上式表明 : 在向量用坐标表示后 , 它们的运算 就归结为坐标的运算 ,因而线性空间 V n 的讨论就 归结为 R n 的讨论 . 下面更确切地说明这一 点.
定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间 U 与 V 同构.
即 E 11 , E 12 , E 21 , E 22线性无关 .
对于任意二阶实矩阵 ⎛ a 11 a 12 ⎞ A=⎜ ⎟ ∈V , ⎝ a 21 a 22 ⎠
有 A = a 11 E 11 + a 12 E 12 + a 21 E 21 + a 22 E 22 因此 E 11 , E 12 , E 21 , E 22为V的一组基 . 而矩阵 A在这组基下的坐标是 (a 11, a 12 , a 21, a 22 ) .
任一不超过 4次的多项式 p = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0
可表示为 p = a 0 p1 + a 1 p 2 + a 2 p 3 + a 3 p 4 + a 4 p 5
因此 p 在这个基下的坐标为 ( a 0 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 )
⎛ k1 k 2 ⎞ ⎟, k 1 E 11 + k 2 E 12 + k 3 E 21 + k 4 E 22 = ⎜ ⎝ k3 k4⎠
因此 ⎛ 0 0⎞ ⎟, k 1 E 11 + k 2 E 12 + k 3 E 21 + k 4 E 22 = O = ⎜ ⎝ 0 0⎠ ⇔ k 1 = k 2 = k 3 = k 3 = 0,
T
结论 １．数域 P 上任意两个 n维线性空间都同构． ２．同构的线性空间之间具有反身性、对称性 与传递性． ３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
四、小结
１．线性空间的基与维数； ２．线性空间的元素在给定基下的坐标； 坐标：（１）把抽象的向量与具体的数组向 量联系起来； （２）把抽象的线性运算与数组向量 的线性运算联系起来． ３．线性空间的同构．
思考题
求由 P [ x ]3中元素
f1 ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 4 x + 1, f 2 ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 + 9 x − 1,
T T
于是 α + β 与 k α 的坐标分别为 T ( a 1+ b1,a 2 + b 2,L,a n + b n )
= (a 1,a 2,L,a n ) + (b1,b 2 ,L,b n ) T T ( k a 1,k a 2 ,L,k a n ) = k (a 1,a 2 ,L,a n )
T
T
若α 1 ,α 2 ,L,α n为Vn的一个基 , 则Vn 可表示为
Vn = {α = x1α 1 + x2α 2 + L + xnα n x1 , x2 ,L, xn ∈ R}
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设 α 1 , α 2 ,L ,α n是线性空间 Vn的一个基 序 数 x1 , x 2 , L , x n , 使
(a 1,a 2 ,L,a n ) 和 (b1,b 2 ,L,b n ) , 则 α + β = ( a 1 + b1) α 1 + ( a 2 + b 2 ) α 2 + L + ( a n + b n ) α n kα = k a 1α 1 + k a 2 α 2 + L + k a n α n
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间．对于 V 中的矩阵
⎛1 E 11 = ⎜ ⎝0 ⎛0 E 21 = ⎜ ⎝1
有
0⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎟ , E 12 = ⎜ ⎟, 0⎠ ⎝ 0 0⎠ 0⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎟ ⎟ , E 22 = ⎜ 0⎠ ⎝ 0 1⎠
一、线性空间的基与维数
已知：在 R n中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n + 1个向量都是线性相关的． 问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间 V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n 个元素 α 1 ,α 2 ,L ,α n
(1) α 1 , α 2 , L , α n 线性无关 ;
α = x1α 1 + x2α 2 + L + xnα n ,
有序数组 x1 , x 2 ,L , x n 称为元素 α在α 1 ,α 2 ,L ,α n 这个 基下的坐标 , 并记作
( x1 , x2 ,L, xn )T . α=
例1 在线性空间 P[ x ]4中, p1 = 1, p 2 = x , p 3 = x 2 , p 4 = x 3 , p 5 = x 4 就是它的一个基 .
f 3 ( x ) = x 3 + 6 x − 5,
f4 ( x) = 2 x 3 − 5 x 2 + 7 x + 5
生成的子空间的基与维数.
思考题解答
解 令
k1 f 1 ( x) + k 2 f 2 ( x) + k 3 f 3 ( x) + k 4 f 4 ( x) = 0 则得
( k 1 + 2 k 2 + k 3 + 2 k 4 ) x 3 + ( −2 k 1 − 3 k 2 − 5 k 4 ) x 2 + (4 k 1 + 9 k 2 + 6 k 3 + 7 k 4 ) x + ( k 1 − k 2 − 5 k 3 + 5 k 4 ) = 0. 2 1 2 ⎞⎛ k 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 2 − 3 0 − 5 ⎟⎜ k 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ 因此 ⎜ ⎟⎜ k 3 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . 4 9 6 7 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 − 1 − 5 5 ⎟⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠⎝ k 4 ⎠ ⎝ ⎠
中的不同元素 .我们称这样的映射是 V n 与 R n 的一个 1 − 1对应的映射 .这个对应的重要性表现 在它与运 算的关系上 .
设
α = a1 α 1 + a 2 α 2 + L + a n α n β = b1 α 1 + b2 α 2 + L + bn α n 即向量 α , β ∈ V在基 α 1 ,α 2 ,L ,α n 下的坐标分别为
T
若取另一基 q1 = 1, q 2 = 1 + x , q 3 = 2 x 2 , q 4 = x 3 , q5 = x4 ,则 1 p = (a 0 − a 1 )q 1 + a 1 q 2 + a 2 q 3 + a 3 q 4 + a 4 q 5 2 因此 p 在这个基下的坐标为
1 ( a 0 − a 1, a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的．
( n − 1) T
三、线性空间的同构
设 α 1 ,α 2 ,L ,α n 是n维线性空间V n 的一组基 , 在 这组基下 ,V n 中的每个向量都有唯一 确定的坐标 . 而向量的坐标可以看作 R n 中的元素 ,因此向量与它 的坐标之间的对应就是 V n 到 R n 的一个映射 . 由于 R n 中的每个元素都有 V n 中的向量与之对 应,同时 V n 中不同的向量的坐标不 同,因而对应 R n
设该齐次线性方程组的 系数矩阵为 A, 则
⎛1 0 − 3 4 ⎞ ⎟ ⎜ 初等行变换 0 1 2 − 1⎟ ⎜ A ~ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 因此, f 1 ( x ), f 2 ( x )线性无关 , 是 f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x ),
T
例3
在线性空间P[ x]n −1中, 取一组基
2 n −1
ε 1 = 1, ε 2 = ( x − a), ε 3 = ( x − a) ,L , ε n = ( x − a)
则由泰勒公式知
f ' ' (a ) 2 f ( x ) = f (a ) + f ' (a )( x − a ) + ( x − a) 2! ( n − 1) (a ) f n −1 +L+ ( x − a) ( n − 1)! 因此 f ( x )在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 ,L , ε n 下的坐标是 (a ) f ''(a ) f ( f (a ), f '(a ), , L, ) . 2! ( n −1)!
( 2) V 中任一元素 α 总可由 α 1 , α 2 , L , α n 线性 表示 , 那末, α 1 ,α 2 ,L ,α n 就称为线性空间 V 的一个
基, n 称为线性空间 V 的维数.
维数为 n的线性空间称为 n 维线性空间 , 记作 Vn .
当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 V 是无限维的．
例如
Vn = { = x1α 1 + x2α 2 + L + xnα n x1 , x2 ,L, xn ∈ R} α