第三章测试系统的基本特征例3-1 对量程为10MPa 的压力传感器，其中端点法测得x y 005.5036.0+=，最小二乘拟合x y 005.5707.0+=，求其L ε、H ε的结果。

解：（1）%100max⨯∆=FSL Y L ε Y FS =5.005*(10-0）=50.05mV Y x=2=10.717 ΔL 1=0.674mV Y x=4=20.727 ΔL 2=0.634mV Y x=6=30.737 ΔL 3=0.584mV Y x=8=40.747 ΔL 4=0.619mV Y x=10=50.757 ΔL 5=0.685mV ∴ΔL max =0.685mV%37.1%100%10005.50685.0max =⨯=⨯=∆F S Y L L ε%100max ⨯=∆F SY H H εΔH 1=0.054mV ΔH 2=0.078mV ΔH 3=0.066mV ΔH 4=0.040mV ΔH 5=0 ∴%16.0%10005.50078.0%100max =⨯=⨯∆=FS H Y H ε 2.某测试系统频率响应函数曲线ωωj j H 05.011(+=)，若输入周期信号)30100cos(8.010cos 2)(︒-+=t t t X ，试求其响应y （t ）。

解：从题意知该系统应为一阶线性系统，故可设：)100cos(8.0)10cos(2)()()(2121θθ+++=+=t t t x t x t x)100cos(8.0*)10cos(2*)()()(221121θθ+++=+=t A t A t y t y t y又∵2)(11)(τωω+=A ,∴8944.0)1005.0(11)(21=⨯+=ωA ，1961.0)10005.0(11)(22=⨯+=ωA ； 又)arctan()(τωωφ-=∴︒-=⨯-=56.26)1005.0arctan()(1ωφ，︒-=⨯-=69.78)10005.0arctan()(2ωφ，∴A 1=0.8944 A 2=0.1961 θ1=-26.56° θ2=-78.69°,)30100cos(8.010cos 2)(︒-+=t t t X∴)69.108100cos(16.0)56.2610cos(79.1)(︒-+︒-=t t t y 4.某测量系统为一阶系统，当变阶跃函数作用时，在t=0时，输出为10mV ；当t →∞时输出为100mV ，在t=5s 时，输出为50mV ，试求该测量系统的时间常数τ。

解：设B eA t y t +-=-)1()(τ，则有：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+=∞==-50)1()5(100)(10)0(5B e A y B A y B y τ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒51.81090τB A 10.设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。

已知传感器的固有频率为800Hz ，阻尼比ξ=0.14。

问使用该传感器作频率为400Hz 的正弦力测试时，其幅值比A(ω)和相位比φ(ω)差各为多少？若改装置阻尼比ξ为0.7，问A(ω)和φ(ω)将如何变化？ 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧︒-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=57.10800400180040014.02arctan 12arctan )(31.180040014.04800400114-11)(2222222222n n n n A ωωωωξωφωωξωωω 阻尼比改为0.7后，有： 由97.08004007.0480040011)(2222=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωA︒-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=03.4380040018004007.02arctan )(2ωφ可知A(ω)减小，|φ(ω)|增大。

回答问题1.测量系统不失真的条件是什么？ 答：（1）.时域：输出与输入满足y(t)=A 0X(t-τ0）；A 0=C,τ0=C （2）.频域：)()(00ωωωτj X eA j Y j -=且测量系统的频率响应应满足00)()()(ωτωωωj e A j X j Y j H -==即A(ω)=A 0=常数，φ(ω)=-ωτ0即常数具体地说为：对一阶测试系统来说，时间常数越小，响应越快，ωτ≤0.3 对二阶测试系统而言，（1）在ω<0.3ωn 范围内，φ(ω)数值较小，而且φ(ω)-ω特性接近直线，在该范围内的变换不超过，该范围为理想的工作范围。

（2）在ω>（2.5～3)ωn 内，φ(ω)接近于180°且差值很小。

（3）ξ=0.707，ω可以扩大范围。

8.推导二阶测量系统的传递函数，写出二阶系统的频率响应函数，幅频特性，相频特性关系式，并画出二阶系统的幅频特性图。

解：∵)()()()(001222t x a t y a dtt dy a dt t y d a =++ 两边取拉普拉斯变换：00122)())((a s X a s a s a s Y =++∴01220)()()(a s a s a a s X s Y s H ++==∵200a a =ω 2012a a a =ξ ∴22220212202)(nn ns s a a s a as a a s H ωξωω++=++= nn nn n j j j j H ωωξωωωωξωωωω2)(112)()(2222+-=++= 2222)(4)(11)()(n n j H A ωωξωωωω+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-== 2)(1)(2arctan)(n nωωωωξωφ--= 图略。

