［学习目标定位］i.知道向心力由一个力或几个力的合力提供，会分析具体问题中的向心力来源.2.能用匀速圆周运动规律分析、处理生产和生活中的实例.3.知道向心力、向心加速度公式也适用于变速圆周运动，会求变速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度.知识储备区一、过山车问题1.向心力：过山车到轨道顶部4时，如图1所示，人与车作为一个整体，所受到的向心力是重力〃泌艮轨道对车的弹力A的合力,即R、\=抨+睥.如图所示，过山车在最低点8向心力尸向=.\j mg.2.临界速度：当A—0时，过山车通过圆形轨道顶部时的速度最小，雁界=寸苏(1)，=施界时，重力恰好等于过山车做圆周运动的向心力，车不会脱离轨道.(2)代而界时，所需向心力小于车所受的重力,过山车有向下脱离轨道的趋势.(3)心咖界时，弹力和重力的合力提供向心力,车子不会掉下来.二、转弯问题1.自行车在水平路面转弯，地面对车的作用力与重力的合力提供转弯所需的向心力.2.汽车在水平路面转弯，所受静摩擦力提供转弯所需的向心力.3.火车转弯时外轨高于内轨,如图2所示，向心力由支持力和重力的合力提供.学案周运动的案例分析N图2学习探究区一、分析游乐场中的圆周运动［问题设计］游乐场中的过山车能从高高的圆形轨道顶部轰然而过，车与人却掉不下来，这主要是因为过山车的车轮镶嵌在轨道的槽内，人被安全带固定的原因吗？答案不是.［要点提炼］竖直平面内的“绳杆模型"的临界问题1.轻绳模型（如图3所示）图3（1）绳（内轨道）施力特点：只能施加向下的拉力（或压力）.2V（2）在最高点的动力学方程7+ 〃护板.2（3）在最高点的临界条件7=0,此时昵=帽,则v= 拆.%1福，拉力或压力为零.%1分履时，小球受向王的拉力或压力.%1心/冰时，小球不能（填“能”或“不能”）到达最高点. 即轻绳的临界速度为雁=寸盘2.轻杆模型（如图4所示）图4（1）杆（双轨道）施力特点：既能施加向下的拉力，也能施加向上的支持力.（2）在最高点的动力学方程2V当〉＞疆耐，A+/ng=i邙,杆对球有向下的拉力，且随亿增大而增大.2当＞=寸赢寸，〃/户板，杆对球无作用力.2_ V_当v＜y［g^i. mg—N=iR,杆对球有向上的支持力.当r=0时，mg=N,球恰好能到达最高点.(3)杆类的临界速度为咖=Q二、研究运动物体转弯时的向心力［问题设计］骑自行车转弯时，车与人会向弯道的内侧倾斜，你知道其中的原因吗？答案骑自行车转弯时，车和人需要向心力，车与人向弯道的内侧倾斜，就是为了使地面对人的作用力倾斜，这样它与重力的合力提供车与人做圆周运动的向心力.［要点提炼］1.自行车在转弯处，地而对自行车的作用力与重力的合力提供向心力.其表达式为性2 2V Vtan右=〃冗即tan。
=林自行车倾斜的角度与自行车的速度和转弯半径有关.2V2.汽车在水平路面上转弯时，地面的静麾捧力提供向心力，其表达式为f=〃房.由于地面的静摩擦力不能大于最大静摩擦力，因此汽车在转弯处的速度不能大于寸顽3.火车转弯(1)向心力来源：在铁路的弯道处，内、外铁轨有高度差，火车在此处依据规定的速度行驶，转弯时，向心力几乎完全由重匹和支挂力A的合力提供，即a_.2(2)规定速度：若火车转弯时，火车轮缘不受轨道侧压力，则秋rtan <7=—故处=寸g/Nan Q,其中/i为弯道半径，。
为轨道所在平面与水平而的夹角，，。
为弯道规定的速度.%1当7=用时，昂=凡即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨均无侧压力,这就是设计的限速状态.%1当r>处时，FQF,即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时外轨对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分.%1当代皿时，&KF,即所需向心力小于支持力和重力的合力，这时也勉对车轮有侧压力，以抵消向心力过大的部分.说明：火车转弯时受力情况和运动特点与圆锥摆类似.典例精析一、竖直而内的“绳杆模型”的临界问题例1如图5所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球，试管的开口端与水平轴伤至接.