线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）
1 3 1 1.若0 5 x 0
，则__________。

1 2 2
x1 x2 x3 0
2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x30
3．已知矩阵
A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A
为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）
6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）
A. 4
0 B.
4 4
C. 0 t
4 4 1
t
5
t D. t
2 5 5 5 5
1 4
2 1 2 3
7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）
0 4 3 0 0 5
A.3
B.-2
C.5
D.-5
8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）
A. A0
B. A 1 0
C.r (A) n
D.A 的行向量组线性相关
9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）
1
x
y 2 z 4
A.
3
1
2
x
y 2 z 4
C.
3
1 2
x y
2 z 4
B.
3
2 2
x y
2 z 4
D.
3
2
2
10
3 1 ．已知矩阵 A
, 其特征值为（
）
5
1
A. 1
2, 2 4 B. C.
1
2,
2
4
D.
三、解答题
（每小题 10 分，共 50 分）
1 1
2,
2, 2
2
4
4
1 1 0
0 2 1 3 4
0 2 1 3
0 1 1 0
11.设B
, C 0 2 1 且 矩 阵
满足关系式
0 0 1 1 0
0 1
0 0 0 2
T X
(C B)
E
，求。

a
1 1
2
2
12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？
1
1
1
, 2
a ,
3。

2 1 2
1 a
2
2
x 1 x 2
x 3 3
13.
为何值时，线性方程组
x 1 x 2
x 3 2
有唯一解，无解和有无穷多解？当方
x 1 x 2
x 3
2
程组有无穷多解时求其通解。

1
2
1
3
14.设 1
4 , 2
9 ,
3
0 ,
4
10
. 求此向量组的秩和一个极大无关
1 1 3 7
0 3 1
7
组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

15. 证明：若 A
是 n 阶方阵，且 AA
A1，
证明 A I 0 。

其中 I
为单位矩阵
I ，
2
线性代数期末考试题答案
一、填空题
1. 5.
解析 : 采用对角线法则, 由1 5 ( 2) 3x 0 ( 5) 2x 0 0 有x 5 .
考查知识点 : 行列式的计算.
难度系数 :
2.1.
1 1
2
2
解析 : 由现行方程组有 D 1 1 1 2
( 1) ,要使该现行方程组只有零
1 1 1
解,则D 0,即1.
考查知识点 : 线性方程组的求解
难度系数 :
3. s s，n n
解析;由题可知C(c
ij
)
s n ,则设AC CB D ,可知
D
的行数与
A
一致,列数与
B
一致,且
A
与B
均为方阵 ,所以
A
为
s s
阶矩阵 ,
B
为
n n
阶矩阵 .
考查知识点 :n 阶矩阵的性质
难度系数 :
4. 24
解析:由题可知 , A为 3 阶矩阵且 A 3,则 2A 23 A 24 .
考查知识点 : 矩阵的运算
难度系数 :
5. A3E
解析:由A2 3A E 0有A(A 3E) E,此时 A 1 A 3E. 考查知识点 : 求解矩阵的逆矩阵
难度系数 :
3
二、选择题 6. A 解析：
1 t 1 由题可知，该二次型矩阵为
t
1 2 ， 而
1 2
5
1 t
1 t 1
4
2
0, t 1
2 5t 2 4t 0，可解得 t 0 。

此时，该二次型 1 1,
1 t
t 1
1 2
5
5
正定。

考查知识点 : 二次型正定的判断
难度系数
7. C
解析：由矩阵特征值性质有 1-3+3=1+x+5 ，可解得 x=-5 。

考查知识点 :n 阶矩阵特征值的性质
难度系数 :
8. D
解析：由题可知， A 为 n 阶可逆矩阵，则 A 的行向量组线性无关。

考查知识点 :n 阶可逆矩阵的性质 难度系数 :
9. A.
解析：由题可知，两平面法向量分别为n 1
(1,0,2), n 2 (0, 1,3) ，则所求直线的方向向 量为 s n 1 n 22i 3 j k 。

所以所求直线为
x y 2 z 4 。

2
3
1
考查知识点 : 求空间平面交线平行的直线方程 难度系数 :
10. C.
3 1
2
2 8 0 ，可解得特征值为 1
2,2 4
解析：由 A E
1
5
考查知识点 : 求解矩阵的特征值 难度系数 :
4
三、解答题
11. 解：
1 2 3 4 0 1 2 3
，
C B
0 1 2 0 (C
0 0 0 1
1 0 T
1
2 1 [
(C B)
]
1
2
1
1
0 0 0
B) T
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
0 0
1 0 0 0 0 0 ，
T
1
2 1 0 0
1 0
X E[
(C B) ]
1 2 1 0
2 1
1 2 1
考查知识点 : 矩阵方程的运算求解
难度系数 :
12. 解：
a
1
1
2 2
， ， a 3
1 a 1 1
(2 1)2
(2
2)
| A | a 1 a 2
2 2 a
a
1 8
1 a
2
2
当
| A |
=0 时即 a
1 1 时，向量组 a 1， a 2， a 3 或 a
线性相关。

2
考查知识点 : 向量组的线性相关性 难度系数 :
13. 解：
①当
1且 2 时，方程组有唯一解；
②当
2 时方程组无解
2 1 1 ③当
1时，有无穷多组解，通解为
0 c 1 1
c 2 0
1
考查知识点 : 线性方程组的求解 难度系数 :
5
14. 解：
由题可知
1 2 1 3 1 2 1 3 4 9 0 10 0 1 4 2 A (a 1， a 2， a 3， a 4 )
1 3 7 0 3 4 10 1 0
3
1 7
3
1 7
1 2 1 3 1 0 0 2 0 1
4
2 0 1 0 2 0 0 16
16 0 0 1 1 0 0 13
13
0 0 0
则 r a 1， a 2， a 3， a 4 3
，其中 a 1， a 2， a 3 构成极大无关组 , 且线性关系为
a 4
2a 1 2a 2 a 3
考查知识点 : 向量组的秩与 最大无关组 难度系数 :
15. 证明：
由题可知 ,
A I
A AA T
AI A
T
I A
T
I A
∴2I
A
0,即 I A
考查知识点 :n 阶方阵的性质 难度系数 :
6。