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襄阳四中、五中自主招生考试
数学模拟试题二
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．若0>b +a ，且0<b ，则b,-a,-b a,的大小关系为(▲)
A.a <b <-b <a -
B.a <-b <b <a -
C. b <a <-b <a -
D. -a <-b <b <a
2．由5个小立方体搭成如图所示的几何体，从左面看到的平面图形是(▲)
A.
B. C.
D.
3．若关于x 的方程2
20x -=有实数根，则k 的取值范围是(▲) A. 8k ≥- B. 8k ≤- C. 0k ≤ D. 0k ≥
4．若不等式组
恰有两个整数解，则 的取值范围是(▲)
A. B. C. D. 5、在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且
sinA=
1
2
，AC=40，则△ABC 的面积是(▲)
A. 800
C. 400
6．学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是(▲)
A.
19 B. 16 C. 13 D. 12
7．将抛物线21y x 2x 3=--先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线2
2y ax bx c
=++
重合，现有一直线3y 2x 3=+与抛物线2
2y ax bx c =++相交，当23y y ≤时，利用图象写出此时x 的
取值范围是(▲)
A. x 1≤-
B. x 3≥
C. 1x 3-≤≤
D. x 0≥
8．以下说法：①关于x 的方程
的解是x =c （c ≠0）；
②方程组
正整数的解有2组；
③已知关于x ，y 的方程组
，其中﹣3≤a ≤1，当a =1时，方程组的解也是方程x +y =4﹣a 的解；其中正确的有(▲)
A. ②③
B. ①②
C. ①③
D. ①②③ 9．一同学在n 天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午；（2）当下午下雨时，上午是晴天；（3）一共有5个下午是晴天；
（4）一共有6个上午是晴天。

则n 最小为(▲)
A.7
B.9
C.10
D.11 10．如右图，弹性小球从点P （0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到长方形的边时的点为P 1，第2次碰到长方形的边时的点为P 2，…，第n 次碰到长方形的边时的点为P n ，则点P 2 018的坐标是(▲)
A. （7，4）
B. （3，0）
C. （1，4）
D. （8，3）
二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)把答案填在答题卡的相应位置上．
11．若
6
2
x -为自然数，则满足条件的x 值有 ▲ 个. 12．计算： (16x 2y 3z+8x 3y 2z)÷8x 2y 2= ▲ ． 13．观察下列各式，探索发现规律：
22－1＝3＝1×3；42－1＝15＝3×5；62－1＝35＝5×7；82－1＝63＝7×9；102－1＝99＝9×11；……用含n 的式子表示第n 个式子为 ▲
． 14
的解是 ▲ ．
15．如右上图，∆ABD 是边长为3的等边三角形，E ，F 分别是边AD ，AB 上的动点，若
∠ADC=∠ABC=90°，则∆ CEF 周长的最小值为 ▲ ．
16．如右图，∠AOB =45°，点M 、N 在边OA 上，OM =x ，ON =x +4，点P 是边OB 上的点．若
使点P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是 ▲ ．
三、解答题(本大题共8个小题，共70分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并 且写在答题卡上每题对应的答题区域内．
17.（本小题满分6分）已知实数a ，b ，定义“★”运算规则如下：
a ★
b ＝()
)b a b a
b ≤>
★
的值．
18.（本小题满分6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm /s 的速度移动，设运动的时间为t s .
（1）求BC 边的长；
（2）当△ABP
为直角三角形时，求
t
的值．
2
19.（本小题满分6分）阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22 015+22 016的值.
解:设S=1+2+22+23+24+…+22 015+22 016,①
将等式两边同时乘2,得2S=2+22+23+24+25+…+22 016+22 017,② ②-①,得2S-S=22 017-1,即S=22 017-1,
所以1+2+22+23+24+…+22 015+22 016=22 017-1. 请你仿照此法计算:
（1）1+2+22+23+24+…+29+210;
（2）1+3+32+33+34+…+3n-1+3n (其中n 为正整数). 20.（本小题满分10分）如图，反比例函数k y x =
的图象与一次函数14
y x =的图象交于点A ，B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函
数图象上的动点，且在直线AB 的上方． （1）求k 的值；
（2）设直线P A ，PB 与x 轴分别交于点M ，N ，请判断△PMN 形状；
（3）设点Q 是反比例函数图象上位于P ，B 之间的动点（与点P ，B 不重合），连接AQ ，BQ ，比较
QC 和QD 长度的大小，并说明理由．
21.（本小题满分10分）甲、乙两工程队承包一项工程，如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则恰好如期完成.
（1）问原来规定修好这条公路需多少长时间？
（2）现要求甲、乙两个工程队都参加这项工程，但由于受到施工场地条件限制,甲、乙两工程队不能同
时施工.已知甲工程队每月的施工费用为4万元，乙工程队每月的施工费用为2万元.为了结算方便，要求：甲、乙的施工时间为整数个月，不超过15个月完成.当施工费用最低时，甲、乙各施工了多少个月？
22.（本小题满分10分）一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，
这样的式子就叫做对称式．例如：a b c ++，abc ，22
a b +，
含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是a b +和ab ，像22
a b +，()()22a b ++等对称式都可
以用a b +和ab 表示，例如：()2
222a b a b ab +=+-． 请根据以上材料解决下列问题： 已知()()2
x a x b x mx n ++=++．
（1
）若m =-
n =
b a
a b +的值． （2）若4n =-，直接写出对称式442211
a b a b
+++的最小值．
23.（本小题10分）已知等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A 重合，将此三角板绕A
点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于点M 、N ．
（1）如图①，当M 、N 分别在边BC ，CD 上时，作AE 垂直于AN ，交CB 的延长线于点E ，求证：△ABE ≌△ADN ；
（2）如图②，当M 、N 分别在边CB ，DC 的延长线上时，判断MN+BM 与DN 长度的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图③，当M 、N 分别在边CB ，DC 的延长线上时，作直线BD 交直线AM 、AN 于P 、Q 两点，若MN=10，CM=8，求AP 的长．
24.（本题满分12分）如下图，在平面直角坐标系中，顶点为（2，﹣1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为（0，3），连接AB ．（1）求此抛物线的解析式； （2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物
线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，△PAC
的面积最大？并求出此时P 点的坐标和△PAC 的最大面积．。