荆州市2021年初中学业水平考试数 学 试 题一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1．(2021湖北荆门中考，1，3分，★☆☆)在实数-1，0，21，2中，无理数是（ ）A ．-1B ．0C ．21 D ．22．(2021湖北荆门中考，2，3分，★☆☆)如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是 （ ）第2题图A ．B ．C ．D ．3．(2021湖北荆门中考，3，3分，★☆☆)若等式a a ⋅22+（ ）=33a 成立，则（ ）中填写单项式可以是 （ ） A ．aB ．2aC ．3aD ．4a4．(2021湖北荆门中考，4，3分，)阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误．．的是A ．①B ．②C ．③D ．④5．(2021湖北荆门中考，5，3分，★☆☆)若点P （a +1，2-2a ）关于x 轴的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示为 （ ）如图：已知直线b ∥c ，a ⊥b ，求证：a ⊥c ． 证明：①∵a ⊥b (已知)∴∠1=90°（垂直的定义） ②又∵b ∥c (已知)∴∠1=∠2 （同位角相等，两直线平行）③∴∠2=∠1=90°（等量代换） ④∴a ⊥c (垂直的定义)．6．(2021湖北荆门中考，6，3分，★★☆)已知：如图，直线11y kx =+与双曲线22y x=在第一象限交于点P (1，t )，与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，则下列结论错误．．的是（ ）A ．t =2B ．△AOB 是等腰直角三角形C ．k =1D ．当x >1时，12y y >7．(2021湖北荆门中考，7，3分，★★☆)如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 的延长线上．若A （2，0），D （4，0），以O 为圆心、OD 长为半径的弧经过点B ，交y 轴正半轴于点E ，连接DE ，BE ，则∠BED 的度数是（ ）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．45°8．(2021湖北荆门中考，8，3分，★★☆)如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，点D ，P 分别是图中所作直线和射线与AB ，CD 的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误．．的是 （ ）A ．AD =CDB ．∠ABP =∠CBPC ．∠BPC =115°D ．∠PBC =∠A9．(2021湖北荆门中考，9，3分，★★☆)如图，在菱形ABCD 中，∠D =60°，AB =2，以B 为圆心、BC 长为半径画AC ，点P 为菱形内一点，连接P A ，PB ，PC ．当△BPC 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为 （ ）A ．23πB ．23πC ．π2D ．2π10．(2021湖北荆门中考，10，3分，★★★)定义新运算“※”：对于实数m ，n ，p ，q ，有[m ，p ]※[q ，n ]=mn +pq ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]=2⨯5+3⨯4=22．若关于x的方程[12+x ，x ]※[5-2k ，k ]= 0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）A ．504k k <≠且B ．54k ≤C ．504k k ≤≠且D ．54k ≥二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．(2021湖北荆门中考，11，3分，★☆☆)已知：101()(2a -=+，)23)(23(-+=b = ▲ ．12．(2021湖北荆门中考，12，3分，★☆☆)有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 ▲ ． 13．(2021湖北荆门中考，13，3分，★★☆)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，OD ⊥AC 于D ，连接OC ，过点D 作DF ∥OC 交AB 于F ，过点B 的切线交AC 的延长线于E ．若AD =4，DF =25，则BE = ▲ ．14．(2021湖北荆门中考，14，3分，★★☆)如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB ，BC 可分别绕点A ，B 转动，测量知BC =8cm ，AB =16cm ．当AB ，BC 转动到∠BAE =60°，∠ABC =50°时，点C 到AE 的距离为 ▲ cm ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，3≈1.73)15．(2021湖北荆门中考，15，3分，★★☆)若关于x 的方程32122=--+-+xx x m x 的解是正数，则m 的取值范围为 ▲ ．16．(2021湖北荆门中考，16，3分，★★★)如图，过反比例函数)0,0(>>=x k xky 图象上的四点P 1，P 2，P 3，P 4分别作x 轴的垂线，垂足分别为 A 1，A 2，A 3，A 4，再过P 1，P 2，P 3，P 4分别作y 轴，P 1A 1，P 2A 2，P 3A 3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，S 4，OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4，则S 1与S 4的数量关系为 ▲ ．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．(2021湖北荆门中考，17，8分，★☆☆)先化简，再求值：)121(1222-+÷-++a aa a a ，其中32=a .18．(2021湖北荆门中考，18，8分，★☆☆)已知：a 是不等式5(a -2)+8<6(a -1)+7的最小整数解，请用配．