第三章 同 余 §1 同余的概念及其基本性质

。，所有奇数；所有偶数，例如，。不同余，记作：对模则称；若所得的余数不同，同余，记作：对模则称所得的余数相同，与去除两个整数，称之为模。若用设)2(mod1)2(mod0)7(mod18)(mod,)(mod,aambambambambabammZ定义1

。故同余关系是等价关系；（传递性），则，、若；（对称性），则、若；（反身性）、：关系，它具有下列性质同余是整数之间的一种)(mod)(mod)(mod3)(mod)(mod2)(mod1mcamcbmbamabmbamaa 。则，，，设。，，即同余的充分必要条件是对模整数)(|)()(mod,0)(|,2121212211bamqqmbarrmbamrrrmqbrmqatmtbabammba证明定理1Z

。，则若；，则，若)(mod)(mod)2()(mod)(mod)(mod)1(21212211mbcamcbambbaambamba性质1 。，则特别地，若；，则，若)(mod)(mod)(mod)(mod)(mod21212211mkbkambambbaambamba性质2

。，则，；特别地，若则，，，若)(mod,,2,1,0)(mod)(mod,,2,1)(mod)(mod0110111111111111mbxbxbaxaxanimbamyyBxxAkimyxmBAnnnnnnnniikkiikkkkkkkk定理2

。，则，，，若)(mod)(mod1),(1111mbambamddbbdaa性质3 。的任一公因数，则及是，若；，则，若)(mod,)(mod(2))(mod0)(mod)1(dmdbdambadmbamkbkakkmba性质4 反之亦然。。，则，若]),,,[(mod,,2,1)(mod21kimmmbakimba性质5 。，则，，若)(mod0|)(moddbadmdmba性质6 中的另一数。必能整除之一，则两数及能整除，因而若，则若badmbadmbmamba,,),(),()(mod性质7

。即个位数码是，，所以因为。的数，事实上，只需求满足数码。写成十进位数时的个位求9)10(mod91)1()3(3)10(mod19390)10(mod3320320324062406406aaa解例1

。，故为偶数时，当，，故为奇数时，当，所以，因为。为偶数时，，当为奇数时，证明：当12|3)3(mod2111)1(1212|3)3(mod0111)1(12)3(mod1)1(12)3(mod1212|312|3nnnnnnnnnnnnnn证明例2 同余性质在算术中的一些应用。 一、检查因数的方法 1、一整数能被3（或9）整除的充分必要条件是它的十进位数码之和能被3（或9）整除。 证明 只需讨论正整数即可。任取Za，则a可以写成十进位的形式： 同理可证。对于。，从而可知，于是，由，9|3|3)3(mod)3(mod11010010100101011aaaaaaaaaaaaannnninnnn 2、设正整数1000010001000011innnnaaaaa，，则7（或11或13）|a的充分必要条件是7（或11或13）|。)()(3120aaaa 证明 因为7×11×13=1001。 例3 a=5874192能被3和9整除。 例4 a=435693能被3整除，但不能被9整除。 例5 a=637693能被7整除；a=能被13整除。 二、弃九法（验算整数计算结果的方法） 例6 设a=28997，b=39495，P=ab=15，检查计算是否正确。 解 令 1001010011innnnaaaaa， 1001010011jmmmmbbbbb， 1001010011kllllccccP，

则 )9(mod))((000lkkmjjniicba （*） 若（*）不成立，则P≠ab，故在本题中，计算不正确。 注 (1) 若（*）不成立，则计算不正确；但否命题不成立。 (2) 利用同样的方法可以用来验证整数的加、减运算的正确性。 §2 剩余类及完全剩余系 中。必处于同一，则反之，若。，故，，则设整数中。只能在的唯一性可知，由的存在性可知于是由，，是任一整数，则必有设同余。的充分必要条件是对模两个整数同在一个集合；仅在上述的一个集合中每个整数必包含在而且质：，这些集合具有下列性，中，其个集合，记作：，则全体整数可分成设rrraraaarmKbambambarmqbrmqaKbaKarKarmrrmqaammrqrqmKKKKmmaa,)(mod)(mod,)2(0)1()2()1(1,,1,0}|{,,,021110证定理1Z

