§8.1 空间几何体的表面积与体积基础自测1.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=41A 1B 1，则多面体P-BCC 1B 1的体积为 2.已知正方体外接球的体积为332π,那么正方体的棱长等于3.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .4.三棱锥S-ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S-ABC 的表面积是 .例1 如图所示，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=a ，BC=b ，BB 1=c ，并且a >b >c >0.求沿着长方体的表面自A 到C 1 的最短线路的长.例2如图所示,半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC =30°)及其体积.例3 如图所示，长方体ABCD —''''D C B A 中，用截面截下一个棱锥C —''DD A ，求棱锥C —''DD A 的体积与剩余部分的体积之比.例4如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC 分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.1.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=2.P是BC1上一动点，则CP+P A1的最小值是 .2.如图所示，扇形的圆心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为3.如图，三棱锥A-BCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm，其余四条棱的棱长都是17cm，求三棱锥A-BCD的体积.4.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a, 侧棱长为2a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.1.如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是3.已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=2r，则球的体积与三棱锥体积之比是4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是5.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是37.已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为3，则该正四棱柱的体积等于 .8.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V= .3cm,9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是2（1）求三棱台的斜高；（2）求三棱台的侧面积和表面积.10.如图所示，正△ABC 的边长为4，D 、E 、F 分别为各边中点，M 、N 、P 分别为BE 、DE 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成了三棱锥以后. （1）∠MNP 等于多少度？（2）擦去线段EM 、EN 、EP 后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？.11.如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，BB 1=2，E 是棱CC 1上的点，且CE =41CC 1. （1）求三棱锥C —BED 的体积； （2）求证：A 1C ⊥平面BDE .12.三棱锥S —ABC 中，一条棱长为a ,其余棱长均为1，求a 为何值时V S —ABC 最大，并求最大值.参考答案§8.1 空间几何体的表面积与体积基础自测1.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=41A 1B 1，则多面体P -BCC 1B 1的体积为答案316 2.已知正方体外接球的体积为332π,那么正方体的棱长等于 答案334 3.（2008·福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 答案 9π4.三棱锥S —ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB =BC =CA =2，则三棱锥S —ABC 的表面积是 .答案 3+3例1 如图所示，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =a ，BC =b ，BB 1=c ，并且a ＞b ＞c ＞0.求沿着长方体的表面自A 到C 1 的最短线路的长.解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.三个图形甲、乙、丙中AC 1的长分别为： 22)(c b a ++=ab c b a 2222+++， 22)(c b a ++=bc c b a 2222+++， 22)(b c a ++=ac c b a 2222+++，∵a ＞b ＞c ＞0,∴ab ＞ac ＞bc ＞0. 故最短线路的长为bc c b a 2222+++. 