2-2阐述工程信号的各自频谱特性的分析方法有何不同。

答：周期信号：傅里叶级数 时限信号：傅里叶变换随机信号：统计 相关函数 功率谱分析第五章 测试结果及误差分析例5-1下表是1957年美国旧轿车价格的调查资料，令以x 表示轿车的使用年数y 表示相应的平均价格，求y 关于x 的回归方程 使用年数x 123456 7 8 9 10 平均价格（美元）y2651 1943 1494 1084 765538484290226204解：（1）作散点图如图5-1，看起来y 与x 成指数关系， （2）设bxae y =，（3）方程两边取对数，得bx a y +=ln ln于是令y z ln =,a a ln =’,图5-1 x ，y 散点图 图5-2 x ，z 散点图 记i i y z ln =，并作（x i ，z i )的散点图如图5-2，可见各点基本上处于一直线，故可设bx a z +=’，经最小二乘法计算，得164585.8',297668.0=-=a b从而有x z 29768.0164585.8-= 又可求得3060.28369.32t 205.0=>==∧）（t S bxx σ即知线性回归效果是高度显著的，代回原变量，得回归方程为x bx e ae y 29768.026.3514-==在上式中若依次令x=i ，i=1，2，…，10，得到的∧i y 与观察值y i 甚为接近，读者可自行验证。

四、回答问题：1说明误差的分类、各类误差的性质 特点及对测量结果的影响 答：1随机误差性质：产生误差的原因及误差数值的大小正负是随机的，无确定规律。

特点：相同的测量条件下多次测量同一物理量时，误差的绝对值与符号以不可预定的方式变化着。

影响：从个体而言，从单次测量结果看是没有规律的，但就其总体来说，服从一定的统计规律。

2系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差不变或按照一定规律变化着，系统误差等于误差减去随机误差，是确定规律的误差可用非统计的函数来描述的。

3粗大误差指误差数值特别超出在规定条件下的预定值，测量结果中有明显错误，一般是由于测量者粗心大意，实验设备突变造成的，且实验数据中有粗大误差应认为此次测量无效。

（注：以上误差是按误差的性质分的） 五计算题：1.如何表达测量结果？对某个量进行七次测量，测得值为：802.40，802.50，802.38,802.48,802.42,802.45，802.43，求其测量结果。

解：测量结果用其被测量的最佳估计值和不确定度来表示。

44.80211==∑=ni i x n X0425898.0)(11)(2=--=x x n x S i i 016097.070425898.0)()(===n x S x s i ，)(x s u a = a c U U =617=-=eff v假设置信度为95%，查t 分布表得k=2.45∴04.0038439.0016097.045.2)(≈=⨯==μμk x p∴测量结果为04.044.802±2.用一把卡尺测一个工件的长度，在相同的条件下重复7次测量，测量值如下：25.3,25.2,24.9,25.0，27.3,25.1,25.4，（单位：cm ）检定书上给出卡尺经检验合格其最大允许误差为±1mm ，要求报告该件长度及其扩展不确定度。

解：（1）剔除粗大误差27.3（2）计算平均值cm cm x nx i 2.2515.251≈==∑ （3）计算)(i x scm n x x x s ni ii 187.01)()(12=--=∑=（4）计算)(x scm n x s x s i 076.06187.0)()(===（5）cm x s u A 076.0)(==，有效自由度v1=n-1=5 （6）计算B uk u B α=，游标卡尺按均匀分布查k 值，得cm k u B 0577.031.0===α 有效自由度为无穷大。

（7）求合成不确定度cm u u u B A c 096.00577.0076.02222=+=+=（8）求合成不确定度的有效自由度127.120577.050764.0096.044424144≈=∞+=+=v u v u u v B A c eff（9）求扩展不确定度的包含因子根据合成不确定度的有效自由度12=eff v ，置信度系数0.95或0.99，按t 分布查表得：08.3)12(,18.2)12(99.095.0==t t 则cm cm ku U c 2.021.096.018.295.0≈=⨯== cm cm ku U c 3.0296.096.008.399.0≈=⨯==（10）工件报告]08.3)12([3.02.25]18.2)12([2.02.2599.095.0=±=±==±=±=t cm U x x t cm U x x 或6.电涡流测振仪测量物体振动时的静态数据如下，其中x 为位移，u 为所对应的电表输出读书。