数学试卷 第1页(共16页) 数学试卷 第2页(共16页)绝密★启用前北京市2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷满分150分.考试时长120分钟.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{||}2|x A x =<,2,0,{1,2}B =-,则A B = ( )A .{}0,1B .{}1,0,1-C .{}2,0,1,2-D .{}1,0,1,2-2.在复平面内,复数11i-的共轭复数对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为( )A .12B .56C .76D .7124.设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad bc =”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献。
十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于f ,则第八个单音频率为( )ABC.D. 6.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A .1B .2C .3D .47.在平面坐标系中,AB ,CD ,EF ,GH 是圆221x y +=上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边,若tan cos sin ααα<<,则P 所在的圆弧是( )A .AB B .CDC .EFD .GH毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页(共16页) 数学试卷 第4页(共16页)8.设集合{(,)|1,4,2}A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤,则 ( )A .对任意实数a ,(2,1)A ∈B .对任意实数a ,(2,1)A ∉C .当且仅当0a <时,(2,1)A ∉D .当且仅当32a ≤时,(2,1)A ∉第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.设向量(1,0)a =,(1,)b m =-,若()a ma b ⊥-,则m = .10.已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴,若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为 .11.能说明“若a b >,则11a b<”为假命题的一组a ,b 的值依次为 .12.若双曲线2221(0)4x y a a -=>,则a = . 13.若x ,y 满足12x y x +≤≤,则2y x -的最小值是 . 14.若ABC △222)a c b +-,且C ∠为钝角,则B ∠= ;c a的取值范围是 .三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)设{}n a 是等差数列,且1ln 2a =,235ln 2a a +=. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求12e e e n a a a +++….16.(本小题满分13分)已知函数2()sin cos f x x x x =+. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32,求m 的最小值.数学试卷 第5页(共16页) 数学试卷 第6页(共16页)17.(本小题满分13分)好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(Ⅱ)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(Ⅲ)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)18.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA PD ⊥,PA PD =,E ,F 分别为AD ,PB 的中点.(Ⅰ)求证:PE BC ⊥;(Ⅱ)求证:平面PAB ⊥平面PCD ; (Ⅲ)求证:EF ∥平面PCD .-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第7页(共16页) 数学试卷 第8页(共16页)19.(本小题满分13分)设函数2()[(31)32]e x f x ax a x a =-+++.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0,求a ; (Ⅱ)若()f x 在1x =处取得极小值,求a 的取值范围.20.(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>,焦距为斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ,B . (Ⅰ)求椭圆M 的方程;(Ⅱ)若1k =,求||AB 的最大值;(Ⅲ)设(2,0)P -,直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线,求k .数学试卷 第9页(共16页) 数学试卷 第10页(共16页)北京市2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】(|22)A x x =-<<,(2,0,1,2)B =-,则{}0,1A B =.【考点】集合的交集运算 2.【答案】D 【解析】21(1i)1i 11i 1i(1i)(1i)1i 22++===+--+-,所以其共轭复数为11i 22-,在复平面内对应点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,位于第四象限。
