y b6 b7 b8 b9 b5 o b1 x b4 b3 b2
第 16 题图
b2018
.
[参考公式：1 2 3 ……+n = 1 n(n 1) ] 2
三、解答题（共 70 分）
17．（6 分）已知： a 1 4,求a 1 的值 .
a
a
18．（6 分）为绿化环境，现引进一批同类的树，三年后，这些树的树干的周长情况如图所示.
粒豆子落在阴影部分.（ 3.1416）
s p( p a)( p b)( p c) …………………………………②
(1) 已知 a=8,b=10,c=12,利用上面公式,求△ABC 的面积； (2) 请你由公式①推出公式②.
24．（12 分）抛物线 y ax2 bx c(a 0) 的顶点为 C（1，4），与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 D，
(1）这批树共有________棵； (2)这批树干周长的中位数在第________组(从左到右)； (3)从这批数据中任取一个,落在 50~60 这一组的概率为_______. (4)求这批树干周长的平均数.
频数(棵数) 14 12 10 8
6
4
2
0
40 50 60 70 80 90 周长(cm)
其中真命题的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.函数 y x2 1 x 2 ( 3 x 0 )的最小值和最大值为（ ）
A.3,9
B.1，9
C. 3 ,9 4
D.3，10
二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案转填到答题卡相应的位置上.
5.如图，正方形 ABCD 对角线交于一点 O，又 O 是正方形 A1B1C1O 的一个顶点，而
22．（10 分）新华商场经市场调查得知，某商品的月销售量 y（单位：吨）与销售价格 x（单位：万元/吨）
的关系可用如图的折线 ABC 表示.
（1）求出 y 与 x 的关系式；
y
（2）若该商品的进价为，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润
DAB 600 ，则 EF
.
A. 5
B. 2 13
C. 2 5
D. 2 6
7.下列五个图象中，能表示 y 是 x 的函数的图象的个数是（ ）
y
y
y
y
y
15.二次函数 y x2 2x m 与 x 轴有两个不同的交点 A, B ，现有下列四个命题：① m 的取值范围是 m 1； ② A, B 的距离 AB 2 1 m ；③若 m 15 ，当 y 0 时， x 的取值范围是 x 3 或 x 5 ；④点
D. 24,11
o
4 ao 24 ao 24 a o 24 a
A
B
C
D
9.有下列四个命题：
①若 x2 4 ，则 x 2 ；②若 2 4 ， 则 x 1 ； ③命题“若 am2 bm2 ，则 a b ”的逆
2x 1 4x2 1
2
命题；④若一元二次方程 ax2 bx c 0 的两根是 1 和 2，则方程 cx2 bx a 0 的两根是 1和 1 . 2
其中 B（3，0）. （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，过点 A 的直线与抛物线交于 E，交 y 轴于 F，其中 E 的的横坐标为 2，直线 PQ 为抛物线的对 称轴，点 G 是 PQ 上一动点，在 x 轴上是否存在一点 H，使 D、G、H、F 四点围成的四边形周长最小？若 存在，求出这个最小值及点 G、H 的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图 2，抛物线上是否存在一点 T，过 T 作 x 轴垂线，垂足为 M，过 M 作直线 MN∥BD 交线段 AD 于 N，连接 MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，说明理由.
2018 年襄阳四中、襄阳五中自主招生考试
数学试题
考试时间：120 分钟
试卷满分：150
8.如图，直线 x a 从左往右运动，将△ABC 分成左右两部分，左边阴影部分面积为 s ， 则 s 关于 a 的函数的图象是（ ）
s
s
s
s
4
4
4
4
2
2
2
y B(2,2)
A
C x=a 4
x
第 8 题图
一、选择题：共 10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中有且只有一个符合题目要求.
19．（8 分）如图，E 在矩形 ABCD 的边 CD 上，沿 AE 将△ADE 折叠使 D 落在边 BC 上的 F 点.已知 AE= 5 5 ，
tan EFC 3 . 4
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）求 AB 和 BC 的长.
A
D
E
B
F
C
20．（8 分）如图，已知正方形的边长为 a，以各边为直径在正方形内画半圆. （1）求阴影部分面积； （2）现将 1000 粒豆子（大小忽略不计）均匀撒在此正方形内，问大约有多少
w（单位：万元）有最大值？并求出最大值.
6
A B
1
C
O
57
x 12
23．（10 分）若△ABC 的三边长分别为 a，b，c，记 p= a b c ，我国南宋时期著名数学家秦九韶推出三 2
角形面积公式为
s=
1 4
a2b2
a2
b2 2
c2
2
……………………………….①
古希腊数学家海伦推出三角形面积公式为
C. 第三象限 D. 第四象限
3.根据如右三视图，计算出该几何体的表面积是（ ）
A. 36
B. 34
C. 30
D. 40
第 3 题图
4.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
问鸡兔几何．鸡，兔的只数分别是（ ）
A. 21,14
B. 22,13
C. 23,12
1. 下列运算结果中正确的是（ ）
A． (2x)3 ( 1 x2 )2 1 x7
4
2
B. x3 1 (x 1)(x2 x 1)
4
C. a2 2a 1 a 1
D. 27x3 的立方根是 3x
6
2.直线 y a2x m2 1（其中 a, m 是常数）一定不经过的象限是 （ ）
4
A．第一象限 B．第二象限
o
xo
x
o
x
o
x
①
②
A. 1
B. 2
③ 第 7 题图
C. 3
④
D. 4
o
x
⑤
C(2, 5 m)(m 5) ，则△ABC 的面积有最大值 3.
其中正确命题的序号是
.
16.如 图，在 直角坐 标系中 的整点 （横纵坐 标均为 整数） 处： b1(1, 0),b2 (1, 1) ，
b3(0, 1),b4 (1, 1) ， b5(1, 0),b6(1,1),b7 (0,1),b8(1,1),b9(2,1) „ „ 以 此 类 推 ，
21．（10 分）已知：⊙O 的半径为 10，圆内一定点 M，OM=6，过 M 作相互垂直的弦 AC 与 BD，O 到 AC、
BD 的距离分别为 d1，d2,求四边形 ABCD 面积的最大值.
A
B
M
D
y
P
D
E
F
G
y
D
T
N
O C
A OH
Bx
Q 图1
A
O
M
Bx
图2
A1
且两个正方形的边长相等都为 a ，正方形 A1B1C1O 绕点 O 在转动，则两正方形重叠
部分的面积为（ ）
B1
A. 不确定
B. 1 a2 8
C. 1 a2 4
D. 1 a2 6
A
D
E
O
BF
C
C1 第 5 题图
6.在直角坐标系中，一束光线经过点 A(3, 2) ，先后经过 x 轴， y 轴反射后再经过点 B(1, 4) ，则光线从 A 到
B 经过的路线长为（ ）
11.函数 y x 2 x0 2 x 中自变量 x 的取值范围是
.
x 1
12. (4)2 3 27 4 2 3 4 2 3 =
.
13.方程 x2 x 1 0 较大的根为 a ， a 的小数部分为 b ，则 a2 b2 ab
.
14.⊙O 内接梯形 ABCD， AB 过点 O ， AB ∥ CD ， AC 交 BD 于 E ， OD 交 AC 于 F ， AB 10 ，