(3)平分弦所对的 一条弧的直径,垂直平 分弦,并且平分弦所对 的另一条弧。
讨论
（1）过圆心（2）垂直于 弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分 弦所对的劣弧
C
A M└
B
●O
D
（1） （3）
（2） （4）
（2） （4） （1） （5） （4）
（2） （1） （3） （5） （5）
（2） （3） （4）
B
结论：
②MN⊥AB ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN
垂径定理的推论
如图: AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM 连接OA,OB,则OA=OB.
在△OAM和△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM
∴△OAM≌△OBM.
C
∴∠AMO= ∠ BMO.
A M└ ●O
D
B ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称,
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来 说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化 为解直角三角形的问题 。
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
二、填空：
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。
O AE B
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
O AE B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 2 3cm。
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒
⌒⌒
∴A⌒C =AB⌒CC和, AB⌒DC重=B⌒合D,. AD和BD重合.
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论1.
(1)平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦，并且平分
M
弦所对的两条弧。
A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分，C 但是它们不一定互相 垂直。因此这里的弦 如果是直径，结论就 不一定成立。
上述五个条件中的任何两个条件都可以 推出其他三个结论
一、判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦
C
A M└
B
●O
④平分弦的直径垂直于这条弦
D
⑤弦的垂直平分线这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
22
·
在Rt △ AOE 中
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2：已知：如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点。
求证：AC＝BD。
O.
A
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
结论
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和 一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
⑤
⌒
AN=
⌒
NB
想一想 P90
6
垂径定理三种语言
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
C
A
M└
●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
以下三个图,是否有 AE=BE
⌒⌒ , AC=BC
⌒⌒ , AD=BD
?
C
C
CB
AE
D O
B N
M
O
A
探索二：
② MN⊥AB ③ AC=BC
C B
N
①直线MN过圆心O ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN
推论:
(2)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦 所对的两条弧;
M
O
C
A
探索三：
N
①直线MN过圆心O ⑤弧AN=弧BN
B
② MN⊥AB ③ AC=BC ④弧AM=弧BM
推论1:
可以发现：圆是轴对称图形，任意一条直径所 在直线都是它的对称轴．
看一看
C
.O
A E B D
AE≠BE
C
.O
A
E
B
D
AE＝BE
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
线段： AE=BE
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
O
O
O
E
E
A
BA
B
D
D
D
直径垂直弦 才能平分弦,平分弦所对的弧.
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
B
C
练习
如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 A
O到AB的距离为3厘米，
求⊙O的半径。
E
B
.
O
解：连结OA. 过O作OE⊥AB，垂足为E，
B
O.
求证：EC＝DF
A
EC
DF
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些 油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
解：
(1)
OB 650 (mm)
(2)
2
O
EB 600 (mm) 2
B
E
A
E A
B OE OB2 EB2
O
OE=125(mm)
D
D
油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一张圆形纸片沿着它的任意一条直径 对折，重复几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × ) （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..(√ ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × ) （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
则OE＝3厘米，AE＝BE。
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在Rt △AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米
解决求赵州桥拱半径的问题
⌒ 如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，» AB 设 Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
相交于点D，根据前面的结论，D 的中点，CD 就是拱高．
挑战自我 填一填
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（7）平分弦的直线，必定过圆心。

（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。

A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
挑战自我 填一填
（2） （3）
（1（）2） （3（）5） （5）
（1）（3） （3）（4） （4）
（1） （2）（3） （5）（5）
（1） （4）
（2） （5）
（4）
每条推论如何用语言表示？
（1） （4） （5） （1） （2） （3）
C
想一想P91
9
A
B
M└
垂径定理及逆定理 ●O
条件 ①② ①③
结论
命题
D ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M ∴A⌒C＝B⌒D
M D B
.O
N
夹在两条平行弦间的弧相等.
小结:
A
.
O
C
B
A
O.
E AC
DB