【考点】复数的四则运算与共轭复数的概念 3.【答案】B【解析】1k =,1s =,1111(1)112s =+-⨯=+,2k =,不满足3k ≥,继续循环2115(1)2126s =+-⨯=+,3k =,满足3k ≥,循环结束,输出56s =.【考点】算法的循环结构 4.【答案】B【解析】“a ,b ,c ,d 成等比”,根据等比数列的性质有ad bc =,所以“ad bc =”是“a ,b ,c ,d 成等比”的必要条件;若3a d ==,3b c ==满足ad bc =,但是数列3,3-,3-,3不是等比数列,所以“ad bc =”是“a ,b ,c ,d 成等比”的必要不充分条件.【考点】比数列的性质与充分必要条件的判断 5.【答案】D【答案】根据题意可以知单音的频率形成一个等比数列;其首项为f;公比为所以第八单音的频率为7f =.【考点】数学文化与等比数列 6.【答案】C【解析】根据三视图可以还原该几何体为正方体中的一个四棱锥1D APCD -,其中P 为AB 的中点,所以四棱锥1D APCD -中的侧面为直角三角形的有1D CD △,1D AD △,1D AP △,共三个.【考点】三视图 7.【答案】C【解析】在四段圆弧上任意取一点,分别作出正弦线、余弦线、正切线观察即可选择C .【考点】三角函数的定义与三角函数线的应用 8.【答案】D【解析】当2a =时,)24{(}222A x y x y x y y =-+>-,|≥1,,≤,将(2,1)代人满足不等式组,所以排除B,当12a =去时11(,)|1,4,222A x y x y x y x y ⎧⎫=-+>-⎨⎬⎩⎭≥≤,将(2,1)代入不满足不等式号4x y +>,所以排除A ,C . 【考点】不等式组表示的平面区域 二、填空题 9.【答案】1-【解析】(1,)ma b m m -=+-,根据()()101a ma b a ma b m m -⇒-=+=⇒=-⊥. 【考点】平面向量的坐标运算10.【答案】(1,0)【解析】根据题意将1x =代人抛物线方程可得24ya y =⇒=±,根据抛物线的对称性有41a =⇒=;所以抛物线的焦点坐标为(10),. 【考点】抛物线的方程11.【答案】1,1-(答案不唯一)数学试卷 第11页(共16页) 数学试卷 第12页(共16页)【解析】当1a =,1b =-时,满足a b >,此时1161a=>=-. 【考点】不等式的性质与命题真假的判断 12.【答案】4【解析】根据2222245164c c a a a a a +==⇒=,因为0a >,所以4a =. 【考点】双曲线的方程与离心率的计算 13.【答案】3【解析】不等式组12y x y x+⎧⎨⎩≥≤,表示的区较为如图所示的阴影部分,设12z y x =-,则122z y x =+,所以2z 的几何意义为直线的纵截距,1,12,2y x x y x y ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩所以当直线过点(12)A ,处时,取得最小值,所以min 2213z =⨯-=.【考点】线性规划问题 14.【答案】60︒(2,)+∞【解析】根据三角形面积公式有2221sin )2ac B a c b +-,所以222sin 2a c b B B ac ⎫+-==⎪⎭,所以t a n 3B=,所以B ∠,2sin sinC 13sin sinA c a A A π⎛⎫- ⎪⎝⎭====,又因为C ∠为钝角,即526C Bπππ+>+=∠∠,所以00tan 6A A π<<⇒<∠,所以1tan A >11222+>=,所以c a的取值范围为(2,)+∞.【考点】三角形问题与三角函数图象与性质 三、解答题15.【答案】解:(I )设等差数列{}n a 的公差为d ,∵235ln 2a a +=, ∴1235ln 2a d +=,又1ln 2a =,∴ln2d =. ∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. (II )由(I )知ln 2n a n =,∵ln 2ln 2e e e =2nna n n ==,∴{e }n a是以2为首项,2为公比的等比数列.∴212ln 2ln 2ln 2e e e e e enn a a a +++=+++2=222n +++1=22n +-. ∴12e e e n a a a +++1=22n +-.【考点】等差、等比数列综合问题16.【答案】(Ⅰ)1cos 211π1()22cos 2sin(2)22262x f x x x x x -=-+=-+,所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.(Ⅱ)由(Ⅰ)知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦. 要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32,即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 所以ππ262m-≥,即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【答案】三角函数的图象和性质17.【答案】(Ⅰ)由题意知,样本中电影的总部数是140503002008005102000+++++=.第四类电影中获得好评的电影部数是2000.2550⨯=,数学试卷 第13页(共16页) 数学试卷 第14页(共16页)故所求概率为500.0252000=.(Ⅱ)方法一:由题意知,样本中获得好评的电影部数是1400.4500.23000.152000.258000.25100.15610455016051=372.⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++ 故所求概率估计为37210.8142000-=.方法二:设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B . 