例2如图所示,半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC =30°)及其体积. 解 如图所示,过C 作CO 1⊥AB 于O 1,在半圆中可得∠BCA =90°,∠BAC =30°,AB =2R , ∴AC =3R ,BC =R ,CO 1=23R , ∴S 球=4πR 2,侧圆锥1AO S =π×23R ×3R =23πR 2,侧圆锥1BO S =π×23R ×R =23πR 2, ∴S 几何体表=S 球+侧圆锥1AO S +侧圆锥1BO S=211πR 2+23πR 2=2311+πR 2, ∴旋转所得到的几何体的表面积为2311+πR 2. 又V 球=34πR 3,1AO V 圆锥=31·AO 1·πCO 12=π41R 2·AO 1 1BO V 圆锥=31BO 1·πCO 12=41BO 1·πR 2 ∴V 几何体=V 球-（1AO V 圆锥+1BO V 圆锥）=34πR 3-21πR 3=65πR 3. 例3 如图所示，长方体ABCD —''''D C B A 中，用截面截下一个棱锥C —''DD A ，求棱锥C —解 已知长方体可以看成直四棱柱''A ADD —''B BCC . 设它的底面''A ADD 面积为S ，高为h ，则它的体积为V =Sh . 而棱锥C —''DD A 的底面面积为21S ，高是h , 因此，棱锥C —''DD A 的体积V C —A ′DD ′=31×21Sh =61Sh . 余下的体积是Sh -61Sh =65Sh . 所以棱锥C —''DD A 的体积与剩余部分的体积之比为1∶5. 例4（12分）如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合，求形成的三棱锥的外接球的体积. 解 由已知条件知，平面图形中AE =EB =BC =CD =DA =DE =EC =1. ∴折叠后得到一个正四面体.2分方法一 作AF ⊥平面DEC ，垂足为F ，F 即为△DEC 的中心.取EC 的中点G ，连接DG 、AG ， 过球心O 作OH ⊥平面AEC . 则垂足H 为△AEC 的中心.4分∴外接球半径可利用△OHA ∽△GF A 求得. ∵AG =23，AF =2)33(1-=36，6分在△AFG 和△AHO 中，根据三角形相似可知，AH =33.∴OA =AF AH AG •=363323•=46.10分 ∴外接球体积为π34×OA 3=34·π·3466=π86.12分方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体 的外接球就是正方体的外接球.3分∵正四面体的棱长为1，∴正方体的棱长为22， ∴外接球直径2R =3·22，6分∴R =46，9分∴体积为π34·346⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=π86.∴该三棱锥外接球的体积为π86. 12分1.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB =90°，AC =6，BC =CC 1=2.P 是BC 1上一动点，则CP +P A 1的最小值是 . 答案 522.如图所示，扇形的圆心角为90°，其所在圆的半径为R ，弦AB 将扇形分成两个部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，所得旋转体的体积V 1和V 2之比为 答案 1∶13.如图所示，三棱锥A —BCD 一条侧棱AD =8 cm ，底面一边BC =18 cm ，其余四条棱的棱长都是17 cm ，求三棱锥A —BCD 的体积. 解 取BC 中点M ，连接AM 、DM ，取AD 的中点N ，连接MN ∵AC =AB =CD =BD ，∴BC ⊥AM ，BC ⊥DM ， 又∵AM ∩DM =M ，∴BC ⊥平面ADM ，BC =18， AC =AB =DB =DC =17.∴AM =DM =413，∴NM ⊥AD ，∴MN =83. ∴S △ADM =21·MN ·AD =21·83·8=323. ∴V A —BCD =V B —ADM +V C —ADM =31×S △ADM ×（BM +CM ）=31×323×18=1923（cm 3）. 4.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 中，底面边长为a ,侧棱长为2a . （1）求它的外接球的体积； （2）求它的内切球的表面积. 解（1）设外接球的半径为R ，球心为O ，则OA =OC =OS ，所以O 为△SAC 的外心，即△S AC 的外接圆半径就是球的半径. ∵AB =BC =a ，∴AC =2a .∵SA =SC =AC =2a ，∴△SAC 为正三角形. 由正弦定理得2R =a a ASC AC 36260sin 2sin ==∠ ，因此，R =36a ，V 球=34πR 3=2768πa 3. （2）设内切球半径为r ，作SE ⊥底面ABCD 于E ， 作SF ⊥BC 于F ，连接EF ，则有SF =22BF SB -=a a a 27)2()2(22=-.S △SBC =21BC ·SF =21a ×27a =47a 2.S 棱锥全=4S △SBC +S 底=（7+1）a 2. 又SE =22EF SF -=22)2()27(a a -=a 26， ∴V 棱锥=31S 底h =31a 2×26a =366a . ∴r =a a a S V 12642)17(663323-=+⨯=棱锥全棱锥,S 球=4πr 2=374-πa 2.一、选择题1.如图所示，E 、F 分别是边长为1的正方形ABCD 边BC 、CD 的中点， 沿线AF ，AE ，EF 折起来，则所围成的三棱锥的体积为 答案2412.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是 答案483.