固体物理学第一章习题解答1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征与性质。
答:晶态:内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。
其特征就是原子排列具有周期性,表现为既有长程取向有序又有平移对称性。
晶态的共性质:(1)长程有序;(2)自限性与晶面角守恒;(3)各向异性;(4)固定熔点。
非晶态特点:不具有长程序。
具有短程序。
短程序包括:(1)近邻原子的数目与种类;(2)近邻原子之间的距离(键长);(3)近邻原子配置的几何方位(键角)。
准晶态就是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。
准晶态结构的特点:(1)具有长程的取向序而没有长程的平移对称序(周期性);(2)取向序具有周期性所不能容许的点群对称;(3)沿取向序对称轴的方向具有准周期性,由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。
晶体又分为单晶体与多晶体:整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体;而多晶体则就是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
2、什么就是布喇菲格子？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。
说明基元代表点构成的格子就是面心立方晶体,每个原胞包含几个格点。
答:布喇菲格子(或布喇菲点阵)就是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。
布喇菲格子就是一种数学抽象,即点阵的总体,其特点就是每个格点周围的情况完全相同。
实际工作中,常就是以具体的粒子(原子、离子等)做格点,如果晶体由完全相同的一种原子组成,则由这些原子所组成的格子,称为布喇菲格子。
NaCl晶体的结点构成的布格子实际上就就是面心立方格子。
每个原胞中包含一个格点。
3、指出下列各种格子就是简单格子还就是复式格子。
(1)底心六角(在六角格子原胞底面中心存在一个原子)(2)底心立方(3)底心四方(4)面心四方(5)侧心立方(6)边心立方并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种？答:要决定一个晶体就是简单格子还就是复式格子,首先要找到该晶体的基元,如果基元只包含一个原子则为简单格子。
反之,则为复式格子。
(1)底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示,它具有一个垂直于底面的四度旋转轴,它的原胞形状如图所示,就是简单格子,属于单斜晶系。
(2)底心立方如下图所示,它的底面原子的排列情况可瞧出每个原子的周围情况都就是相同的,因而都就是等价的,所以它的基元也由一个原子组成,就是简单格子,属于四角晶系。
(3)底心四方如下图所示,每个原子的周围情况完全相同,基元中只有一个原子,属于简单格子,属于四角晶系。
=(4)面心四方就就是体心四角格子,就是简单格子,属于四角晶系。
(5)侧心立方如下图所示,从图中可知立方体的四个顶角原子就是等价的,而处于两个相对的侧面中心的原子就是等价的,因此基元应包含三个不等价的原子,所以它就是一个复式格子,其中每个不等价原子各自构成一个简立方的子晶格,整个晶体就是由三个简立方的子晶格套构而成。
所以就是复式格子,属于立方晶系。
侧心立方(6)边心立方如图所示,从图中可以瞧出立方体的四个顶角原子都相互等价,而相互平行的四条边上的边心原子相互等价,因此晶体中有四类不等价的原子,每个基元有四个不等价原子组成,所以它就是一个复式格子,它的布拉菲格子就是简立方格子,整个晶体由四个简立方的子晶格套构而成。
属于立方晶系。
4、基矢为 1a ai =,2a aj =,3()2a a i j k =++ 的晶体为何种结构? 若33()22a a a j k i =++, 又为何种结构? 为什么? 答:由所给的基矢可以求出晶体的原胞体积为2)(3321a =⨯•=Ωa a a 从原胞的体积判断,晶体结构为体心立方。
而原胞的取法不止一种,我们可以根据线性变换的条件,构造三个新的矢量:)(213k j i a a u ++-=-=a )(223k j i a a v +-=-=a )(2321k j i a a a -+=-+=a τ 正就是体心立方结构的常见的基矢的表达式。
若i k j a 23)(23a a ++=, 2)(3321a =⨯•=Ωa a a ,仍为体心立方结构。
5、如果将等体积球分别排成下列结构,设x 表示刚球所占体积与总体积之比,求证:结 构 x简单立方 π／6≈0、52体心立方 68.08/3≈π面心立方六角密排金 刚 石 证明:设想晶体就是由刚性原子球堆积而成。
一个晶胞中刚性原子球所占的体积与晶胞体积的比值x 称为结构的致密度。
设n 为一个晶胞中的刚性原子数,r 表示刚性原子球半径,V 表示晶胞体积,则致密度为:343n r x Vπ= (1)对简立方晶体,任一原子有6个最近邻,若原子以刚性球堆积,中心在顶角的原子球将相切。
因为32,a r V a ==,晶胞中包含1个原子,a 为立方边的边长,则334()326a x a ππ== (2)对体心立方晶体,任一原子有8个最近邻,体心的原子与8个顶角的原子球相切。
因为晶胞空间对角线的长度为4r = 3V a =晶胞中包含2个原子,所以3342348x a π⨯== (3)对面心立方晶体,任一原子有12个最近邻,顶角的原子与相邻的3个面心原子相切。
