第二章 不定方程数学中的许多问题都可以产生不定方程，如张丘建的“百鸡问题”：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？设鸡翁、鸡母、鸡雏各有x , y , z 只，根据题意可得下面方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x 消去z ，可得7x +4y =100 ，于是百鸡问题就化为上述方程求非负整数解的问题。

§1 一次不定方程都不等于零。

可以假定并且不失一般性地我们，，其中式为一次不定方程的一般形n n n n a a a n Z N a a a N x a x a x a ,,,)1(2,,,,21212211 ≥∈=+++有整数解。

的整线性组合，即是可知节定理的倍数，由第一章第二是，则若”“。

，即则，使得式有解，即有若”“。

件是有整数解的充分必要条的整数，是全不为零，其中不定方程)1(,,,4|),,,(||),,,(,,,)1(|),,,(2,,,212122112122112121212211n n n n n n n n n n n n a a a N d N N a a a N d x a x a x a a a a d Nx a x a x a Z x x x N a a a n a a a N x a x a x a ⇐'++'+'∆='++'+'∈'''⇒≥=+++证明定理1。

，，为的全部整数解（通解），则方程的一个整数解（特解）是不定方程，，，，设Z t t b a a y y t b a b x x c by ax y y x x c b a b a Z c b a ∈-=+==+==≠≠∈),(),()2()2(,|),(00,,00002定理，于是有的解，所以是因为c by ax y x =+0000)2(,证明的全部整数解。

表示，因此，，代入上式，得，将，也即即，，故，又于是，，得，两边除以，得到，减去的任一解，则是设的解。

是，表明)2(),(),(),(),(),()(|),(1)),(,),(()(),(|),()(),()(),(),(0)()()2(,)2(),(),()),(),(()),(()),((00000000000000000t b a a y y t b a b x x t b a a y y x t b a b x x t b a b x x x x b a b b a b b a a x x b a a b a b y y b a b x x b a a b a y y b x x a c by ax c y b x a y x t b a a y y t b a b x x c t b a ba b a ab c t b a a y b t b a b x a -='+='-=''+='=-'-'=-'-'-=-'=-'+-'=+='+'''-=+==-+=-++ 辗转相除。

一个特解。

求解的关键是求方程的就得到了，因此，解，那么方程的通解也可知，只要求得一个特由定理−−−−−→−=+−→−=+−−→−=+=1)),(,),((|),(1),(),(),(),(),(2b a b b a a c b a y b a b x b a a b a c y b a b x b a a c by ax 法二元一次不定方程的解 。

，，因此，方程的通解为，为从而原方程的一个特解），（其实通过观察也可得的一个整数解为故）（，的一个整数解。

适合求出下面先通过辗转相除法，所以方程有整数解。

因为的通解。

求Z t t y t x y x y x y x r r q b a q y x y x ∈-=+-==-==-==+⨯+-=--=-========+==+72004100200,1002,114742747434113341471147100|1)4,7(10047001010解例1。

，，，从而得到四组解：，，故，于是，回到百鸡问题，则要求⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧====≤≤≥≥8441281118781847525028,27,26,2572002500z y x z y x z y x z y x t t y x。

，因此，原方程的通解为，，从而原方程的特解为，，的一个整数解为故，的特解先通过辗转相除法求同解。

方程，所以方程有解，且与因为的通解。

求Z t tt y t t x y x y x y x y x y x y x ∈--=-⨯-=--=-⨯-=⨯-=⨯-==-==+⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯-=⨯+⨯-=-⨯-=⨯-==+=-==-3733725910781072526259252692611073710793726)372107(9378339378)3337(83348331132433833741371072,110737251073775|3)321,111(7532111100解例2即可。

