edge[v][j];nearvex[j] = v;}}}}int c=0;//cout<<sum<<endl;for(int k=1;k<numVertices;k++)c+=lowcost[k];cout<<c<<endl;}int main(){cout<<"请输入图结点数，边数和权值，格式如下："<<endl;cout<<"结点数边数"<<endl;cout<<"结点结点权值"<<endl;cout<<"结点结点权值"<<endl;cout<<"结点结点权值"<<endl;Graph G;cin>>G;cout<<endl<<"图信息如下："<<endl<<G;cout<<"最小生成树权值：";G.Prim();_sleep(100000);return 0;}/*test5 71 2 31 4 52 3 32 5 33 4 53 5 64 5 1 */。