根据换路定律有x(0+)=x(0-)=பைடு நூலகம்(0)=x0
•
x Ax Bf
（1）当 f= 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应； （2）当f 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应； （3）当f 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
状态变量分析法的名词
状态失量的定义：
能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成状态矢量。如一个二
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 过阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性
1.过阻尼情况
状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始 ，在t= 时终止于坐标原点 。
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
初始时刻 t 0 的电感电流i ( t 0 ) 和电容电压uc(t0) ，实际上是反映了初始时刻 t 0 的 储能情况，例如：设在 t 0 期间对电容充电，则在此期间供给电容的能量应为：
W ctt0u(t)i(t)d t1 2c[u2(t)u2(t0)]
当
uc(t0) 0
时，
Wc
1 C u2 (t) 2
电容情况感兴趣，则可以把式子写成：
u c C 1-t 0i(t)d C t1tt0i(t)d u tc(t0 ) C 1tt0i(t)dt
t 0 以前的全部历史情况对未来产生的效果可以由 t 0 时刻的电容电压 uc (t0 ) 来反映，就是说，如果知道uc (t0 ) 和 t 0 开始作用的电流 i(t ) ,就能完全确定t t0
i dqCduc dt dt
把电容电压 u c 表示为电流i的函数，则上式积分得
uc(t)C1 i(t)dt
说明：在某一时刻t，电容电压的数值并不仅取决于 这一时刻的电流值，而是取决于从 －∞到t所有时刻的电流 值，也就是说与电流全部过去的的历史有关。
总有一个初始时刻 t 0 ，如果只对某一任意时刻选定的初始时刻 t 0 以后的
维矢量：
λ(t)
1 (t )
2
(
t
)
状态空间：
1 t
t
2
t
n
t
状态矢量λ(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变量来描述， 则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就是n维空间。
状态轨迹：
在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称为状态轨迹。
uC
(I0 ,U0 )
O
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)
状态变量分析法
contents
1
状态和状态变量
2
连续时间系统状态方程的建立
3
连续时间系统状态方程的求解
4
离散时间系统状态方程的建立求解
5
系统状态方程的稳定性、能控性介绍
一 状态和状态变量
状态和状态变量是描述物理系统特性的一 个重要概念。在电路及系统工程理论中有它们 专门的含义，是一个专用的术语。
【例题1】如图1所示的电路中，列些其状态方程 和输出方程。
R
iL
vs
L
C
vc
图1
R
Cdvdct(t) iL(t )
vs
LdiL(t) dt
vc(t)
RiL(t)
vs(t)
iL L C vc
整理方程，使得方程左端仅含状态变量的一阶导数，右端只含状态变 量的输入变量而不含有它们的导数。
将状态方程组写成如下形式
状态变量分析法定义：
（1）用任意瞬时的状态值和此以后的激励可以唯一地 确定的任意时的状态。
（2）用任意瞬时的状态值和此瞬时以后的激励值就可 以唯一地确定此瞬时电路中所有变量的值。
状态变量法是以系统内部变量为基础建立的系统方程。 由于它可以引用控制系统理论的概念、方法，又适宜于计 算机的数值求解，所以不仅对于单输入单输出系统的分析， 而且更适用于多输入多输出系统、非线性系统以及时变电 路的分析。
状态的定义：一个电路的状态是指在任意 时刻 t 0 必须具备最少量的信息，这些信息与t 0 时刻以后的激励，就能够完全确定 t 0 以后任何 时刻电路或系统响应。
用来定义电路状态的最少数目的变量，则 称为状态变量。
下面来针对电路元件来说明取作状态变
量的是那些物理量。
线性电容元件的电压 u c 和电流i的关系式为：
另外，电感的全部储能也只与某一时刻的电感电流值有关，即 W 1 Li2(t)
根据机电类比关系，由于转动部分的动能为1
2
J
2 m
2
，所以在机电系统中，电
容电压，电感电流和角速度都是状态变量。
在分析系统的运动时，我们可以把一组状态变量作为求解量，这样列出的方
程成为状态方程，状态方程是一组联立的一阶微分方程。
yCxDf
一个电路的状态变量不是唯一的，但必须是独立的， 且是最少个数的。
状态方程的标准形式：
•
x Ax Bf
其中x=[u c iL ]T称为电路的状态
x中的元素iL和uC称为状态变量
A、B —为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数
f—为输入向量 x(0+)=[U 0 I 0 ]T —为电路的初始状态 x(0-) —电路的原始状态
dvdct(t)0
diL(t) dt
－L1
C 1R LviLc((tt))L10vs(t)
xAxBf
在 vC(t), iL(t) 已知后，假设输出u o 是电阻与电感上的电压之和。 vvRL((tt))RvisL((tt))vc(t)RiL(t)
输出电压：
uo vs vc
输出方程：
uo 01ivLctt10vs
时的电容电压uc (t) 。因此电容电压uc (t) 就是电容元件的状态变量。
同理，由于在任选时刻 t 0 以后的电感元件的电流表达式可以表示为
i(t) 1t u (t)d t1t0u (t)d t 1tu (t)d t
L－
L－
Lt0
i(t0)L1
t t0
u(t)d
t
所以，电感的电流值 i (t ) 也是一个状态变量。
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
（2）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆。
（3）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线。 响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应成为无界，
状态轨迹是向外发散的。
注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必 需的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电 流完全确定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立 的电感电流iL作为状态变量。