k1, k2 L , kn 为向量 对这个基的坐标。
定义2 在线性空间 V 的任一基中基向量的 个数称为线性空间 V 的维数，记为 dimV
下面讨论求线性空间基与维数的方法： (1)目测法。此法就是初步目测出基与维数， 然后再加以检验。
(2)基变换法。此法就是根据下面的结论： 已知线性空间的一个基为 1,2 L ,n ，则
当 m 0 时，定理显然成立； 当 m k 时，假设定理成立；
当 m k 1 时，1,2 L ,s 是 Vs 的基（则它们一定 线性无关），但还不是 Vn 的基，则在 Vn 中必存 在一个向量 s1 不能由1,2 L ,s 线性表出，这 时就把 s1 添加进去，于是 1,L ,s,s1 必线性无关 （否则，若 1,L ,s,s1 线性相关，由于 1,L ,s,s1 线性无关，则 s 1 可由 1,2 L ,s 线性表出， 矛盾），把它作为 Vn 的子空间 Vs1 的一个基， 于是 Vs1 是 s 1 维的。
xn
x1
x1
x2
P 1
x2
M
M
xn
xn
（7.4）
证因
x1
x1
x1
1 , 2 ,L
,n
x2
M
1, 2,L
,
n
x2
M
1
,
2
,L
,
n
P
x2
M
,
xn
xn
xn
而 1,2,L ,n 线性无关，故有（7.4）式。
说明 此定理的逆定理成立，即若 Vn 中任一元素 的两种坐标满足坐标变换公式（7.4），则两个 基满足基变换公式（7.2）或（7.3）。
第七章 线性空间
§7.2 线性空间的基与维数
定义1 给定线性空间 V 的一组向量 1,2 L ,n
若满足： （1）线性无关；
（2）V 中任一元素 总可由 1,2 L ,n 线性表
示，即存在数 k1, k2 L , kn ，使
k11 k22 L knn
则称这组向量为线性空间 V 的一个基，其中向量 1,2 L ,n 称为基向量，称（7.1）式的系数
⑥一个向量的坐标是相对于基而言的，一个向量 对不同的基一般有不同的坐标。向量的分量与坐 标是不同的概念，使任一向量的分量与坐标均相 等的这个基称为自然基，Rn 的自然基是 e1, e2,L , en
其中 ei i 1,2,L ,n 为 n 阶单位矩阵 E 的第 i 列。
由说明⑥可见，同一个元素在不同基下有不同的 坐标，那不同的基与不同坐标之间有怎样的联系 呢？
V 的一个基，求证
1 1, 2
1 2 ,L
, n
1
2
L
n
也是
V
的一个基。
10L
证 因为
11L A
MM
11L
0
0 0
M
，所以 1, 2,L , n
1
是 V 的一个基。
(3)添加法。此法就是添加基向量的个数。
例3 设 Vs 是 n 维线性空间 Vn 的一个子空间，
1,2 L ,s 是 Vs 的一个基，求证：Vn 中存在元 素 s1,L ,n 使 1,L ,s ,s1,L ,n 成为 Vn 的一 个基。 证 对维数差n s m 用数学归纳法。
设 1,2 ,L ,n 及 1, 2,L , n 是向量空间 Vn 中的
两个基，且
1 p111 p212 L pn1n ,
2
p122 p222 L
LLLLL
pn2n ,
n p1n1 p2n2 L pnnn ,
即
1 p11
2
p12
M M
p21 L p22 L M
n
p1n
p2n L
pn1 1
1
pn2
Байду номын сангаас
2
PT
2
M M M
pnn
n
n
（7.2）
或 1, 2,L , n 1,2,L ,n P
（7.3）
定义3 （7.2）式和（7.3）式称为基变换公式， 矩阵 P 称为由基 1,2,L ,n 到基 1, 2,L , n 的 过渡矩阵，由于 1, 2,L , n 线性无关，故过渡 矩阵 P 可逆。
定理1 设 Vn 中的元素 在基 1,2,L ,n 下的
坐标为 x1, x2 L , xn ，在基 1, 2,L , n 下的坐标 为 x1, x2 L , xn ，若两个基满足关系式（7.2）
式和（7.3）式，则有坐标变换公式。
x1
x1
x2
P
x2
M M
或
xn
1 a111 a122 L a1nn ,2 a211 a222 L a2nn ,L ,n an11 an22 L annn ,
为基的充要条件是
a11 a12 L A a21 a22 L
MM a1n an1 L
a1n a2n 0 M ann
例2 若向量组 1,2 L ,n 是 n 维向量空间