空间几何体的表面积与体积柱体、锥体、台体的表面积与体积[新知初探]1.柱体、锥体、台体的表面积公式2.柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高);锥体的体积公式V=13Sh(S为底面面积,h为高);台体的体积公式V=13(S′+S′S+S)h.[点睛](1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系:[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( ) 答案:(1)× (2)√2.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a 时,该三棱锥的表面积是( ) A.3+34a 2B.34a 2C.3+32a 2D.6+34a 2解析:选A ∵侧面都是等腰直角三角形,故侧棱长等于22a ,∴S 表=34a 2+3×12×⎝⎛⎭⎫22a 2=3+34a 2.3.若圆锥的底面半径为3,母线长为5,则圆锥的体积是________. 解析:由已知圆锥的高h =4, 所以V 圆锥=13π×32×4=12π.答案:12π柱、锥、台的表面积[典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.[解] 如图,设底面对角线AC =a ,BD =b ,交点为O ,对角线A 1C =15,B 1D =9, ∴a 2+52=152,b 2+52=92, ∴a 2=200,b 2=56.∵该直四棱柱的底面是菱形, ∴AB 2=⎝⎛⎭⎫AC 22+⎝⎛⎭⎫BD 22=a 2+b 24=200+564=64,∴AB =8. ∴直四棱柱的侧面积S =4×8×5=160.(1)求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成基本几何体,再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差,从而获得几何体的表面积,另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积.(2)结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点,解决此类问题的关键是正确地观察三视图,把它还原为直观图,特别要注意从三视图中得到几何体的相关量,再结合表面积公式求解.[活学活用]1.(陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4 D.3π+4解析:选D由几何体的三视图可知,该几何体为半圆柱,直观图如图所示.表面积为2×2+2×12×π×12+π×1×2=4+3π.2.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为() A.81π B.100πC.168π D.169π解析:选C先画轴截面,再利用上、下底面半径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r,下底面半径为R,则它的母线长为l=h2+(R-r)2=(4r)2+(3r)2=5r=10,所以r=2,R=8.故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π,S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.柱体、锥体、台体的体积[典例])A.2π+2 3 B.4π+2 3C .2π+233D .4π+233[解析] 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2,高为3,所以体积为13×(2)2×3=233,所以该几何体的体积为2π+233.[答案] C空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体,则可直接利用公式求解.(2)求以三视图为背景的几何体的体积.应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.[活学活用]1.已知某圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是________.解析:设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ,母线长为l ,高为h ,则S 上=πr 2=π,S 下=πR 2=4π,∴r =1,R =2,S 侧=π(r +R )l =6π,∴l =2,∴h =3,∴V =13π(12+22+1×2)×3=733π.答案:733π 2.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于________. 解析:根据三视图,可知题中的几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥得到的,体积V =12×3×4×5-13×12×4×3×3=24.答案:24几何体体积的求法1.如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 为线段B 1C 上的一点,则三棱锥A -DED 1的体积为________.解析:V 三棱锥A -DED 1=V 三棱锥E -DD 1A =13×12×1×1×1=16.答案:162.如图所示,三棱锥的顶点为P ,PA ,PB ,PC 为三条侧棱,且PA ,PB ,PC 两两互相垂直,又PA =2,PB =3,PC =4,求三棱锥P -ABC 的体积V .解:三棱锥的体积V =13Sh ,其中S 为底面积,h 为高,而三棱锥的任意一个面都可以作为底面,所以此题可把B 看作顶点,△PAC 作为底面求解.故V =13S △PAC ·PB =13×12×2×4×3=4.题点二:分割法3.如图,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为4的正方形,EF ∥AB ,EF =2,EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3,求该多面体的体积.解:如图,连接EB ,EC .四棱锥E -ABCD 的体积 V 四棱锥E -ABCD =13×42×3=16. ∵AB =2EF ,EF ∥AB , ∴S △EAB =2S △BEF .∴V 三棱锥F -EBC =V 三棱锥C -EFB =12V 三棱锥C -ABE =12V 三棱锥E -ABC =12×12V 四棱锥E -ABCD =4. ∴多面体的体积V =V 四棱锥E -ABCD +V 三棱锥F -EBC =16+4=20. 题点三:补形法4.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.解:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.5.已知四面体ABCD 中,AB =CD =13,BC =AD =25,BD =AC =5,求四面体ABCD 的体积.解:以四面体的各棱为对角线还原为长方体,如图. 设长方体的长、宽、高分别为x ,y ,z , 则{x 2+y 2=13,y 2+z 2=20,x 2+z 2=25,∴{ x =3,y =2,z =4.∵V D -ABE =13DE ·S △ABE =16V 长方体, 同理,V C -ABF =V D -ACG =V D -BCH =16V 长方体, ∴V 四面体ABCD =V 长方体-4×16V 长方体=13V 长方体.而V 长方体=2×3×4=24,∴V 四面体ABCD =8.