通解，然后消去常数，求出各个方程的看成中，我们可以把当然，在实际求解过程的通解。

，最后得出出上面一些方程的通解通解，然后代入依次求先求出最后一个方程的有解。

作方程时，，则当，，，先顺次求出i n n n n i n n n n t N x a t d t t d x a t d t d x a x a N d d a d d a d d a a =+=+=+===---113333222222111332221)1()1(|),(),(),(法多元一次不定方程的解100053)83(32491000|1)5,3(3)24,9(10005249=-=+=+=-==-+z t t y x t y x z y x ，考虑方程，所以方程有解。

，因为的通解。

求解例3。

，，得消去，，，解得Z v u v z v u y v u x t Z v u v z v t u t y u t x ∈⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+=∈⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧--=+=,310005320001586000,3100052000383 习题：P29，1、4。

；方程的通解补充习题：求下列不定2315206)2(1032)1(=-+=++z y x z y x§2 勾股数该方程的全部整数解。

组整数解，本节将求出的很多已经知道了不定方程，由此可知，我国古代，，，年）又载有刘徽九章注（。

，，：上给出了方程的一组解修四、径隅五”。

事实有记载：“句广三、股中已国古代的《周髀算经》的一个直角三角形。

我于存在三边长为整数相当，方程的一组正整数解次不定方程本节研究一种特殊的二222222222222222222292120252471715813125263543,,z y x z y x z y x =+=+=+=+=+=+，故矛盾。

要么要么，但，从而，矛盾，若全为奇数，则全为偶数，则与必然一奇一偶，否则若是偶数。

因为、假定。

由它可以求得也是方程的一组解，而，则，，，令，则，称为本原解。

因为若、假设。

求出它的全部正整数解零解，只需包含零。

而要求全部非，此外的每一组解都不，；，；，，。

因为方程显然有解，，、假定作一些约定：首先对二次不定方程1442)(414141),(,3,,,,|),(1),(200000000122222222+++=++=+==''''='='===±==±=====>>>=+N N z n m y x n y m x y x y x x z y x z y x z d z y d y x d x z d d y x y x z x y z y x z y x z y x z y x 下面我们求出满足三个约定的全部整数解。

式。

满足，，，，，很显然，。

，，，，，，从而故，，，，又，矛盾，故的定义及这与，，于是，满足，则有一质数，若可得代入，，设，因而，从而，故又，，，于是，外），则除（除不再被任何数的平方整，其中，，，的一解，令是设。

，，，，，成公式的全部正整数解可以写，，，，不定方程)1(1),(00)2(1),(001000111),(,||1)1(|1),(1),(1),(||||1,00)1(,,)1(1),(00)1(1),(0002222111111112111111122122121111222222111212222=>>====>>======>>>===≠=====>>===>>====>>>=b a b a ab w b v a u b a b a ab w b v a u v u w v u w v u w v u v u v u p w p p w w v u abw w w ab b a b a v u w b w a w b w a v u b a v b v u a u w v u b a b a ab w b v a u v u v u w w uv 证明引理。

为奇数可知，再由或，从而，故又因，，从而，，于是，，则设，，，，，，因为一奇一偶。

是奇数，可知，由可得而且由，，，，，，即，，，，，使得由引理，有整数），故，于是，，则（因为若，，其中都是奇数，而且故，，的解，由于是适合条件的不定方程设一奇一偶。

，，，，，下面公式来表示：的全部正整数解可以用，，，，的适合条件不定方程1211),(1),(),(2|||||),(|2|2000)()()2()2(,01),(0021),(00222,1|||)2,2(1)2,2(22)2(,1),(|2,,)1(,1),(02|21),(0002222222222222222222222222222222====-+=/>>>+=-+>>=>>+=-===>>==-=+==-+=-+-⋅+===>>+=-===>>>=+d y d b a b a b a d b a d b a d z d z d y x d y x z y x b a b a ab b a y b a y b a b a b a z b a y ab x b a b a ab x b y z a y z b a d x d y d z d d y z y z y z y z y z y z x z y y x x z y x b a b a b a b a z b a y ab x x y x z y x z y x 证明定理号可以任意取。