《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解第二章2-1 试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。

(a)11111111+=+⋅=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： 2121221212)()(R R Cs R R R Cs R R z z z s U s U i o +++=+= (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=)(1)()]()([)(1)(2221111s I s C s U s I s I R s I sC s U o i 并且有)()1()(122211s I sC R s I s C += 联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：1)(1111)()(222111221212211112++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=s C R C R C R s C C R R R s C R s C s C R sC s U s U i o 2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。

(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到)()()(0s sU s sU RCs U i i +-= 故传递函数为RCsRCs s U s U i 1)()(0+= (b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du Cc c i c ，0210=+R u R u c ，联立两式消去c u 得到02220101=++⋅u R u R dt du R CR i 对该式进行拉氏变换得0)(2)(2)(20101=++s U R s U R s sU R CR i 故此传递函数为)4(4)()(10+-=RCs R R s U s U i (c)02/2/110=+-+R uR u u dt du Cc c c ，且21R u R u c i -=，联立两式可消去c u 得到0222101=++⋅Ru R u dt du R CR i i 对该式进行拉氏变换得到0)(2)(2)(2011=++⋅s U Rs U R s sU R CR i i 故此传递函数为RCs R R s U s U i 4)4()()(110+-= 2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函数。

解：设激磁磁通f f i K =φ恒定()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=Θφφπφm e a a a a m a C C f R s J R f L Js L s C s U s 26022-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。

电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c 表示电位器滑动触点的位置。

另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r 表示）即为该随动系统的参考输入。

两电位器滑动触点间的电压差e u 即是无惯性放大器（放大系数为a K ）的输入，放大器向直流电动机M 供电，电枢电压为u ，电流为I 。

电动机的角位移为θ。

解：()()()φφφπφm A m e a a a a m A C K s C C f R i s J R f L i Js iL C K s R s C +⎪⎭⎫⎝⎛++++=260232-5 图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流d i 与d u 间的关系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-110026.06du d e i 。

假设电路中的Ω=310R ，静态工作点V u 39.20=，A i 301019.2-⨯=。

试求在工作点),(00i u 附近)(d d u f i =的线性化方程。

解：()2.0084.01019.23-=⨯--d d u i2-6 试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。

解：分别对物块1m 、2m 受力分析可列出如下方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---+=)()()(122221112211y y k dt dv m y k f y y k t F dtdv m 代入dtdy v 11=、dt dy v 22=得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---+=)()()(1222222111222121y y k dt y d m y k f y y k t F dt y d m 2-7 图2-T-7为插了一个温度计的槽。

槽内温度为i θ，温度计显示温度为θ。

试求传递函数)()(s s i ΘΘ（考虑温度计有贮存热的热容C 和限制热流的热阻R ）。

解：根据能量守恒定律可列出如下方程：R dt d Ci θθθ-= 对上式进行拉氏变换得到Rs s s Cs i )()()(Θ-Θ=Θ则传递函数为11)()(+=ΘΘRCs s s i2-8 试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数)()(s R s C 。

解：(a) 化简过程如下G 3G 1H 1_G 2 G 1 R(s)C(s) + + + + C(s) R(s)+ _ G 1+G 2 G 1+H 1G 3R(s) C(s) G 1+G 2 )(11133H G G G ++ G 1 G 2 G 3 H 1 + _ + _ + C(s) R(s) a) + G 1 H 1G 2G 4 H 3 G 3 H 2 + + ++_ _ R(s) C(s)b)图2-T-8传递函数为)(1)()()(113213H G G G G G s R s C +++= (b) 化简过程如下传递函数为))((1)()()(3124321214321G G H G G G H G G G G G G s R s C +++++=2-9 试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数)()(s R s C 。