方法．．解关于x 的方程0122=+++a ax x .19．(2021湖北荆门中考，19，8分，★☆☆)如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED 与AD 的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上． 请在网格图形中画图．．．．．．．．： （1）以线段AD 为一边画正方形ABCD ，再以线段DE 为斜边画等腰直角三角形DEF ，其中顶点F 在正方形ABCD 外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B 为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD 和△DEF 面积之和，其它顶点也在格点上.20．(2021湖北荆门中考，20，8分，★★☆)高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，……为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析.设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t （小时），阅读总时间分为四个类别：A )12(0<≤t ，B ）（2412<≤t ，C)3624<≤t （，D )36≥t （，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）.根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样的样本容量为 ▲ ； （2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中a 的值为 ▲ ，圆心角β的度数为 ▲ ；（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议.21．(2021湖北荆门中考，21，8分，★★☆)小爱同学学习二次函数后，对函数2)1(--=x y 进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： (1)观察探究：①写出该函数的一条性质： ▲ ； ②方程2(1)1x --=-的解为： ▲ ；③若方程2(1)x a --=有四个实数根，则a 的取值范围是 ▲ . (2)延伸思考：将函数2(1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数3)12(21+---=x y 的图象？写出平移过程，并直接写出．．．．当321≤<y 时，自变量x 的取值范围．22．(2021湖北荆门中考，22，10分，★★☆)小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元． （1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w 元，康乃馨有x 支，求w 与x 之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．23．(2021湖北荆门中考，23，10分，★★☆)在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4，F 是对角线AC 上不与点A ，C 重合的一点，过F 作FE ⊥AD 于E ，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF ，点G 在射线AD 上，连接CG ．（1）如图1，若点A 的对称点G 落在AD 上，∠FGC =90°，延长GF 交AB 于H ，连接CH ．①求证:△CDG∽△GAH ；②求tan ∠GHC ．（2）如图2，若点A 的对称点G 落在AD 延长线上，∠GCF =90°，判断△GCF 与△AEF 是否全等，并说明理由．24．(2021湖北荆门中考，24，12分，★★★)已知：直线1y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C为直线AB 上一动点，连接OC ，∠AOC 为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE ，连接BE ，设BE =t ．（1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由； （2）直接写出．．．．点E 的坐标（用含t 的式子表示）； （3）若tan ∠AOC =k ，经过点A 的抛物线)0(2<++=a c bx ax y 顶点为P ，且有6a +3b +2c =0，△POA 的面积为k21．当22=t 时，求抛物线的解析式．荆州市2021年初中学业水平考试数学试题答案全解全析1．答案：D解析：－1和0是整数，12是分数，都属于有理数；√2是开方开不尽的数. 考查内容：无理数命题意图：本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001……，等有这样规律的数．难度较小．归纳总结：无理数常见的形式：(1)(2)最简结果中含π的数，如π－1，23π等；(3)以无限不循环的形式出现，如0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0). 2．答案：A解析：从上边看，是一个矩形，矩形的内部有一个与矩形两边相切的圆，故选A. 考查内容：简单组合体的三视图命题意图：本题考查了简单组合体的三视图，解题时要注意俯视图是从上边看得到的图形．难度较小． 3．答案：C解析：∵等式2a 2•a +□＝3a 3成立，∴2a 3+□＝3a 3，∴□填写单项式可以是：3a 3﹣2a 3＝a 3． 考查内容：整式运算命题意图：本题主要考查了单项式乘单项式以及合并同类项，正确掌握单项式乘单项式运算法则是解题关键．难度较小． 4．答案：B解析：证明：①∵a ⊥b (已知)，∴∠1＝90°(垂直的定义)．②又∵b ∥c (已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)．③∴∠2＝∠1＝90°(等量代换)，④∴a ⊥c (垂直的定义)．综上所述，①～④步中数学依据错误的是②，故选B ．