高中数学竞赛 函数练习题
（幂函数、指数函数、对数函数）
一、选择题
1．定义在R 上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x +1)，则
A ．g(x)=x, h(x)=lg(10x +10-x +2)
B ．g(x)=
21[lg(10x +1)+x], h(x)=2
1[lg(10x +1)－x] C ．g(x)=21x, h(x)= lg(10x +1)－2
1x D ．g(x)=－21x, h(x)= lg(10x +1)－21x 2．若(log 23)x －(log 53)x ≥(log 23)-y －(log 53)-y ，则
A ．x －y ≥0
B ．x+y ≥0
C ．x －y ≤0
D ．x+y ≤0
3．已知f(x)=ax 2－c 满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是
A ．7≤f(3)≤26
B ．－4≤f(3)≤15
C ．－1≤f(3)≤20
D ．－338≤f(3)≤3
35 4．已知f(n)=log n (n+1) (n ∈N*且n ≥2)，设∑=10232)(100log 1n n f =
p q (p,q ∈N*且(p,q)=1)，则p+q= A ．3 B ．1023 C ．2000 D ．2001
5．如果y=log 56•log 67•log 78•log 89•log 910，则
A ．y ∈(0,1)
B ．y=1
C ．y ∈(1,2)
D ．y ∈[2,3]
6．若实数a, x 满足a>x>1，且A=log a (log a x)，B=log a 2x, C=log a x 2，则
A ．A>C>
B B ．C>B>A
C ．B>C>A
D ．C>A>B
7．设a>0,a ≠1，函数f(x)=log a |ax 2－x|在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是
A ．a>1
B ．a>1或61≤a<4
1 C ．a>1或
81≤a<41 D ．a>1或61<a<4
1 8．f(x)是同期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f(x)=2x －1，则f(24log 21)的值是 A ．－2423 B ．－65 C ．－25 D ．－2
1 二、填空题
9．设f(x)=lg(10x +1)+ax 是偶函数，g(x)=x x b 2
4-是奇函数，则a+b 的值为 。

三、解答题
10．已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(－x)，且当x ∈(-1,0)时，f(x)=2x 。

①证明：f(x+4)=f(x)；②求f(18log 2
1)的值。

11．解方程lg(4x +2)=lg2x +lg3。

12．设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--0
01221x x x x ，解不等式f(x)>1。

13．设f(x)=221
+x ，求f(－5)+f(－4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)。

14．求函数f(x)=3•4x －2x (x ≥0)的最小值。

15．设函数f(x)=|lgx|，若0<a<b 且f(a)>f(b)，证明：ab<1。

16．设不等式2(x 21log )2+9x 2
1log +9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时，函数
f(x)=(log 2
2x )(log 28
x )的最大值、最小值。

17．已知实数t 满足关系式log a 3a t =log t 3a y (a>0,a ≠1) ①令t=a x ，求y=f(x)的表达式；
②若x ∈(0,2)时，y min =8，求a 和x 的值。

18．解不等式|x
2
1log 1+2|>23。

19．解不等式1log 2-x +2132
1log x +2>0。

20．已知a 、b 、c 、d 均为正整数，且log a b=
23, log c d=45，若a －c ＝9，求b －d 。

21．已知函数f(x)=ln[3x －x a a )22(23--]的定义域为(0,+∞)，求实数a 的取值范围。

22．解方程log 5(3x +4x )=log 4(5x －3x )。

23．设f(x)=lg n
a n n x x x +-+++)1(21Λ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数，且n ≥2。

如果f(x)当x ∈(－∞,1)时有意义，求a 的取值范围。

24．f 是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数，满足条件：对任何x>1,y>1及u>0,v>0,都有f(x u •y v )≤u x f 41)
(•v y f 41)(成立，试确定所有这样的函数f 。