已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是答案 4π4.如图所示，三棱锥P —ABC 的高PO =8，AC =BC =3，∠ACB =30°，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM =x ，PN =2CM ，下面的四个图象中能表示三棱锥N —AMC 的体积V 与x （x ∈（0，3））的关系的是（ ）答案A5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 答案 24π6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积 是 答案43 二、填空题7.已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于 . 答案 28.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V = . 答案 1+62 三、解答题9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ,高是23cm , （1）求三棱台的斜高；（2）求三棱台的侧面积和表面积. 解 （1）设O 1、O 分别为正三棱台ABC —A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示， 则O 1O =23，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高； 显然，A 1，O 1，D 1三点共线，A ，O ，D 三点共线. 过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E =O 1O =23， 因O 1D 1=63×3=23,OD =63×6=3, 则DE =OD -O 1D 1=3-23=23. 在Rt △D 1DE 中, D 1D =221ED E D +=22)23()23(+=3.(2)设c 、c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高， S 侧=1（c +c ′）h ′=1 (3×3+3×6)×3=327(cm 2),S 表=S 侧+S 上+S 下=2327+43×32+43×62=4399 (cm 2). 故三棱台斜高为3 cm ,侧面积为2327 cm 2，表面积为4399 cm 2. 10.如图所示，正△ABC 的边长为4，D 、E 、F 分别为各边中点，M 、N 、P 分别为BE 、DE 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成了三棱锥以后.（1）∠MNP 等于多少度？（2）擦去线段EM 、EN 、EP 后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？解 （1）由题意，折成了三棱锥以后，如图所示，△MNP 为正三角形，故∠MNP =∠ADF =60°.（2）擦去线段EM 、EN 、EP 后，所得几何体为棱台，其侧面积为S 侧=S E —ADF 侧-S E —MNP 侧=3×43×22-3×43×12=439.11.如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，BB 1=2，E 是棱CC 1上的点，且CE =41CC 1.（1）求三棱锥C —BED 的体积；（2）求证：A 1C ⊥平面BDE .（1）解 ∵CE =41CC 1=21，∴V C —BDE =V E —BCD =31S △BCD ·CE =31×21×1×1×21=121.(2)证明 连接AC 、B 1C .∵AB =BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥底面ABCD ,∴BD ⊥A 1A .∵A 1A ∩AC =A ，∴BD ⊥平面A 1AC .∴BD ⊥A 1C .∵tan ∠BB 1C =B B BC1=21,tan ∠CBE =CB CE =21, ∴∠BB 1C =∠CBE . ∵∠BB 1C +∠BCB 1=90°, ∴∠CBE +∠BCB 1=90°,∴BE ⊥B 1C . ∵BE ⊥A 1B 1，A 1B 1∩B 1C =B 1， ∴BE ⊥平面A 1B 1C ， ∴BE ⊥A 1C . ∵BD ∩BE =B ，BE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ， ∴A 1C ⊥平面BDE .12.三棱锥S —ABC 中，一条棱长为a ,其余棱长均为1，求a 为何值时V S —ABC 最大，并求最大值. 解 方法一 如图所示，设SC =a ，其余棱长均为1，取AB 的中点H ，连接HS 、HC ，则AB ⊥HC ，AB ⊥HS ，∴AB ⊥平面SHC .在面SHC 中，过S 作SO ⊥HC ，则SO ⊥平面ABC .在△SAB 中，SA =AB =BS =1，∴SH =23，设∠SHO =θ，则SO =SHsin θ=23sin θ，∴V S —ABC =31S △ABC ·SO =31×43×12×23sin θ=81sin θ≤81.当且仅当sin θ=1，即θ=90°时，三棱锥的体积最大.a =2SH =2×23=26，V max =81.∴a 为26时，三棱锥的体积最大为81.方法二 取SC 的中点D ，可通过V S —ABC =31S △ABD ·SC ，转化为关于a 的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配方法解决.。