考查内容：平行线的判定与性质命题意图：本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．难度较小． 5．答案：C解析：∵点P (a +1，2﹣2a )关于x 轴的对称点在第四象限，∴点P 在第一象限， ∴{a +1＞02−2a ＞0，解得：﹣1＜a ＜1，在数轴上表示如下，故选C ．考查内容：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；关于x 轴、y 轴对称的点的坐标命题意图：本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据题意得出不等式组是解此题的关键．难度较小． 易错警示：解一元一次不等式的一般步骤6．答案：D解析：∵点P(1，t)在双曲线y2=2x上，∴t=21=2，故A选项不符合题意，则∴P(1，2)．∵P(1，2)在直线y1＝kx+1上，∴2＝k+1．∴k＝1，故C选项不符合题意；∴直线AB的解析式为y＝x+1.令x＝0，则y＝1，∴B(0，1)，则OB＝1．令y＝0，则x＝﹣1，∴A(﹣1，0)，则OA＝1，∴OA＝OB，∴△OAB为等腰直角三角形，故B选项正确；由图像可知，当x＞1时，y1＞y2，∴D选项不正确，故选D．考查内容：反比例函数与一次函数的交点问题命题意图：本题主要考查了一次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，待定系数法，数形结合．利用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．难度适中．7．答案：C解析：如图，连接OB．∵A(2，0)，D(4，0)，矩形OABC，∴OA＝2，OD＝4＝OB，∴∠OBA＝30°，∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BED=12∠BOD=12×60°＝30°．考查内容：坐标与图形性质；矩形的性质；圆周角定理命题意图：本题考查圆周角定理及其推论，直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理及其推论是解决问题的前提．难度适中．8．答案：D解析：由作图可知，点D在AC的垂直平分线上，∴DA＝DC，故选项A正确；∴∠A＝∠ACD＝40°，由作图可知，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，故选项B正确；∵AB ＝AC ，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝∠ACB =12(180°﹣40°)＝70°．∵∠PBC =12∠ABC ＝35°，∠PCB ＝∠ACB ﹣∠ACD ＝30°，∴∠BPC ＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故选项C 正确，若∠PBC ＝∠A ，则∠A ＝36°，显然不符合题意，故选D ．考查内容：等腰三角形的性质；作图—复杂作图命题意图：本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．难度适中． 9．答案：A解析：连接AC ，延长AP ，交BC 于E ，如图．在菱形ABCD 中，∠D ＝60°，AB ＝2，∴∠ABC ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝2，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC .又AP ＝AP ，PB ＝PC ，∴△APB ≌△APC (SSS )，∴∠P AB ＝∠P AC ，∴AE ⊥BC ，BE ＝CE ＝1．∵△BPC 为等腰直角三角形，∴PE =12BC ＝1．在Rt △ABE 中，AE =√32AB =√3，∴AP =√3−1，∴S 阴影＝S 扇形ABC ﹣S △P AB ﹣S △PBC =60π×22360−12(√3−1)×1−12×2×1=23π−√3+12．考查内容：等边三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；菱形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算命题意图：本题考查了扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求得P A 、PE 是解题的关键．难度适中． 10．答案：C解析：根据题意得k (x 2+1)+(5﹣2k )x ＝0，整理得kx 2+(5﹣2k )x +k ＝0，因为方程有两个实数解， 所以k ≠0且Δ＝(5﹣2k )2﹣4k 2≥0，解得k ≤54且k ≠0． 考查内容：一元二次方程的根的判定式命题意图：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根与Δ＝b 2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．难度适中． 11．答案：2解析：∵a ＝(12)﹣1+(−√3)0＝2+1＝3，b ＝(√3+√2)(√3−√2)＝3﹣2＝1，∴√a +b=√3+1 =√4 ＝2．考查内容：平方差公式；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的化简求值命题意图：本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 12．答案：14解析：由题意得，共有2×4＝8种等可能情况，其中能打开锁的情况有2种，故一次打开锁的概率为28=14．考查内容：概率公式命题意图：本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．难度较小． 13．答案：152解析：∵OD ⊥AC ，AD ＝4，∴AD ＝DC ＝4．∵DF ∥OC ，DF =52，∴OC ＝2DF ＝5． 在Rt △COD 中，OD =√OC 2−CD 2=3，∵BE 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BE ．∵OD ⊥AD ， ∴∠ADO ＝∠ABE ．∵∠OAD ＝∠EAB ，∴△AOD ∽△AEB ，∴OD BE=AD AB，即3BE=410，解得：BE =152． 