没有获得好评的电影共有1400.6500.83000.852000.758000.85100.91628⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=部. 由古典概型概率公式得16280.8142)00(0P B ==.(Ⅲ)增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 【考点】相互独立事件概率的求解以及方差的求解18.【答案】(Ⅰ)∵PA PD =,且E 为AD 的中点,∴PE AD ⊥.∵底面ABCD 为矩形,∴BC AD ∥, ∴PE BC ⊥.(Ⅱ)∵底面ABCD 为矩形,∴AB AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ,∴AB ⊥平面PAD . ∴AB PD ⊥.又PA PD ⊥,∵PD ⊥平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面PCD .(Ⅲ)如图,取PC 中点G ,连接FG ,GD .∵F ,G 分别为PB 和PC 的中点, FG BC ∥,且12FG BC =.∵四边形ABCD 为矩形,∴且E 为AD 的中点,∴ED BC ∥,12DE BC =∴ED FG ∥,且ED FG =,∴四边形EFGD 为平行四边形, ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ,GD ⊂平面PCD ,∴EF ∥平面PCD .【考点】空间几何体线面位置关系的判断问题19.【答案】解:(Ⅰ)因为2()[(31)32]e x f x ax a x a =-+++, 所以2()[(1)1]e x f x ax a x '=-++.2(2)(21)e f a '=-,由题设知(2)0f '=,即2(21)e 0a -=,解得12a =. (Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)得2()[(1)1]e (1)(1)e x x f x ax a x ax x '=-++=--.若1a >,则当1,1x a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<;当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>. 所以()f x 在1x =处取得极小值.若1a ≤,则当(0,1)x ∈时,110ax x --<≤, 所以()0f x '>.所以1不是()f x 的极小值点. 综上可知,a 的取值范围是(1,)+∞. 方法二:()(1)(1)e x f x ax x '=--.(1)当0a =时,令()0f x '=得1x =.',()f x 随x 的变化情况如下表:∴()f x 在1x =处取得极大值,不合题意.(2)当a >0时,令()0f x '=得121,1ax x ==.数学试卷 第15页(共16页) 数学试卷 第16页(共16页)①当12x x =,即a =1时,2()(1)e 0xf x x '=-≥,∴()f x 在R 上单调递增, ∴()f x 无极值,不合题意.②当,即0<a <1时,'随x 的变化情况如下表:∴()f x 在x =1处取得极大值,不合题意.③当x x <,即a >1时,(),()f x f x '随x 的变化情况如下表:∴()f x 在1x =处取得极小值,即1a >满足题意.(3)当0a <时,令()0f x '=得11x a=,21x ='随x 的变化情况如下表:∴()f x 在1x =处取得极大值,不合题意.综上所述,a 的取值范围为(1,)+∞. 【考点】导数在研究函数问题中的应用20.【答案】(Ⅰ)由题意得2c =c =又e c a ==a ,所以2221b a c=-=,所以椭圆M 的标准方程为2213x y+=.(Ⅱ)设直线AB 的方程为y x m =+,由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=, 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->,即24m <,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1232m x x +=-,212334m x x -=,则12|||2AB x x -=,易得当20m =时,max ||AB ||AB(Ⅲ)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y ,则221133x y +=①,222233x y +=②, 又(2,0)P -,所以可设1112PA y k k x ==+,直线PA 的方程为1(2)y k x =+, 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230kx k x k +++-=,则2113211213k x x k +=-+,即2131211213k x x k =--+, 又1112y k x =+,代入①式可得13171247x x x --=+,所以13147y y x =+,所以1111712,4747x y C x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭,同理可得2222712,4747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.故3371,44QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,4471,44QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,因为Q ,C ,D 三点共线,所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,将点C ,D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-,即1k =.【考点】直线与椭圆的位置关系。