《数字信号处理》课程设计报告设计课题滤波器设计与实现专业班级电信1101班姓名学号 201105 报告日期2013年12月《数字信号处理》课程设计任务书题目滤波器设计与实现学生姓名甘源滢学号201105020103 专业班级电信1101班设计内容与要求一、设计内容：设计一个模拟低通巴特沃斯滤波器，技术指标：通带截止频率1000rad，通带最大衰减1dB；阻带起始频率5000rad，阻带最小衰减30dB，画出其幅度谱和相位谱。
二、设计要求1 设计报告一律按照规定的格式，使用A4纸，格式、封面统一给出模版。
2 报告内容（1）设计题目及要求（2）设计原理(包括工作原理、涉及到的matlab函数的说明)（3）设计内容（设计思路，设计流程、仿真结果）（4）设计总结（收获和体会）（5）参考文献（6）程序清单起止时间2013年12 月16日至2013年12月23 日指导教师签名2013年12月10日系（教研室）主任签名2013年12 月12 日学生签名2013年12月13日目录1课题描述 (1)1.1报告介绍 (1)2设计原理 (2)2.1巴特沃斯低通模拟滤波器的设计原理 (2)2.2低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下 (3)2.3函数说明 (3)2.3.1buttord函数 (3)2.3.2butter函数 (4)2.4模拟低通滤波器的性能指标 (4)3设计内容 (5)3.1MATLAB简介 (5)3.2巴特沃斯滤波器的设计步骤 (6)3.3对巴特沃斯低通模拟滤波器的仿真 (6)4实验结果分析 (7)5实验心得体会 (7)6程序清单 (8)7参考文献 (9)1.课题描述1.1报告介绍模拟滤波器的理论和设计方法已经发展的相当成熟，且有多种典型的滤波器供我们选择，如巴特沃斯(butterworth)滤波器,切比雪夫(chebyshev)滤波器，椭圆(ellipse)滤波器，贝塞尔(bessel)滤波器等。
这些滤波器都有着严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。
这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降到幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在带通或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重。
设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。
2.设计原理2.1巴特沃斯低通模拟滤波器的设计原理巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|^2用下式表示：|Ha(jΩ)|^2=1/(1+(Ω/Ωc)^2N)公式中，N称为滤波器的阶数。
在Ω=0时，|Ha(jΩ)|=1；Ω=Ωc时，|Ha(j Ω)|=1/√2，Ωc是3dB截止频率。
在Ω=Ωc附近，随Ω加大，复制迅速下降。
复制特性与Ω和N的关，N越大，通带越平坦，过渡带越窄，过渡带与阻带幅值下降的速度越快，总是频响特性与理想低通滤波器的误差越小。
以S代替jΩ,将幅度平方函数|Ha(jΩ)|^2写成s的函数：Ha(S)Ha(-S)=1/(1+(S/jΩ)^2N)复变量S=δ+jΩ,此公式表明幅度平方函数由2N各极点，极点Sk用下公式表示： Sk=(-1)^1/2N(jΩc)=Ωce^jπ(1/2+(2k+1)/2N)公式中K=0,1,2……,2N-1。
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上，间隔是Π/Nrad。
为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取S平面左半平面的N个极点构成Ha(S),而右半平面的N个极点构成Ha(-S)。
Ha(S)的表达式为Ha(S)=Ωc^N/Π(S-Sk)设N=3，极点由六个，它们分别是S0=Ωce^j2π/3 S1=-Ωc S2=Ωce^-j2π/3S3=Ωce^jπ/3 S4=Ωc S5=Ωce^-jπ/3取S平面的左半平面的极点S0,S1,S2组成系统函数Ha(S),即Ha（S)=Ωc^3/(S+Ωc)(S-Ωc^j2π/3)(S-Ωc^-j2π/3)由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特性不同，为使设计公式和图表统一将频率归一化。
巴特沃斯滤波器采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的系统函数为Ga(S/Ωc)=1/Σ(S/Ωc-Sk/Ωc)令ρ=η+jλ=s/Ωc,λ=Ω/Ωc,λ称为归一化频率，ρ称为归一化复变量，这样的巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为Ga(ρ)=1/Σ(ρ-ρk)公式中，ρk=sk/Ωc称为归一化极点，用下公式表示，ρk=e^jπ（1/2+(2k+1)/2N) k=0,1,…,N-1显然，sk=Ωcρk这样，只要根据技术指标求出阶数N,按照ρk=e^jπ（1/2+(2k+1)/2N)公式求出N个极点，再按Ga(ρ)=1/Σ(ρ-ρk)得到归一化低通原型系统函数Ga(ρ)，如果给定Ωc，再去归一化，即将ρ=S/Ωc，代入Ga(ρ)中，便可得到期望设计的系统函数Ha(S)。
2.2低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下（1）根据技术指标Ωρ，αρ，Ωs,αs,用λsp=Ωs/Ωρksp=√(10^αs/10-1)/(10^α/10-1) N=lgksp/lgλsp求出滤波器的阶数N。
（2）按照ρk=e^jπ（1/2+(2k+1)/2N) k=0,1,…,N-1公式求出归一化极点ρk，将ρk代入Ga(ρ)=1/Σ(ρ-ρk)，得到归一化低通原型系统函数GA(ρ)。
也可以根据阶数N直接查表得到ρk，Ga(ρ)。
（3）将Ga(ρ)去归一化。
将ρ=S/Ωc代入Ga(ρ)，得到实际的滤波器系统函数Ha（S)=G(ρ)|ρ=S/Ωc代入Ga(ρ)，得到实际的滤波器系统函数Ha （S)=G(ρ)|ρ=S/Ωc这里Ωc为3dB截止频率，如果技术指标没有给出Ωc，可以由Ωc=Ωρ（10^αs/10-1）^（-1/2N) Ωc=Ωs（10^αs/10-1）^（-1/2N)求出。