C(s)R(s))(1)(113213H G G G G G +++ H 3C(s)++ _ G 1 G 4G 3 H 1 G 2 G 2 H 21/G 1 _ + R(s) R(s) G 4+G 2G3 12111H G G G + H 3+H 2/G + _ C(s)))((1)(3124321214321H G H G G G H G G G G G G +++++ C(s)R(s)_+0.7s214.0+-0.5Ks0.413.012++s s +++_R(s) C(s)解：化简过程如下系统的传递函数为()()()()52.042.018.17.09.042.07.023++++++=s k s k s s s R s C 2-10 绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数)()(s R s C 。

++ 0.76.02.0+-s 13.012++s s 0.4Ks__R(s) C(s)+ _Ks0.708.0)6.0)(13.0(6.02-++++s s s sR(s)C(s) 52.0)42.018.1()7.09.0(42.07.023++++++s k s k s sC(s)R(s) G 1H 1 G 2H 2G 4G 3_+++++R(s) C(s)图2-T-10系统的传递函数为()()4232121123211G H G G H G G H G G G G s R s C ++-+=2-11 试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数)()(11s R s C 和)()(22s R s C （设0)(2=s R ）。

解：系统信号流程图如图所示。

题2-11 系统信号流程图()()()()2154214212654212215421421321111H H G G G G G G G H G G G G G s R s C H H G G G G G G G G G G s R s C -++=-++=2-12 求图2-T-12所示系统的传递函数)()(s R s C 。

+ _ C 1(s)+ G 1G 6G 4H 1 G 3H 2 G 2G 5+_ + +R 2(s) R 1(s) C 2(s)图2-T-11解：(a) 系统只有一个回环：cdh L =∑1，在节点)(s R 和)(s C 之间有四条前向通道，分别为：abcdef P =1，abcdi P =2，agdef P =3，agdi P =4，相应的，有：14321=∆=∆=∆=∆则cdhagdiagdef abcdi abcdef P s R s C n k k k -+++=∆∆=∑=11)()(1 (b) 系统共有三个回环，因此，sC R s C R s C R L 2122111111---=∑， 两个互不接触的回环只有一组，因此，2212122112111sC C R R s C R s C R L =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=∑ 在节点)(s R 和)(s C 之间仅有一条前向通道：22112111111111s C C R sC R sC P =⋅⋅⋅⋅=，并且有11=∆，则1)(11)()(2212112212121121++++=∆⋅∑+∑-=s C R C R C R s C C R R R P L L s R s C 2-13 确定图2-T-13中系统的输出)(s C 。

解：采用叠加原理，当仅有)(s R 作用时，121222111)()(H G G H G G G s R s C ++=， 当仅有)(1s D 作用时，121222121)()(H G G H G G s D s C ++=， R(s) _+ G 1G 2 H 1H 2+++ +++__D 1(s)D 3(s)D 2(s) C(s)图2-T-13当仅有)(2s D 作用时，121222231)()(H G G H G G s D s C ++=-， 当仅有)(3s D 作用时，12122121341)()(H G G H G H G G s D s C ++-= 根据叠加原理得出12122312122122143211)()()()()()()()()(H G G H G s D H G G s D G s D G s R G G s C s C s C s C s C ++--+=+++=第三章3-1 设系统的传递函数为2222)()(nn n s s s R s C ωζωω++= 求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。

解：当输入为单位斜坡响应时，有t t r =)(，21)(ss R =所以有222212)(s s s s C n n n ⋅++=ωζωω 分三种情况讨论 （1）当1>ζ时，()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+-=-±-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---221221222,1111212122ζζζζωζωζωζζωζζωζζt t n n nn n e e t t c s （2）当10<<ζ时，()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=-±-=-ζζωζωζωζωζζζω22222,11arctan 21sin 1121t et t c j s n tnnn n（3）当1=ζ时，⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-=-t e t t c s n t n nn n 2122)(2,1ωωωωω 设系统为单位反馈系统,有()()()()()2222nn n r s s s s R s c s R s E ωζωζω+++=-= 系统对单位斜坡输入的稳态误差为()nn n n s sr s s s s s s im e ωζωζωζω22212220=+++⋅⋅=→ 3-2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。