2020年考研高数知识点：极限中的“极限”
说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，能够出选择题也能够出填
空题，更能够出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极
限的形式给出的。

第一，极限的定义。

理解数列极限和函数极限的定义，记住其定义。

第二，极限的性质。

性，有界性，保号性和保不等式性要理解，
重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的
本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在
做题目的时候能够看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目
中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，能够根据这个
数值大于零或小于零，像这样的情况，就能够写出这个点的导数定义，利用极限的保号性，得出相对应的结论，切记要根据题目要求来判断
是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。

第三，极限的计算。

这个部分是重中之重，这也是三大计算中的
第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会
计算不同类型的极限计算。

首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹
逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定
义求极限。

其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如：
四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷
形式的，分别抓分子和分母的次计算结果即可)，等价无穷小替换中要
掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换
公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第
二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替
换，并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零，满足则
能够利用推广后的等价无穷替换公式，否则不能。

下面给出推广后公式：f(x)→0,f(x)～sinf(x)～arcsinf(x)～
tanf(x)～arctanf(x)～expf(x)-1～ln(f(x)+1),1-cosf(x)～
0.5(f(x))2,(1+f(x))a～af(x)。

第三要能将变形的无穷小替换公式转化为标准形式，比如：公式
中固定出现的“1”和f(x)为无穷小量。

希望同学们在做题目的时候多加注意，熟能生巧。

极限的第三种方法就是洛必达法则。

首先，要想在极限中使用洛
必达法则就必须要满足洛必达法则，说到这里有很多同学会打个问号，什么法则，不就是上下同时求导?其实不尽然。

洛必达有两种，无穷比无穷，零比零，分趋近一点和趋近于无穷
两种情况，以趋近于一点来说明法则条件，
条件一：零比零或者无穷比无穷(0/0，∞/∞);条件二：趋近于这
个点的去心领域内可导，且分母导数不为零;条件三：分子导数比分母
导数的极限存有或者为无穷，则原极限等于导数比的极限。

在这里要注意极限计算中使用洛必达法则必须同时满足这三个条件，缺一不可，特别要注意条件三，导数比的极限一定是存有或者为
无穷，不能把无穷认为是极限不存有，因为极限不存有还包括极限不
存有也不为无穷这种情况，比如：x趋近于零，sin(1/x)的极限不存有也不为无穷。

每次使用都必须验证三条件是否同时满足。

再来看看重要极限，重要极限有两个，一个是x趋近于零时，
sinx/x趋近于零，另一个是x趋近于零时，(1+x)1/x趋近于e，或者
写成x趋近于无穷，(1+1/x)x趋近于e(1∞形式)，总结起来就是(1+
无穷小量)无穷小量的倒数，所以要记住重要极限的特点，并能够将其
推广，即把x换成f(x)，在f(x)趋近零，sinf(x)/f(x)趋近于零，
(1+f(x))1/f(x)趋近于e，或f(x)趋近无穷，(1+1/f(x))f(x)趋近于e，
还要注意当给你幂指函数的极限计算，先要判断他是不是1∞形式，如果是，就能够考虑利用重要极限解决，凑出相对应的形式就能够得出结论。

这里还要特别的提一下几个未定式(∞-∞，0·∞，1∞，00，
∞∞)，这五个未定式需要转化为0/0或∞/∞,其中∞-∞能够通过通分、提取或者代换将其转化，0·∞能够将0或者∞放在分母上，以实现转化，1∞，00，∞∞利用对数恒等变化来实现转化，其中1∞还能够利用重要极限计算。

综上所述，等价无穷小替换和重要极限要掌握基本公式和推广，能够将任意变形公式转化为标准形式，并且给定一个极限首要任务就是利用等价无穷替换公式化简。

洛必达法则处理七种未定式，灵活地将不同形式的极限转化为0/0或∞/∞，计算时注意满足洛必达法则的三个条件，希望同学们能够掌握基础，灵活地解决不同类型的极限。