第3章行波法与积分变换法
2u u(t02,
t)
a
2
2u x 2
,
0, u(l , t )
0,
u(x,0) 0,
t
u ( x,0)
l
h
h x, c
l
c
x,
0 x l,t 0 t 0 0 xl
0 xc c xl
0 X 0 X (x) Ax B A B 0 X (x) 0
l
x(Cn
cos na
l
t
Dn
sin
na
l
t)
(Cn
cos na
l
t
Dn
sin
na
l
t ) sin
n
l
x
u
un
n1
(Cn
n1
cos na t
l
Dn
sin
na t) sin
l
n
l
x
0 x l,t 0 t 0 0 xl
0 xc c xl
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u u(t02,
t)
a
2 2u , x 2
0, u(l , t )
0,
u(x,0) 0,
t
u ( x,0)
l
h
h x, c
l
c
x,
0 x l,t 0 t 0 0 xl
0 xc c xl
na
na n
u (Cn cos
n1
l
t Dn sin
l
t) sin l
x
u(x,0)
t
n1
Dn
n
n
l
n
2 n
n
l
2
, n
1,2,3,
Xn
Bn
cos n
l
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(uutx(,0x0,)at)2 xx,20u2,
, u(l,
x
t
)
0,
0 x l,t 0
t 0 0 xl
0 X B0
n
n
l
2
, n
1,2,3,
n
X n Bn cos l x
T a2T 0
0
T0 0 T0 B0t A0 A0
u0 X 0T0 B0 A0 C0
0
Tn
a 2 n 2
l2
2
Tn
0
a2n2 2
t
Tn An e l2
un X nTn
A B e
a
2n2 l2
2
t
nn
cos n
l
x
C ea2nFra bibliotek l22
t
n
cos n
l
x
u
un
n0
C0
2
1
1
2
0
1
1
2
2 0 0
(0)() ()() 0 (0) ( ) 0
0, 0 (0) () 0
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u 0,
u(,0) u(, ) 0, u(a, ) f ( ),
0 , a
a
0
d pU (x, p)1 1
dx
p
数学物理方程与特殊函数
2u
xy
1,
u(0, y) y 1,
第3章行波法与积分变换法
x 0, y 0
y0
u(x,0) 1,
x0
u
y
f
(x)
x
u xy f1(x) f2 ( y)
u(0, y) f1(0) f2( y) y 1
u(x,0) f1(x) f2 (0) 1
1
G()
t
0
(t
) sin d
1
F() sin t
1
2
G()
t (t )dcos 1 F () sin t
0
1
2
G() (t )cos
|t0
t 0
cos
d
1
F () sin t
1
2
G()
t
1
sin
t
1
F
() sin
t
t G() 1 F () sin t 1 1 G() sin t
1 F()sin t 1 arctan(x t) arctan(x t)
2
1 G() sin t 1 G() ejt e-jt 1 arctanx t arctanx t
2
2
2j
4j
1 1 G()sin t j 1
2
4j
x
arctan
t
arctan
t
d
arctan
x dx
x arctan
n
u
un
n1
n1
En
sin
n
n
u(a, )
f
( )
n 1
En
sin
n
n
a
f ( )sin n d
En 0
an /
sin2 n d
0
f ( ) sin n d
0
an /
2
u 2
n1
0
f
(
)
sin
n
d
a
n
/
sin
n
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
p2
其中
x G(), 1 F()
(1 x2 )2
1 x2
U (,
p)
G()
p2
F
()
p2 2
G ( )
p2
F ()
p2 2
1
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
U (,
p)
G()
p2 p2
F () 2
G ( )
p2
F ()
p2 2
1
U (,t) 1 G()t F () sin t 1 G() t sin t 1 F () (t) sin t
X X 0 T a2T 0
X X 0 0 x l
X (0) 0,
X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(uutx(,0x0,)at)2 xx,20u2,
, u(l,
x
t
)
0,
0 x l,t 0
t 0 0 xl
X X 0 0 x l
C e
a
2
n2 l2
2
t
n
n1
cos n
l
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(uutx(,0x0,)at)2 xx,20u2,
, u(l,
x
t
)
0,
0 x l,t 0
t 0
u C0
n1
a2n2
Cne l2
2
t
cos
n l
x
0 xl
u ( x,0)
x
C0
Cn
n1
cos n
f2 ( y) y 1 f1(0)
f1(x) 1 f2 (0)
u xy 1 f2 (0) y 1 f1(0) xy y 2 f2 (0) f1(0)
u(0,0) 2 f2(0) f1(0) 1
u xy y 1
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
例7 解定解问题
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
习题2 第1题
设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为 零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
u(x,t) X (x)T (t)
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0
T a2T 0
na sin
l
n
l
x
0
Dn 0
n
u(x,0) Cn sin
n1
l
x
Cn
2 l
l
n
u( x,0) sin
0
l
xdx
2hl 2 2c(l c)n2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
习题2第6题：解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为
u(x,0) x, u(0,t) 0, u(l,t) 0
第3章行波法与积分变换法
2u 0,
u(,0) u(, ) 0, u(a, ) f ( ),
2
n
0 a 0
0
n
,
a
2n
n
n
n
n
n
Bn s
2
in
, n 1,2,3,
n
n
2
0
n Cn Dn Cn
un
nn
Bn
sin
n
n
Cn
En
sin
n
2 0
X 2 X 0 X (x) Acosx Bsin x
X (0) A 0 , X (l) Bsin l 0
n n / l, n 1,2,3, n n2 n / l2
X n (x)
Bn
sin
n
l
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法