因为4r = 3V a =一个晶胞内含有4个原子,所以3344346x a π⨯== (4)对六角密积结构,任一原子有12个最近邻,如果原子以刚性球堆积,第二层的一个原子将与第一层与第三层的原子相切,构成两个对顶的正四面体,第二层的这个74.06/2≈π74.06/2≈π34.016/3≈π原子在正四面体的顶角上。
四面体的边长为a ,高为 222332c h a r === 其中c 为六角密积的高,晶胞体积为 2023sin 602V ca ca == 一个晶胞中包含两个原子,所以 3242()232632a x ca ππ⨯== (5)对金刚石结构,任一原子有4个最近邻中心在空间对角线四分之一处的原子与最靠近的顶角原子以及最靠近的三个面心原子相切,所以有 38a r =晶胞体积为 3V a =一个晶胞内包含8个原子,所以 33438()33816a x a ππ⨯== 6、试求面心立方结构(110)与(111)晶面族的原子数面密度,设晶格常数为a 。
解:[解] 对于面心立方结构的(110)晶面,其面积为 22S a =,其中a 为立方边的边长,即晶格常数。
在此晶面上有2个原子,一个就是1212⨯=在上下边,一个就是1414⨯=在顶角。
因此,(110)晶面族的原子数面密度为 22222a aσ==对于面心立方结构的(111)晶面,其面积为 0213(22sin 60)2S a a ==。
在此晶面上有2个原子:面心原子133/22⨯=个,顶角原子131/26⨯=。
因此,(111)晶面族的原子数面密度为2σ== 7、闪锌矿的密度334.06710kg m ρ-=⨯,锌的原子量65.37Zn A =,硫的原子量32.06s A =,求闪锌矿结构的点阵常数。
解:[解]一个晶胞中有4个Zn 与4个S ,一个晶胞的质量为 2725(65.3732.06)4 1.6610 6.4710M kg kg --=+⨯⨯⨯=⨯所以可以求得其体积 25283336.4710 1.59104.06710Mkg V m kg m ρ----⨯===⨯⨯⋅ 晶格常数为 112833(1.5910)0.542a V m nm -==⨯=点阵常数为 0.542a b c nm ===8、已知锗就是金刚石结构,锗单晶的密度335.3210kg m ρ-=⨯,原子量72.60Zn A =, 求锗的点阵常数及最近邻、次近邻距离。
解:金刚石结构一个晶胞内有8个锗一个晶胞的质量为 272572.608 1.66109.6410M kg kg --=⨯⨯⨯=⨯所以可以求得其体积 25283339.6410 1.81105.3210Mkg V m kg m ρ----⨯===⨯⨯⋅ 晶格常数为 112833(1.8110)0.566a V m nm -==⨯=点阵常数为 0.566a b c nm ===最近邻原子距离为0.2454a nm = 次近邻原子距离为0.4002a nm = 9、试证明金刚石结构原子的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同,都就是109028’、证明:如下图所示:设BC=aBC就是金刚石的晶格常数,AB就是金刚石晶格的面对角线,AC就是金刚石晶格的体对角线。
E就是AC的1/4点,F就是AB的中点则有AE=ED,AF=BF可得EF//BD所以∠a=∠b△ABD中,AD=BD=32a AB=2a由余弦定理可求得:∠a=109°28′10、求证:任何点群中两个二重旋转轴之间的夹角只能就是300、450、600、与900、证明:设想一个群包含两个二重轴2与2’,如图所示,它们之间的夹角用θ表示。
考虑先后绕2与2’转动π,称它们为A操作与B操作。
显然,与它们垂直的轴上的任意点N,先转到N’,最后又转回到原来的位置N,这表明B、A相乘得到的操作:C=BA不改变这个轴,因此只能就是一个绕垂直2与2’的轴的转动。
V 的转角可以这样求出:2轴在操作A 中显然未动,经操作B 将转到图中虚线所示2’’的位置,2与2’’的夹角就是2θ,表明C 的转角就是2θ。
因为C 也必须就是点群操作之一,2θ只能等于60°,90°,120°,180°。
从而我们得到结论,任何点群中两个二重轴之间的夹角只能就是30°,45°,60°,90°。
11、在六角晶系中,晶面常用四个指数(hkil)表示,如图所示,前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面族在互成1200的共面轴123,,a a a 上的截距为123/,/,/a h a k a i ,第四个指数表示该晶面在六重轴c 上的截距为/c l 。
求证:()i h k =-+并将下列用(hkl)表示的晶面用(hkil)表示:(001),(133),(110),(323),(100),(010),(213)。
证明:解: 为清楚起见图中给出了六角格子底面的格点排列情况,假设有一晶面与底面的交线为AB,它在基矢123,,a a a 上的截距分别为312,,a a a h k l,假设直线AB 的法线方向为n ,则312,a a an n n d h k l•=•=•= 式中d 为原点0至直线AB 的距离,由上式可得123n hdn kd n ida a a ⎧•=⎪⎪•=⎨⎪•=⎪⎩ 而且123a a a +=-,代入上式,得21)(n id a a +•=-综上可得:0h k i ++=即 ()i h k =-+(001),(133),(110),(323),(100),(010),(213)表示成()hkil 分别为(0001),(1323),(1100),(3213),(1010),(0110),(2133)12、具有笛卡尔坐标123(,,)n n n 的所有点形成什么样的布拉菲点阵？如果(1)i n 或全为奇数,或全为偶数; (2)要求i in ∑为偶数。