的一个完全剩余系。称为模一剩余类，则中任何两个数都不在同个整数若。数称为它同类数的剩余中的任一的剩余类，一个剩余类称为模中的定理maaaaaammKKKmmm110110110,,,,,,,,,1定义1 推论 m个整数作成模m的一个完全剩余系的充分必要条件是它们对模m两两不同余。 例如，下列序列都是模m的完全剩余系：

系）。（绝对最小完全剩余为奇数时，当；；为偶数时，当；；）（最小非负完全剩余系；21,,1,0,1,,212,12,,1,0,1,,12212,,1,0,1,,12,21)4()1()1(,,)1(,,1,0)3()1()1(,,,,1,0)2(1,,2,1,0)1(1mmmmmmmmmmmmammmmmaammmma

 的完全剩余系。也是模故，与已知矛盾，，于是又，，则设反证法。两两不同余即可，采用只需证明的完全剩余系。也是模则的完全剩余系，是模若的一个完全剩余系，即也通过模的一个完全剩余系，则通过模，若，，设mbaabaabaajimaamamaaaajimbaabaabaabaabaambaabaabaamaaambaxmxbmammjijijimmm110110110110,,,)()(mod1),()(mod)()(mod,,,,,,,,,1),(证定理2ZZ 的完全剩余系。也通过模，因此，所通过的数两两不同余，这说明，，故又，，数，则通过的完全剩余系中的所分别是，其中设两两不同余。个整数对模下证这个整数，通过个整数，所以分别通过因为的完全剩余系。也通过模余系，则的完全剩分别通过模，而，设212112211222211121221211121221221121211221122121212112212121211221212121)(mod''')(mod'''1),()(mod''')(mod''','',','',')(mod'''''',,,,1),(,mmxmxmxmxmmxxmxxmmmxmxmmxmxmxxxxxxmmxmxmxmxmmmmmmmxmxmmmxxmmxmxmmmxxmmmm证定理3Z

的完全剩余系。不是模因此，，矛盾。的完全剩余系，则是模若，从而，，同理所以的完全剩余系，都是模及：因为的完全剩余系。不是模的完全剩余系，则都是模及，设mbabammbambabammmbabammbmmmmiambbaambabambbaammmmiiimmmiimiimiiimiimimiimmmmmm,,)(mod2)(,,)(mod022)()(mod2)(mod22)1(,,,,,,,,,,)2(mod011111111111111111证例1。，则，，，设类中，至少有两个在同一同余，它们对模个数：考察。，使得组成的数，存在着仅有数字证明：对任何正整数个个个个个acbnncbcbcbnnanansskskn011111000111)(|)(mod111111111,,11,11|0,1证：例2

。故，通过从而剩余系，的一个完全通过模以的一个完全剩余系，所通过模因为。则的一个完全剩余系，通过模，，，设)1(211101,,1,0)1(211),(mmmmmmbaxmmmmmbaxmbaxmxmmbaxmxbmamxx证例3ZZ §3 简化剩余系与欧拉函数

。是合数，则；若是质数，则若互质的数的个数。中与函数，它的值等于序列是定义在正整数集上的欧拉函数1)(1)(1,,2,1,0)(aaaaaaaaa注定义1

的一个简化剩余系。模成的数的集合称为从每一类各取一数所作互质的全部剩余类中，在与模的剩余类。互质模互质，则称它为一个与的剩余类中的数与如果一个模mmmmm定义2

互质。与模即，，有中任一数，则对于，反之，若有；互质，则与模的全部剩余类，若是模设不同余的整数组成的。个对模的互质与的每一简化剩余系是由，模互质的剩余类的个数为因此，与模互质。此类中有一数与互质的充分必要条件是的剩余类与模模mKmkkqmkKmkKkmrmKmKKKmmmmmmmmmrrrrrrrrrm1),'('1),(1),(,,,)()(110证定理1

的一个简化剩余系。是模则不同余，对模互质的整数，并且两两个与是若maaammmaaamm)(21)(21,,,)(,,,定理2的简化剩余系。通过模故，与已知矛盾，，则若，可知，个整数，而且由通过余系。的简化剩也通过模的简化剩余系，则通过模，若maxjimxxjimaxaxmaxmxmamaxmaxmxmajiji)()(mod)()(mod1),(1),(1),()(1),(证定理3

的简化剩余系。也通过模余系，则的简化剩分别通过模，而，设21211221212121,,1),(,mmxmxmmmxxmmmmZ定理4