试管底与仍目距5 cm,试管在转轴带动下在竖直平面内做匀速圆周运动.求:U7图5(1)转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍？(2)转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况？(g•取10 m/s 2)解析(1)当试管匀速转动时，小球在最高点对试管的压力最小，在最低点对试管的压力最大.在最高点：F\~\~川赤R在最低点：F?—"R联立以上方程解得©= W #=20 rad/s.(2)小球随试管转到最高点时，当/〃g>/〃折闹，小球会与试管底脱离，即3〈书答案见解析例2如图6所示，质量为湖勺小球固定在长为/的细轻杆的一端，绕轻杆的另一端碓竖直平面内做圆周运动.球转到最高点时，线速度的大小为\仔，此时()"V、、、、/ 、/ 、/ 、9 \9I*0 :I /% /、/、/\ ✓、、、—/图61A.杆受到亏〃房的拉力B.杆受到祈溜的压力3C.杆受到初77g1的拉力3D.杆受到初制的压力解析以小球为研究对象，小球受重力和沿杆方向杆的弹力，设小球所受弹力方向竖直向下，则N+mg=~,将/=刃弋入上式得片一割g,即小球在，点受杆的弹力方向向上, 大小为公&，由牛顿第三定律知杆受到初〃宕的压力.答案B二、交通工具的转弯问题例3铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，己知内、外轨道平面与水平面的夹角为私如图7所示，弯道处的圆弧半径为若质量为〃仍火车转弯时速度等于展W, 则（）车轮.内轨A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压c.这时铁轨对火车的支持力等于;^3D.这时铁轨对火车的支持力大于cos 02 V解析由牛顿第二定律卢合=〃房，解得R = 〃&tan 。
，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，A4os。
=略则A——,内、外轨道对火车均无侧向压力，故C 正确，A、B、D错误.答案C课堂要点小结游乐场中的圆，周运动「过山车最高点向心力:重力和轶道弹力的合力圆周运珈坤案例分析轻绳模型最高点临界情况与过山车类似v= 0 时9 N= nig轻杆模型最高点临界情况'0<t<也枷*, N向上且OVNC”电v=寸gRfl 寸，N= 04 >6了时，杆产生拉力旦随旬增大而、增大且向下「自行车转弯:地面的作用力与重力的合力提供转wj向题向心力汽车转弯:地面的静摩擦力提供向心力3= 刷面3,支持力与重力的合力火车转弯=、提供监里。
如夕卜轨有9单力内轨有弹力学案4习题课:i/= 时,N=0•u>面寸9 N向下,M , F向|.［学习目标定位］i.熟练掌握圆周运动各物理量的关系以及向心力、向心加速度的公式.2.会分析圆周运动所需向心力来源.3.会分析圆锥摆在水平面内的圆周运动.4.会分析汽车过拱(凹)形桥问题.知识储备区1.描述圆周运动的各物理量之间的关系2 n R(1)线速度八角速度刃以及周期泛间的关系：v=~j~=^R.(2)角速度Q与转速〃的关系：0 = 2"(注:〃的单位为r/s).2.匀速圆周运动的特点(1)线速度的大小不变,方向时刻改变.(2)向心力大小不变,方向始终指向圆心.(3)向心加速度大小不变,方向始终指向圆心.3.向心力(1)来源：向心力是根据力的效果命名的,它可以是弹力，可以是摩擦力，也可以是几个力的合力或某个力的分力.K 2”(2)大小：F= iii~p= m(^R= r )2R.时 2 n运动4.向心加速度的大小：打=万=( T)'R.学习探究区一、描述圆周运动的各物理量间的关系2 n描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、转速等，它们之间的关系为：^=~2 n=2JIZ7, /= q/u丁/?=2兀"〃，这些关系不仅在物体做匀速圆周运动时适用，在变速圆周运动中也适用，此时关系式中各量是瞬时对应的.例1如图1所示，光滑的水平面上固定着一个半径逐渐减小的螺旋形光滑水平轨道，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，下列物理量中数值将减小的是()A.