2.3函数说明1、buttord函数（1）[N,wc]=buttord(wp,ws,ap,as)用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc。
其中，调用参数wp,ws分别为数字滤波器的通带、阻带截止频率的归一化值，要求：0≤wp≤1, 0≤ws≤1（1表示数字频率pi）。
当ws≤wp时，为高通滤波器；当wp和ws为二元矢量时，为带通或带阻滤波器，这时wc也是二元向量。
ap,as分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（dB）。
N,wc为butter函数的调用参数。
(2)[N,Ωc]=buttord（Ωp,Ωs,ap,as,’s’）用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率Ωc。
其中，Ωp,Ωs，Ωc均为实际模拟角频率。
说明：buttord函数使用阻带指标计算3dB截止频率，这样阻带会刚好满足要求，而通带会有富余。
2、butter函数（1）[B,A]=butter（N,wc,’ftype’）计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量B、A。
其中，调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率的归一化值（关于π归一化），一般是调用buttord（1）格式计算N和wc。
系数B、A是按照z^(-1)的升幂排列。
（2）[B,A]=butter(N,Ωc,’ftype’,’s’)计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量ba、aa。
其中，调用参数N和wc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率（实际角频率），可调用butter（2）格式计算N和wc。
系数B、A是按s的正降幂排列。
ftype为滤波器的类型：1)ftype=high时，高通；Ωc只有1个值。
2)ftype=stop时，带阻；此时Ωc=[Ωc,Ωcu],分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率。
3)ftype=缺省时，若Ωc只有1个值，则默认为低通；若Ωc只有2个值，则默认为带通；其通带频率区间Ωc1<Ω<Ωcu。
所设计的带通和带阻滤波器系统函数是2N阶。
因为带通滤波器相当于N阶低通滤波器和N阶高通滤波器级联。
2.4模拟低通滤波器的性能指标模拟低通滤波器的设计指标有αp,Ωρ和αs,Ωs,其中Ωρ和Ωs分别称为通带边界频率和阻带截止频率。
Αp称为通带最大衰减，αs是阻带最小衰减，αp和αs一般用dB表示。
对于单调下降的幅度特性，可表示成：αp=10lg|Ha(j0)|^2/|Ha(jΩp)|^2αp=10lg|Ha(j0)|^2/|Ha(jΩs)|^2如果Ω=0处幅度已归一化，即|Ha(jΩ)|=1，αp和αs表示为αp=-10lg|Ha(jΩp)|^2αs=-10lg|Ha(jΩs)|^2滤波器的技术指标给定以后，需要设计一个传输函数Ha(S)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此|Ha(jΩ)|^2=Ha(α)Ha(-s)|s=jΩ=Ha(jΩ)Ha*(jΩ)如果能由αp，Ωp，αs,Ωs求出|Ha(jΩ)|^2，那么就可以求出所需的Ha(s)，对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数有自己的表达式，可以直接引用。
这里要说明的是Ha(s)必须是稳定的。
因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的Ha(-s)的极点落在右半平面。
这就是由Ha(s)Ha(-s)求所需要的Ha(s)的具体原则，及模拟低通滤波器的逼近方法。
因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。
3.设计内容3.1MATLAB简介MATlAB软件包括基本部分和专业扩展部分。
基本部分包括：矩阵的运算和各种变换、代数和超越方程的求解、数据处理和傅里叶变换、数值积分等。
专业扩展部分称为工具箱。
它实际上是用MATLAB的基本语句编成的各种子程序集，用于解决某一方面的专门问题，或实现某一类的新算法。
在MATLAB的发展史上，许多科学家、数学家、工程技术人员用它开发出了一些新的，有价值的应用程序，所有的程序完全不需要使用底层代码来编写。
通过这些工作，已经发展起来的工具箱有控制系统、信号处理、图像处理、系统辨识、模糊集合、神经元网络、小波分析等20余个。
如果用MATLAB来开发光学方面的应用程序，在不久的将来，也可能出现专门用来解决光学问题的工具箱。
3.2巴特沃斯滤波器的设计步骤（1）给定模拟滤波器的性能指标（2）确定滤波器阶数（3）设计模拟低通原型滤波器（4）按频率变换设计模拟滤波器3.3对巴特沃斯模拟低通滤波器的仿真技术指标：设计一个模拟低通巴特沃斯滤波器，技术指标：通带截止频率1000rad，通带最大衰减1dB；阻带起始频率5000rad，阻带最小衰减30dB，画出其幅度谱和相位谱。
设计程序如下：Wp=1000;Ws=5000;Rp=1;As=30;%设置滤波器参数[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,As,'s');%计算滤波器阶数N和3dB截止频率wc [B,A]=butter(N,Wc,'s');%求传递函数K=0:511;fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);subplot(2,1,1);plot(fk,20*log10(abs(Hk)));grid ontitle('巴特沃斯低通滤波器的幅频特性');xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度');axis([0,12000,-40,5])subplot(2,1,2);plot(wk,angle(Hk));grid ontitle('巴特沃斯低通滤波器的相频特性');xlabel('频率/Hz');ylabel('相位/rad')4.实验结果分析技术要求通带截止频率1000rad，通带最大衰减1dB；阻带起始频率5000rad，阻带最小衰减30dB，画出其幅度谱和相位谱。