4-8 一个半径为r ＝1m ，转速为1500r/min 的飞轮，受到制动，均匀减速，经时间t ＝50s 后静止，求：（1）飞轮的角加速度和飞轮的角速度随时间的关系；（2）飞轮到静止这段时间内转过的转数；（3）t ＝25s 时飞轮边缘上一点的线速率和加速度的大小。

解 （1）由于均匀减速，所以角加速度不变为2015000.5/6050rr s s sβ-==-⨯由角速度和角加速度的关系得25/0tr sd dt ωωβ=⎰⎰得 250.5(/)t r s ω=- （2） d d d d dt dt d d ωωθωωβθθ===25/r sd d θβθωω=⎰⎰解得 625r θ= 所以转数为625（3）由于250.5(/)t r s ω=-所以t=25s 时 12.5/25(/)r s rad s ωπ== 所以线速率为 25(/)v r m s ωπ== 角加速度大小不变4-9 某电机的转速随时间的关系为ω＝ω0（1－e-t/τ），式中，ω0＝s ，τ＝，求：（1）t ＝时的转速；（2）角加速度随时间变化的规律；（3）启动6s 后转过的圈数。

解 （1）t=60s 代入得39(1)(/)8.6/e rad s rad s ω-=-=（2）由d dtωβ=得 24.5t e β-=（3）由6d dt θθω=⎰⎰33618e θ-=+ [/2][5.87]5n θπ===4-10 一个圆盘绕穿过质心的轴转动，其角坐标随时间的关系为θ（t ）＝γt+βt 3，其初始转速为零，求其转速随时间变化的规律。

解 由d dtθω=得 23t ωγβ=+由于初始时刻转速为零，γ=023t ωβ=4-11 求半径为R ，高为h ，质量为m 的圆柱体绕其对称轴转动时的转动惯量。

解 建立柱坐标，取圆柱体上的一个体元，其对转轴的转动惯量为2222m mdJ dV d d dz R h R hρρρρθππ== 积分求得232200012R h m J d d dz mR R h πρρθπ==⎰⎰⎰ 4-12一个半径为R ，密度为ρ的薄板圆盘上开了一个半径为R/2的圆孔，圆孔与盘边缘相切。

求该圆盘对通过圆盘中心而与圆盘垂直的轴的转动惯量。

解：把圆孔补上，取圆盘上一面元dS ，到转轴的距离为r ，则其转动惯量为22dJ r dS r rdrd ρρθ==积分得绕轴转动惯量为2341012RJ r drd R πρθπρ==⎰⎰圆孔部分的绕轴转动惯量可由平行轴定理得4422213()()()222232R R R R J πρπρρπ=+=总的转动惯量为4121332R J J J πρ=-=4-13电风扇在开启电源后，经过t 1时间达到额定转速ω，当关闭电源后，经过t 2时间后停止转动，已知风扇转子的转动惯量为J ，并假定摩擦力矩和电动机的电磁力矩均为常量，求电动机的电磁力矩。

解：由转动定理得1e f M M J J t ωβ-==20f M J Jt ωβ--== 解得，电磁力矩为12()e M J t t ωω=+4-14质量为m A 的物体A 静止在光滑水平面上，它和一质量不计的绳子相连接，此绳跨过一半径为R ，质量为m 的圆柱形滑轮C ，并系在另一个质量为m B 的物体上，B 竖直悬挂，圆柱形滑轮可绕其几何中心转动。

当滑轮转动时，它与绳子间没有相对滑动，且滑轮和轴承间的摩擦了可忽略，求（1）这两个物体的加速度为多少水平和竖直两段绳子的张力各为多少（2）物体B 从静止下落距离为y 时，其速率为多少 解：设水平方向物体受到的拉力大小为F A ,竖直方向 物体受到的拉力为F B 。

两个物体的加速度大小相等对物体A 受力分析，在水平方向由牛顿第二定律得A A F m a =对物体B 受力分析，由牛顿第二定律得B B B m g F m a -=对圆柱滑轮，其绕轴转动惯量为212J mR =有转动定律得B A F R F R J β-=由于绳子和滑轮没有相对滑到，所以有a R β=联立以上各式求得两物体的线加速度12B A B m g a m m m=++水平绳子的张力12A B A A B m m g F m m m=++竖直绳子的张力1()212A B B A B m m m gF m m m+=++ 由于物体B 静止下落，所以其下落距离和速率的关系为v =4-15 一半径为R ，质量为m 的均质圆盘，一角速度ω绕其中心轴转动，现将其放在水平板上，盘与板表面的摩擦因数为μ求（1）圆盘所受到的摩擦力矩。

（2）经过多少时间后，圆盘才能停止转动解：（1）在圆盘上取一面元dS ，距中心轴距离为r ，其受到的摩擦力大小为2mdf gdS R μπ= 圆盘绕其中心轴转动，所以此体元做半径为r 的圆周运动，由于摩擦力的方向与运动方向相反，摩擦力的力臂长为r ，所以此体元受到的摩擦力矩为dM rdf =所以圆盘受到的摩擦力矩为2220023R Sm m M r gdS r grdr d mg R R R πμμθμππ===⎰⎰⎰⎰ （2）停止转动时，圆盘的角速度为零，由于力矩不变，所以角加速度恒定，有0Mt t Jωβω=-=-其中圆盘绕中心轴的转动惯量为212J mR =求得时间t 为34Rt g ωμ= 4-16 一质量为m 长为L 的均质细棒，绕其一端在水平地面上转动，初始时刻的角速度为ω，棒与地面的摩擦因数为μ。