(1)三棱锥又称为四面体,它的每一个面都可当作底面来处理,这一方法叫作体积转移法(或称等积法).(2)当所给几何体形状不规则时,无法直接利用体积公式求解,这时可通过分割或补形,将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体,从而求出原几何体的体积.层级一 学业水平达标1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为( ) A .22 B .20 C .10D .11解析:选A 所求长方体的表面积S =2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22. 2.若某圆锥的高等于其底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( ) A .1∶2 B .1∶ 3 C .1∶ 5D.3∶2解析:选C 设圆锥底面半径为r ,则高h =2r ,∴其母线长l =5r .∴S 侧=πrl =5πr 2,S 底=πr 2,S 底∶S 侧=1∶ 5.3.如图是一个几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是( )A.433πB.36πC.12π D.33π 解析:选B 由三视图,可知给定的几何体是一个圆锥的一半,故所求的体积为12×13×π×12×3=36π. 4.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为( )A .7B .6C .5D .3解析:选A 设圆台较小底面的半径为r ,则另一底面的半径为3r .由S 侧=3π(r +3r )=84π,解得r =7.5.如图,ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱,则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析:选C ∵V C -A ′B ′C ′=13V ABC -A ′B ′C ′=13,∴V C -AA ′B ′B =1-13=23. 6.棱长都是3的三棱锥的表面积S 为________.解析:因为三棱锥的四个面是全等的正三角形,所以S =4×34×32=9 3. 答案:9 37.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是________. 解析:易知圆锥的母线长l =2,设圆锥的底面半径为r ,则2πr =12×2π×2,∴r =1,∴圆锥的高h =l 2-r 2=3,则圆锥的体积V =13πr 2h =33π.答案:33π 8.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3 3,则a =________.解析:由三视图,可知几何体为一个放倒的直三棱柱,则该几何体的体积V =3×⎝⎛⎭⎫12×2×a =3 3,所以a = 3.答案: 39.如图,在四边形ABCD 中,∠DAB =90°,∠ADC =135°,AB =5,CD =22,AD =2,若四边形ABCD 绕AD 旋转一周成为几何体.(1)画出该几何体的三视图; (2)求出该几何体的表面积. 解:(1)如图所示.(2)过C 作CE 垂直AD 延长线于E 点, 作CF 垂直AB 于F 点. 由已知得:DE =2,CE =2, ∴CF =4,BF =5-2=3. ∴BC =CF 2+BF 2=5. ∴下底圆面积S 1=25π,台体侧面积S 2=π×(2+5)×5=35π, 锥体侧面积S 3=π×2×22=42π, 故表面积S =S 1+S 2+S 3=(60+42)π.10.如图,已知正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO =3,求此正三棱锥的表面积.解:如图,设正三棱锥的底面边长为a ,斜高为h ′,过点O 作OE ⊥AB ,与AB 交于点E ,连接SE ,则SE ⊥AB ,SE =h ′.∵S 侧=2S 底, ∴12·3a ·h ′=34a 2×2. ∴a =3h ′.∵SO ⊥OE ,∴SO 2+OE 2=SE 2. ∴32+⎝⎛⎭⎫36×3h ′2=h ′2.∴h ′=23,∴a =3h ′=6. ∴S 底=34a 2=34×62=93,S 侧=2S 底=18 3. ∴S 表=S 侧+S 底=183+93=27 3.层级二 应试能力达标1.正方体的表面积为96,则正方体的体积为( )A .486B .64C .16D .96解析:选B 设正方体的棱长为a ,则6a 2=96,∴a =4,故V =a 3=43=64. 2.已知高为3的棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形,如图,则三棱锥B -AB 1C 的体积为( )A.14B.12C.36D.34解析:选D VB -AB 1C =VB 1-ABC =13S △ABC ×h =13×34×3=34.3.圆柱的一个底面积是S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( ) A .4πS B .2πS C .πSD.233πS解析:选A 底面半径是Sπ,所以正方形的边长是2πSπ=2πS ,故圆柱的侧面积是(2πS )2=4πS .4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.533B.433C.536D. 3 解析:选A 由三视图可知,该几何体是正三棱柱的一部分,如图所示,其中底面三角形的边长为2,故所求的体积为34×22×2-13×34×22×1=533. 5.已知一个长方体的三个面的面积分别是2,3,6,则这个长方体的体积为________.解析:设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ,b ,c ,则{ ab =2,ac =3,bc =6,三式相乘得(abc )2=6,故长方体的体积V =abc = 6.答案: 66.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是________.解析:如图①为棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如图②所示,由图知正方形的边长为22,其面积为8.答案:87.如图所示,已知某几何体的三视图如下(单位:cm).(1)画出这个几何体(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.解:(1)这个几何体如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体.由PA1=PD1=2,A1D1=AD=2,可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×2+2×12×(2)2=(22+42)cm2,所求几何体的体积V=23+12×(2)2×2=10(cm3).8.一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积.(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出侧面积的最大值.解:(1)圆锥的母线长为62+22=210(cm),∴圆锥的侧面积S1=π×2×210=410 π(cm2).(2)画出圆锥的轴截面如图所示:设圆柱的底面半径为r cm,由题意,知r2=6-x 6,∴r=6-x3,∴圆柱的侧面积S2=2πrx=2π3(-x2+6x)=-2π3[(x-3)2-9],∴当x=3时,圆柱的侧面积取得最大值,且最大值为6π cm2.。