考查内容：勾股定理；垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质命题意图：本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用、垂径定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．难度适中． 14．答案：6.3解析：如图，过点B 、C 分别作AE 的垂线，垂足分别为M 、N ，过点C 作CD ⊥BM ，垂足为D ．在Rt △ABM 中，∵∠BAE ＝60°，AB ＝16，∴BM ＝sin60°•AB =√32×16＝8√3(cm )，∠ABM ＝90°﹣60°＝30°．在Rt △BCD 中，∵∠DBC ＝∠ABC ﹣∠ABM ＝50°﹣30°＝20°，∴∠BCD ＝90°﹣20°＝70°．又∵BC ＝8，∴BD ＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52(cm )， ∴CN ＝DM ＝BM ﹣BD ＝8√3−7.52≈6.3(cm )，即点C 到AE 的距离约为6.3cm ．考查内容：解直角三角形的应用命题意图：本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键．难度中等．15．答案：m ＞﹣7且m ≠﹣3解析：原方程左右两边同时乘以(x ﹣2)，得：2x +m ﹣(x ﹣1)＝3(x ﹣2)，解得：x =m+72． ∵原方程的解为正数且x ≠2，∴{m+72＞0m+72≠2，解得：m ＞﹣7且m ≠﹣3．考查内容：分式方程的解；解一元一次不等式命题意图：本题主要考查解分式方程和一元一次不等式组，熟知解分式方程的方法是解题的关键．难度中等．16．答案：S 1＝4S 4解析：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值，OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4，∴S 1＝k ，S 2=12k ，S 3=13k ，S 4=14k ，∴S 1＝4S 4．考查内容：反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征命题意图：此题考查反比例函数y =kx (k ≠0)中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．难度中等． 17．答案：a 2+2a+1a 2−a÷(1+2a−1) =(a+1)2a(a−1)÷a−1+2a−1=(a+1)2a(a−1)⋅a−1a+1………………3分 =a+1a . ………………5分 当a ＝2√3时，原式=√3+12√3=6+√36． ………………8分解析：根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题． 考查内容：分式的化简求值；分母有理化命题意图：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．难度中等． 18．答案：解不等式5(a ﹣2)+8＜6(a ﹣1)+7，得a ＞﹣3，………………3分 ∴最小整数解为﹣2. ………………4分 将a ＝﹣2代入方程x 2+2ax +a +1＝0，得x 2﹣4x ﹣1＝0， ………………5分 配方，得(x ﹣2)2＝5．直接开平方，得x ﹣2＝±√5． ………………7分 解得x 1＝2+√5，x 2＝2−√5． ………………8分解析：解不等式5(a ﹣2)+8＜6(a ﹣1)+7，得a ＞﹣3，所以最小整数解为﹣2，于是将a ＝﹣2代入方程x 2﹣4x ﹣1＝0．利用配方法解方程即可．考查内容：解一元二次方程﹣配方法；一元一次不等式的整数解命题意图：本题主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整数解．难度中等． 归纳总结：配方法的一般步骤： (1)把常数项移到等号的右边； (2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 19．答案：(1)如图，正方形ABCD ，△DEF 即为所求． ………………4分 (2)如图，正方形BKFG 即为所求． ………………8分解析：(1)根据正方形，等腰直角三角形的定义画出图形即可． (2)画出边长为√10的正方形即可．考查内容：勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；正方形的判定；作图—应用与设计作图 命题意图：本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．难度中等． 20．答案：(1)60 ………………2分 (2)C 组的人数为40%×60＝24(人)，统计图如下： ………………4分(3) 20 144° ………………6分 (4)总时间少于24小时的学生的百分比为12+1860×100%=50%，∴全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生估计有2000×50%＝1000(名)． ………………7分建议：读书是人类文明进步的阶梯，建议每天读书至少1小时．………………8分 解析：(1) 本次抽样的人数为610%=60(人)，∴样本容量为60；(2)根据C 组所占的百分比即可求出C 组的人数； (3) A 组所占的百分比为1260×100%=20%，∴a 的值为20，β＝40%×360°＝144°；(4)先算出低于24小时的学生的百分比，再估算出全校低于24小时的学生的人数． 考查内容：总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图命题意图：本题主要考查统计图形的应用，能看懂统计图是关键，一般求总量所用的公式是一个已知分量除以它所占的百分比，第一问基本都是求总量，所以要记住，估算的公式是总人数乘以满足要求的人数所占的百分比，这两种问题中考比较爱考，记住公式，平时要多加练习．难度中等．【核心素养】从统计图中获取信息并能将从所获取的信息加以推理，体现了数据分析的核心素养.数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，已经深入到现代社会生活各个方面.