称为点群。 如果包括平移，就构成230种微观的对称性，称为空间群。

能使一个图像复原的全部不等同操作，形成一个对称操作群。


线性变换
晶体的对称性:晶体经过某种操作后恢复原状的性质 在操作前后应不改变晶体中任意两点间的距离

如用数学表示，这些操作就是熟知的线性变换
设经过某个操作，把晶格中任一点X变为X’，这操作可表示为 线性变换：
n=1相当于不变，即不施加任何操作，通常也看作一个对称操作。
例如：
（1）表示方解石菱面体的3 度转轴； （2）表示岩盐立方体的4度、 3度及2度转轴。对于立方体 而言，对面中心的连线为4度
(1)
(2)
(3)
轴，不在同一立方面上的平
行棱边中点的连线为2度轴， 而体对角线为3度轴。 因此，立方体有三个4度轴，六个2度轴和四个3度轴。
转角为φ 的垂直对称转轴，而且绕此轴转动（－φ ）角也必然是一
对称操作。在此操作作用下，A点变至A’点。
由几何关系得知 A' B' // AB
因而，晶体周期性必然要求A‘B’为AB的整数倍，因为AB为此方
向上格点排列的周期。
但从图可见
A' B' AB(1 2 cos )
因此
1 2 cos m
3 等价于一条3次轴加上对称心，即 3 3 i
6 等价于3次轴加上垂直于该轴的对称面，即 6 3 m
4 金刚石结构或闪锌矿结构具有4度旋转反演轴。
必须注意的是：
具有n度旋转反演轴对称的晶体不一定具有n 度转轴与中心反演
这两种对称性 即具有复合操作对称性不一定意味着同时具备构成复合的操作
的对称性。 但是，如具有单一操作的对称性，必具有由它们复合构成的操
作的对称性。
综上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称操作，即
12 3 4 6 i m 4
这些基本的对称操作可按一定的规律组合起来，就得到32种
不包括平移的宏观对称类型。
这种组合有一个共同的特点，就是其中所有的对称操作都 使晶体中的某一点固定不动，因此常称这种组合为点对称性群，
( x1 , x3 )
0
x3
( x1 , x3 )
x1
我们注意到上面所考虑的几何变换（旋转和反射）都是正交变 换（保持两点距离不变的变换）。 如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体 的一个对称操作，显然，一个物体的对称操作愈多，就表明它的对称 性愈高。
小猫在研究镜面操作
山和水在玩镜面操作
（3）表示硅酸鉀晶体的6度及2度转轴。
(b) 中心反演 使坐标r变成-r的操作称对原点的中心反演。 经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用字母i 代表。
( x1 , x2, x3 ) ( x1 , x2 , x3 )
(c) n度旋转反演轴

晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身重合则
' x3 r sin( ) r (cos sin sin cos )
x 2 sin x3 cos ;
则变换关系是
1 A 0 0 A 1
0 cos sin
sin , cos 0
二、中心反演（i）
取中心为原点，经中心反演后，图形中任一点：
三、镜象（镜面）
如以x3＝0作为镜面，镜象对称操作是将图形的任何一点 ( x1 , x 2 , x 3 ) 变为 ( x1 , x 2 , x 3 )
1 A 0 0 A 1 0 1 0 0 0 1
x2
( x1 , x2 , x3 )
( x1 , x2 , x3 )
点阵对称操作
假设在某一个操作过后，点阵不变，也就是每个格点的位置都得到
重复，那么这个平移、旋转或镜反射操作就叫一个点阵对称操作。 按照空间群理论，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作(8
种)组合而成。
对点阵对称性的精确数学描述，需要用点群和空间群的概念。 如果基本对称操作中不包括平移，则组成32种宏观对称类型，
这十四种布喇菲点阵按其惯用晶胞的对 称性（基矢长短和夹角大小）特征划分为七 大晶系（初基点阵＋心＝14）：
立方
四方
正交
六角 三角 单斜
三斜
7 个晶系（crystal Classes）
Crystal system Unit cell shape Essential symmetry
晶系
单胞几何描述
x 'j a jk xk , j , k 1,2,3(1)
式中 x i x1 ' ' x i x1
x2 k x3 j ' ' j x2 k x3
x' 在数学上， j , xk 等也可认为是空间同一点在两个坐标系中的 坐标，即
' ' x i x1 j x2 k x3 i x1 j x2 k x3'
' ' ' x i x1 j x2 k x3 i x1 j x2 k x3
用矩阵表示，(1)式可表示为：
x ' Ax ( 2) x1' x1 a11 a12 a13 ' ' x x 2 , x x 2 , A a 21 a 22 a 23 ' x a x3 a32 a33 3 31
式中m为整数。由于 cos 1，可得到当m为－1、0、1、2、3时，φ 分别为
0 ,60 ,90 ,120 ,180
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
2 i n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。
常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只
能存在2度、3度、4度和6度对称轴。 分别用数字2、3、4、6或符号 ▲ ■ 代表一个n度转轴。
( x1 , x 2 , x 3 ) ( x1 , x 2 , x 3 )
' x1 x1
也就是
' x2 x2 , ' x3 x3 ;
1 A 0 0 A 1
0 1 0
0 0 , 1
如经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用 字母i 代表。
晶格周期性，即空间格子对于对称性的制约，结果是只能有32种
点群对称。 反过来，点对称性对于空间格子的周期性即平移对称性的限制的
结果是只能存在14种布喇菲格子（原胞）。
一、七大晶系：
1850年，德国科学家布喇菲（Auguste Bravais1811－1863）首先证明了三维晶格只 有14种布喇菲点阵。
对称性（典型点群）
Space lattices
点群的熊夫利符号
应当说明的是,对于宏观晶体而言：


n度螺旋轴与n度旋转轴是等价的
滑移面与镜面也是等价的， 因为在宏观的范围通常观察不到原子间距数量级的平移。 将32种宏观点群再加上以上二类带平移的对称操作, 结合起来
就可以导出230种微观空间群。
它们可以描写晶体所有可能的对称性，每种空间群对应于一种
特殊的晶格结构。 晶体之星 /
一、转动
将某图形绕x1轴转过θ 角，该图形中任一点变化关系如下：
' ' ' ( x1 , x2, x3 ) ( x1 , x2 , x3 )
' x1 x1 ' x 2 r cos( ) r (cos cos sin sin )
x 2 cos x3 sin ,
操作前后，两点间的距离应保持不变，这要求：
2 2 2 x1 x2 x3 x1 x2 x3 ~ ' ' ' ' x x x1 x2 ~' ~~ ~ x x ' xAAx xx '2 '2 '2
转置运算： 反序定律

' x1 ' ' x3 x2 ' x3
§1.7
晶体结构的分类
我们已经知道布喇菲格子可以由 Rn n1a1 n2 a2 n3a3 的格矢表示。
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角决定了
不同的布喇菲格子的类型。 前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空间格子必相
应地变动。
因此，布喇菲格子的形式，即三个基矢之间的关系必然受到宏观 对称性的制约。
简称点群。
第一章
晶体结构和X射线衍射
对称素 名称
对称操作（48） 每个对称元素的操作 数目
三条4次轴＜100＞
旋转90,180,270
9
四条3次轴＜111＞
旋转120,240
8
六条2次轴＜110＞
旋转180
6
不动
1
立方对称的48个对称操作 称为立方点群Oh
i 对称心
以上操作加反演
24
2、包括平移的基本对称操作
§1.6 晶体的对称性


对称性
由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具有一定的对称
性质。对称性不仅表现在几何外形上，而且反映在晶体的宏观物理 性质中。 对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。与一
般几何图形的对称不同，由于晶格周期性的限制，晶体仅具有为数 不多的对称类型。 晶体具有各种宏观对称性的原因在于原子的规则排列。 对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的。对称性越高的 系统，描述起来就越简单，需要独立地表征的系统要素就越少。