高中数学竞赛培训资料 函数
例一． 定义在R 上的函数f(x)满足:f(x －
x 1)=x 2+21x （对所有x ≠0） 则f(x)的表达式是
例二． 函数f(x)对任意正实数x ，y 满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，求f(641)之值。

例三． 设f(x)=x 4+ax 3+bx 2+cx+d ，其中a ，b ，c ，d 是常数，若f(1)=10，f(2)=20，f(3)=30，
求f(10)+f(－6)
例四． 对于每个实数x ，设f(x)是4x+1，x+2，－2x+4三个函数中的最小值，则f(x)的最大
值是多少？
例五． （91年全国联赛试题）设函数y=f(x)对一切实数x 都满足：f(3+x)=f(3－x)，方程f(x)=0
恰有6个不同的实根，则这6个实根之和为
（A ） 18 （B ） 12 （C ） 9 （D ） 0
例六．（88年全国联赛试题）设有三个函数，第一个是y=)(x ϕ，它的反函数就是第二个函
数，而第三个函数的图象与第二个函数图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是
(A) y=)(x ϕ （B ）y=－)(x -ϕ (C) y=－)(1x -ϕ (D) y=－)(1
x --ϕ
例七．设f(x)=2
442
+x ，求f(10011)+f(10012)+f(10013)++ f(10011000) 之值。

例八．定义在R 上的函数y=f(x)具有以下性质
1． 对任何x ∈R 都有f (x 3 ) = f 3 (x)
2． 对任何x 1, x 2 ∈R 且x 1≠x 2 都有f (x 1)≠f (x 2)
则f 2（－1）+f 2（0）+f 2（1）=
例九．若a ＞0,a ≠1，F(x)是一个奇函数，则G(x)=F(x)⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-2111x a 是 （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）与a 的取值有关
例十．已知函数y=f(x)，x ∈R ，f(0)≠0，且对于任意实数x 1，x 2都有
f(x 1)+f(x 2)=2f(221x x +)×f(2
21x x -)，则此函数是 （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）奇偶性不确定
例十一．已知实数 x,y 满足(3x+y)2+x 5+4x+y=0，求证：4x+y=0
例十二．已知函数f(x)满足：1）f(2
1)=1 2）值域为[]1,1-
3）严格递减,
4）f(xy)=f(x)+f(y)
试求不等式f －1(x) f －1(x -11)≤2
1的解集。

例十三．对任意整数x ，函数f(x)满足f(x+1)=)
(1)(1x f x f -+，若f(1)=2，求f(2001)
例十四．（92年全国联赛试题）设f(x)是定义在R 上的函数，且满足下列关系：
f(10+x)=f(10－x)，f(20+x)=－f(20－x)，则f(x)是
（A ）偶函数又是周期函数 （B ）偶函数但非周期函数
（C ）奇函数又是周期函数 （D ）奇函数但非周期函数
例十五．（90年全国联赛试题）设f(x)是定义在实数集上的周期函数且是偶函数，周期为2，
已知当x ∈[]3,2时f(x)=x ，则当x ∈[]0,2-时
（A ）f(x)=x+4 (B)f(x)=2－x (C)f(x)=3－|x+1| (D)f(x)=2+|x+1|
练习：
1．计算 (log 23)(log 34)(log 45)……(log 6364)=
2．已知f(x)=x 2，g(x)=21-
x+5，g －1(x)表示g(x)的反函数，设F(x)=f [])(1x g -－g －1[])(x f ，则F(x)的最小值是
3．对任意的函数f(x)，在同一直角坐标系中，函数y=f(x －1)与函数y=f(1－x)的图象
(A)关于x 轴对称（B ）关于直线x=1对称（C ）关于直线x=－1对称（D ）关于y 轴对称
4．方程sinx=lgx 的实根的个数是
(A) 1 (B) 2 (C)3 (D) 大于3
5．若F(x
x +-11)=x ，则下列等式中正确的是 (A)F(－2－x)=－2－F(x) (B)F(－x)=F(
x x -+11) (C)F(x －1)=F(x) (D)F(F(x))=－x 6．已知函数f(x)=ax 2－c 满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5则f(3)满足
(A)－7≤f(3)≤26 (B)－4≤f(3)≤15 (C)－1≤f(3)≤20 (D)－328≤f(3)≤3
35 7．函数f(x)=sinx (2
1121+-x )是 （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）奇偶性不确定
8．已知偶函数f(x)在[]4,0上是减函数，如果m= f (log 216
1)，n=f [])1arccos(-- 那么m,n 的大小关系是
(A) m ＞n (B) m ＜n (C) m=n (D) 不确定
9．定义域、值域都是R 的函数y=f(x)是增函数，设方程f(x)=x 的解集为P ，方程x=f []
)(x f 的解集为Q ，则有
(A) P=Q (B) P ⊂Q (C) Q ⊂P (D) P ⊄Q 且Q ⊄P
10．函数y=)(log 2
31a ax x --的递增区间是(－∞，1－3)则实数a 是
(A) 2或1－3 (B) 2－23或1－3 (C) 2或2－23 (D) －2或1－3
11．求证： 1997)19971()19971(1000
1000--+是整数。

12．设a ＞0是实数，f(x)是定义在R 上的实函数，对每一实数x 满足条件： f(x+a)=[]2
)()(21x f x f -+ 证明：是周期函数，实数2a 是它的一个正周期。

13．设f(x)是定义在R 上以2为周期的函数，对k ∈Z ，用I k 表示区间(2k －1，2k+1),
已知：当x ∈I 0时，f(x)=x 2
求：f(x)在I k 上的解析式。

14．函数f(x)定义在R 上，且对一切实数x 满足等式：f(x+2)=f(2－x) , f(7+x)=f(7－x)
设：f(x)=0的一个根是x=0，记f(x)=0在区间－1000≤x ≤1000中根的个数为N
求：N 的最小值。

15．设函数y=f(x)定义域为R ，当x ＞0时，f(x)＞1，且对任意x ，y ∈R 有：
F(x+y)=f(x) f(y)，当x ≠y 时，f(x)≠f(y)
（1） 证明：f(0)=1；
（2） 证明：f(x)在R 上递增；
（3） 设A=｛(x,y)|f (x 2) f (y 2)<f (1)｝，B=｛(x,y)|f (ax+by+c)=1｝a,b,c ∈R 且a ≠0若A ∩B=φ，
求a 、b 、c 满足的条件。

16．实数集R 上的函数y=f (x)满足：
① f (x 1+x 2)+f (x 1－x 2)=2f (x 1) cos2x 2+4 a sin 2x 2（x 1、x 2∈R ，a 是常数）；
② f (0)=f (4π)=1；③ 当x ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡4,0π时，|f (x)|≤2； 试求：函数y=f (x)的解析式，及常数a 的取值范围。