在数据分析核心素养的形成过程中，学生能够提升数据处理的能力，增强基于数据表示现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验.21．答案：(1)①函数图象关于y 轴对称 …………………………………………2分 ②x ＝﹣2或x ＝0或x ＝2 ………………………………………………5分 ③若﹣1＜a ＜0 ………………………………………………6分(2)将函数y ＝﹣(|x |﹣1)2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y 1＝﹣(|x ﹣2|﹣1)2+3的图象， ………………………………………………………………………7分当2＜y 1≤3时，自变量x 的取值范围是0＜x ＜4且x ≠2．……………………………8分 解析：(1)根据图象即可求得；(2)根据“上加下减”的平移规律，画出函数y 1＝﹣(|x ﹣2|﹣1)2+3的图象，根据图象即可得到结论． 考查内容：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换命题意图：本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．难度中等以上．22．答案：(1)设买一支康乃馨需m 元，买一支百合需n 元，则根据题意得：{m +2n =143m −2n =2， ………………………………………………………2分解得：{m =4n =5，答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元； ………………………………………4分 (2)根据题意得：w ＝4x +5(11﹣x )＝﹣x +55． ……………………………………………7分 ∵百合不少于2支，∴11﹣x ≥2， 解得：x ≤9．∵﹣1＜0，∴w 随x 的增大而减小，…………………………………………………………8分 ∴当x ＝9时，w 最小， 即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，w min ＝﹣9+55＝46(元)， ……………………………………………………………………………………9分答：w 与x 之间的函数关系式：w ＝﹣x +55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元． ………………………………………………………………………………10分 解析：(1)设买一支康乃馨需m 元，买一支百合需n 元，根据题意列方程组求解即可；(2)根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，然后根据函数的性质和百合不少于2支求函数的最小值即可．考查内容：一元一次不等式的应用；一次函数的应用命题意图：本题主要考查一次函数的性质和二元一次方程组的应用，关键是利用题意写出函数关系式．难度中等偏上23．答案：(1)①证明：如图1，由题意知∠HGC =90°， 则∠AGH +∠DGC =90°.由矩形ABCD 知：∠HAG =∠D =90°， ……………………………………………………1分 而∠DGC +∠DCG =90°， ∴∠DCG =∠AGH ， …………………………………………2分 ∴△CDG ∽△GAH ． ………………………………………………………………………3分 ②如图1，由①知△CDG ∽△GAH ，∴∠AGF =∠DCG ， CG CDGH AG=. ………………………………………………………4分由折叠知：∠AGF =∠GAF ， ∴∠GAF =∠DCG ，而∠D =∠D ，∴△ADC ∽△CDG ， ……………………………………………………………………5分 ∴AD CD CD DG =，即422DG=， 解得DG =1， ∴AG =AD -DG =3， …………………………………………………………………………6分 ∴在Rt △CGH 中，tan ∠GHC =23CG CD HG AG ==． …………………………………………7分图1F GE H D CBA 图2GF EDCBA(2)如图2，此时Rt △GCF 与 Rt △AEF 不全等，理由如下： 设AE =EG =x ，则DG =2x -4．∵∠DCG +∠ACD =∠DAC +∠ACD =90°， ∴∠DCG =∠DAC ，而∠ADC =∠CDG ， ∴△CDG ∽△ADC ， ∴AD CD CD DG = 即 42242=-x ，解得：25=x ． ……………………………………………8分又tan ∠GAC =12EF DC AE AD ==，∴45=EF ∴AF 5222=+=BC AB AC ，∴45345552=-=-=AF AC FC ． …………………………………………………9分 一题多解：如图2，此时△GCF 与△AEF 不全等，理由如下： 若△AEF ≌△FCG 时，∠EAF =∠CFG ， 而∠CFG ＞∠EAF ，产生矛盾， ∴假设不成立．若△AEF ≌△GCF 时，∠AFE =∠GFC =∠EFG =60°， …………………………………8分 则在Rt △AEF 中，∠EAF =30°， ∴tan ∠EAF =33． …………………………………………………………………………9分1tan 2CD EAF AD ∠==≠而，产生矛盾 ∴假设不成立． ∴Rt △GCF 与 Rt △AEF 不全等．（注：本题其它解法请参照给分．）…………………10分解析：(1)①由矩形的性质和同角的余角相等证明△CDG 与△GAH 的两组对应角相等，从而证明△CDG ∽△GAH ；②由翻折得∠AGB ＝∠DAC ＝∠DCG ，而tan ∠DAC =12，可求出DG 的长，进而求出GA 的长，由tan ∠GHC 即∠GHC 的对边与邻边的比恰好等于相似三角形△CDG 与△GAH 的一组对应边的比，由此可求出tan ∠GHC 的值；(2)△GCF 与△AEF 都是直角三角形，由tan ∠DAC =12可分别求出CG 、AG 、AE 、EF 、AF 、CF 的长，再由直角边的比不相等判断△GCF 与△AEF 不全等． 考查内容：相似形综合题命题意图：此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法，特别是第(2)题，使用计算说理的方法判定三角形不全等，内容和方法新颖独到，是很好的考题．难度较大【核心素养】逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的素养。