周期B.线速度C.角速度D.向心加速度解析轨道对小球的支持力与速度方向垂直,轨道的支持力只改变速度的方向不改变速度的大小，即小球的线速度大小不变，故B错误；根据『=口尸，线速度大小不变，转动半径2 n减小，故角速度变大，故C错误；根据7=；,角速度增大，故周期减小，故A正确；根据a =；转动半径减小，故向心加速度增加，故D错误.答案A二、向心力的来源分析向心力可以是弹力、摩擦力，也可以是物体受到的合外力或某个力的分力，但只有在匀速圆周运动中，向心力才等于物体所受的合外力，在变速圆周运动中，向心力不等于物体所受的合外力.例2如图2所示，在粗糙水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平而内沿逆时针方向做匀速圆周运动，次为水平直径，。
为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，贝U()■ ! ,\ : /'、、:/d图2A.物块始终受到三个力作用B.物块受到的合外力始终指向圆心C.在c、（柄个位置，支持力A有最大值，摩擦力演零D.在a、力两个位置摩擦力提供向心力，支持力A—〃名解析物块在竖直平面内做匀速圆周运动，受到的重力与支持力在竖直方向上，c、d 两点的向心力可以由重力和支持力的合力提供，其他时候要受到摩擦力的作用，故A错误；物块在竖直平面内做匀速圆周运动，匀速圆周运动的向心力指向圆心，故B正确.设物块做匀速圆周运动的线速度为物块在捆位置摩擦力/为零，在。
点有N=mg 〃汕川/一丁，在d沸Nd=mg+F，故在W立置A有最大值，C错误.Nr"--*、、〃汕在引立置受力如图，因物块做匀速圆周运动，故只有向心加速度，所以有N=mg.f=~J,同理0位置也如此，故D正确.答案BD三、汽车过桥问题1.汽车过拱形桥（如图3）图3汽车在最高点满足关系：〃&—A—〃房，即A—〃妙一〃房.⑴当/=履时，A-0.⑵当0W v<y[g/^i,（KAW/〃g.（3）当-〉伽寸，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险.2.汽车过凹形桥（如图4）汽车在最低点满足关系：A」〃官=一万，即A—〃妙+了.由此可知，汽车对桥而的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥.例3如图5所示，质量///=2.0X104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m.如果桥面承受的压力不得超过3.0X105 N, g取10 m//, 则：(1)汽车允许的最大速度是多少？(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？^2解析(1)汽车在凹形桥最低点时存在最大允许速度，由牛顿第二定律得：N—mg=in^代入数据解得r= 10 m/s.(2)汽车在凸形桥最高点时对桥而有最小压力，由牛顿第二定律得：〃妙一氏=才, 代入数据解得Ai = lX105 N.由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于IO, N.答案(1)10 m/s (2)1X1O5 N四、水平而内的圆周运动的常见模型一一圆锥摆1.运动特点：如图6所示在水平面内做匀速圆周运动.2.向心力分析：绳的拉力和重力的合力(或者说绳的拉力在水平方向的分力)提供向心3.类似的装置(如图7)2V=ni 3 R— ////^―做?,gRtan 〃和 a = g7?tan 〃知 Q *、3R,故A正确，B错误.mg•飞机\ / 、、在水平面上G图7例4如图8所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球4和反 在不同的水平面内做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是（）A. 速度心> VflB. 角速度SA 3夕C. 向心力F A >F BD. 向心加速度伽〃7g _____解析 如图所示，设漏斗的顶角为2。