求（1）细棒所受到的摩擦力矩。

（2）细棒停止转动时，转过的角度。

解：（1）取细棒上一线元d x ,设其距转轴距离为x ，细棒受到的摩擦力大小为mdf gdx Lμ= 细棒绕其一端转动，则此线元绕其一定做半径为x 圆周运动，摩擦力的方向与运动方向相反，线元受到的摩擦力矩为dM xdf =所以细棒的摩擦力矩大小为12Lm M x gdx mg L L μμ==⎰ （2）由于角加速度恒定，由22212βθωω=-得 22MJθω-=- 其中细棒绕其一端的转动惯量213J mL =转过的角度为23L g ωθμ=4-17 一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数c 为一常量。

若转动部分对其轴的转动惯量为J 。

求（1）经过多长时间后其转动角速度减少为初始角速度的一半（2）在此时间内共转过多少转 解：（1）由转动定律M J β=得d c J Jdtωωβ-== 积分得00tcd dt J ωωωω-=⎰⎰ 0ct Jeωω-=转速为初始角速度一半时ln2Jt c=（2）可由角速度和角度的关系求得，即ln 20J c dt d θωθ=⎰⎰亦可采用下列解法即d d d d c JJ J dt dt d d ωωθωωωθθ-=== 积分得20Jd d c ωθωθω=-⎰⎰02J cωθ=转过的转数int[]4J n cωπ= 4-18一质量20.0kg 的小孩，站在一半径为3.00m 、转动惯量为450kg ·m 2的静止水平转台边缘上，此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦不计。

如果此小孩相对转台以1.00m/s 的速率沿转台边缘行走，问转台的角速度多大 解：设转台对地的角速度为ω，小孩对地的角速度为ω1 由角动量守恒214502030ωω+⨯=由相对运动1331ωω-=解之得转台角速度大小为221ω=4-19 一转台绕其中心的竖直轴以角速度ω0=πs -1转动，转台对转轴的转动惯量为J 0=×10-3kg ·m 2。

进有砂粒以Q=2t （Q 的单位为g/s ，t 的单位为s ）的流量竖直落到转台上，并黏附于台面形成一圆环，若圆环的半径r=0.10m ，求砂粒下列t=10s 时，转动的角速度。

解：设任意时刻的转动惯量为J ，角速度为ω，则由角动量守恒有00J J ωω=所以只要确定了任意时刻的转动惯量，就能求得转动的角速度20JtJ dJ r Qdt =⎰⎰解之得322335224.0100.110 4.01010()J t t kgm ----=⨯+⨯=⨯+把t=10s 代入得325.010()J kgm -=⨯所以转动的角速度为100.80.8s ωωπ-==4-20 一质量为m ’，半径为R 的转台，以角速度ω转动，绕转轴的转动惯量为J ，转轴的摩擦不计，求（1）有一质量为m 的蜘蛛垂直落在转台边缘上，并附着在转台上，此时转台的角速度为多少（2）蜘蛛随后慢慢的爬向转台中心，当它离转台中心距离为r 时，转台的角速度为多少解：（1）由于蜘蛛附着在转台上，所以有共同角速度，由角动量守恒得2()'J J mR ωω=+所以转台的角速度为2'J J mR ωω=+（2）同理可得，当蜘蛛离转台中心距离为r 时，转台的角速度为2'J J mr ωω=+4-21 一质量为1.12kg ，长为1.0m 的均匀细棒，支点在棒的上端点，开始时棒自由悬挂，当以100N 的力打击它的下端点，打击时间为，求（1）若打击前棒是静止的，打击后其角动量的变化。

（2）棒的最大转角。

解：（1）由冲量矩定理得FL t J ω∆=所以打击后棒获得的角动量为2110010.022()FL t kgm s -∆=⨯⨯=（2）设棒的最大转角为θ由机械能守恒得211(1cos )22mg L J θω-= 代入数据解之得，最大转角为88.63θ=o4-22 一质量为m 的小球由一绳索系着，以角速度ω0在无摩擦的水平面上，绕以半径为r 0的圆周运动，如果在绳的另一端作用一个竖直向下的拉力，小球做以半径为r 0/2的圆周运动，求（1）小球新的角速度。

（2）拉力所做的功。

解：（1）由角动量守恒得22000()2rmr m ωω=所以小球新的角速度为04ωω=（2）由动能定理得拉力做的功为22222200000112()2222r W m mr mr ωωω=-= 4-23在光滑的水平面上有一轻质弹簧（其劲度系数为k ），它的一端固定，另一端系一质量为m ’的滑块，最初滑块静止，弹簧处于自然长度l 0，今有一质量为m 的子弹以速度v 0沿水平方向并垂直与弹簧轴线射向滑块并留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度为l 时，求滑块速度的大小和方向（用已知量和v 0表示） 解：子弹射入滑块过程中沿子弹方向动量守恒01(')mv m m v =+子弹射入滑块并留在其中后，子弹和滑块作为一个整体角动量守恒01(')(')sin l m m v l m m v θ+=+其中θ为弹簧长度为l 是速度方向与弹簧伸长方向的夹角子弹射入滑块并留在其中后，子弹，弹簧和滑块作为一个整体机械能守恒2221111(')(')222kl m m v m m v =+-+ 联立以上各式解之得v =00arcsin(')ml v v l m m θ=+4-24 A 和B 两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分布为J A =10.0 kg ·m 2和J B =20.0 kg ·m 2。