概率论与数理统计课后习题答案1习题答案第1章 三、解答题1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤， 又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以(1) 当)()(B A P B P =时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P ==0.6.(2)1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因为)()(B A P AB P =，即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ，所以.1)(1)(p A P B P -=-=4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ．解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)(=-=AB P AB P .5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有410C n=种，以下求至少有两只配成一双的取法k ： 法一：分两种情况考虑：15C k=24C 212)(C +25C 其中：2122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：!2161815C C C k ⋅⋅=+25C其中：!2161815C C C ⋅⋅为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k-=+25C11图？11．随机地向半圆220x ax y -<<（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率． 解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，θ表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 Ω={(x ，y )：220,20x ax y a x -<<<<}事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π” ={(x ，y )：40,20,202πθ<<-<<<<x ax y a x }因此211214121)(222+=+=Ω=πππa aa A A P 的面积的面积．12．已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，求)(B A P ． 解：,1213141)()()(=⨯==A B P A P AB P ,6121121)|()()(=÷==B A P AB P B P.311216141)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。

设A =“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；321)(1)(21026=-=-=C C A P A P ，152)(21024==C C B P ，5132/152)()()()()|(====A PB P A P AB P A B P14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？解：设A =“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则52)(,53)(1512===A P C C A P ，由全概率公式得,45235253)|()()|()()(19141915=⨯+⨯=+=C C C C A B P A P A B P A P B P2由贝叶斯公式得.23154523/53)()|()()|(1915=⨯==C C B P A B P A P B A P15．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？ 解：设M =“原发信息是A ”，N =“接收到的信息是A ”， 已知,01.0)|(,02.0)|(==M N P M N P .32)(=M P 所以,99.0)|(,98.0)|(==M N P M N P ,31)(=M P由贝叶斯公式得.197196)01.03198.032(98.032)|()()|()()|()()|(=⨯+⨯÷⨯=+=M N P M P M N P M P M N P M P N M P16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为41,31,51，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：设A i =“第i 个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知,41)(,31)(,51)(321===A P A P A P 所以,43)(,32)(,54)(321===A P A P A P 至少有一人能将此密码译出的概率为.534332541)()()(1)(1221321=⨯⨯-=-=-A P A P A P A A A P17．设事件A 与B 相互独立，已知P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.7，求)(A B P .解：由于A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B ),且P (A ∪B )=P (A )+ P (B ) - P (AB )= P (A )+ P (B ) - P (A )P (B )将P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.7代入上式解得 P (B ) = 0.5，所以.5.05.01)(1)()()(1)()(1)(1)(=-=-=-=-=-=B P A P B P A P A P AB P A B P A B P或者,由于A 与B 相互独立,所以A 与B 相互独立，所以.5.05.01)(1)()(=-=-==B P B P A B P18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？ 解：设A =“甲射击目标”，B =“乙射击目标”，M =“命中目标”， 已知P (A )=P (B )=1,,5.0)(,6.0)(==B M P A MP 所以).()()()()(AB P B A P B A P AB B A B A P M P ++==由于甲乙两人是独立射击目标，所以.8.05.06.05.04.05.06.0)()()()()()()(=⨯+⨯+⨯=++=B P A P B P A P B P A P M P75.08.06.01)()|()()()()|(=⨯===M P A M P A P M P AM P M A P319．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？解：设A i =“第1种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2,3； B i =“第2种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2. （1）根据题意，P (A 1)=0.7，P (A 2)=0.8，P (A 3)=0.9，P (B 1)=0.7,P (B 2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为P (A 1A 2A 3)= P (A 1)P (A 2)P (A 3)=,504.09.08.07.0=⨯⨯第二种工艺加工得到合格品的概率为P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=,56.08.07.0=⨯可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。

（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P (B 1)=P (B 2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=.49.07.07.0=⨯可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

1．设两两相互独立的三事件A ，B 和C 满足条件ABC = ∅，,21)()()(<==C P B P A P 且已知169)(=C B A P ，求P (A )．解：因为ABC = ∅，所以P (ABC ) =0, 因为A ，B ，C 两两相互独立，),()()(C P B P A P ==所以2)]([3)()()()()()()()()(A P C P A P C P B P B P A P AC P BC P AB P =++=++由加法公式)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=得169)]([3)(32=-A P A P 即 0]1)(4][3)(4[=--A P A P 考虑到,21)(<A P 得.41)(=A P 2．设事件A ，B ，C 的概率都是21，且)()(C B A P ABC P =，证明： 21)()()()(2-++=BC P AC P AB P ABC P ．证明：因为)()(C B A P ABC P =，所以)]()()()()()()([1)(1)(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P ABC P +---++-=-= 将21)()()(===C P B P A P 代入上式得到 )]()()()(23[1)(ABC P AC P BC P AB P ABC P +----=整理得.21)()()()(2-++=AC P BC P AB P ABC P3．设0 < P (A ) < 1，0 < P (B ) < 1，P (A |B ) +1)|(=B A P ，试证A 与B 独立．证明：因为P (A |B ) +1)|(=B AP ，所以4,1)(1)(1)()()()()()(=--+=+B P B A P B P AB P B P B A P B P AB P将)()()()(AB P B P A P B A P -+=代入上式得,1)(1)()()(1)()(=-+--+B P AB P B P A P B P AB P两边同乘非零的P (B )[1-P (B )]并整理得到),()()(B P A P AB P =所以A 与B 独立.4．设A ，B 是任意两事件，其中A 的概率不等于0和1，证明)|()|(A B P A B P =是事件A 与B 独立的充分必要条件．证明：充分性，由于)|()|(A B P A B P =，所以,)()()()(A P B A P A P AB P =即,)(1)()()()(A P AB P B P A P AB P --=两边同乘非零的P (A )[1-P (A )]并整理得到),()()(B P A P AB P =所以A 与B 独立.必要性：由于A 与B 独立，即),()()(B P A P AB P =且,0)(,0)(≠≠A P A P 所以一方面),()()()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===另一方面),()()()()()()()()()()|(B P A P B P A P B P A P AB P B P A P B A P A B P =-=-==所以).|()|(A B P A B P =5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2p.(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率． (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率． 解：设A i =“第i 次及格”，i=1，2.已知,2)|(,)|(,)(12121p A A P p A A P p A P === 由全概率公式得2)1()|()()|()()(21211212p p p A A P A P A A P A P A P -+=+= (1) 他取得该资格的概率为.232)1(),|()()()()()()()(22212121212121p p p p p p p A A P A P A P A P A A P A P A P A A P -=--++=-+=-+=(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为.122)1()()|()()()()|(2212122121+=-+⨯===p pp p p p p A P A A P A P A P A A P A A P56．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．解：设A i =“一箱产品有i 件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”. 已知,31)()()(210===A P A P A P ,1.0)|(,02.0)|(==M N P M N P由全概率公式,109)1081091(31)|()()|()()|()()(221100=++=++=A M P A P A M P A P A M P A P M P,1011091)(1)(=-=-=M P M P 又,98.002.01)|(1)|(=-=-=M N P M N P由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为.892.01.010198.0109)|()()|()()(=⨯+⨯=+=M N P M P M N P M P N P 7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率． 解：A =“一产品真含有杂质”，B i =“对一产品进行第i 次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B 1，B 2发生了，而B 3未发生. 又知,9.0)|(,8.0)|(==A B P A B P i i,4.0)(=A P 所以,1.0)|(,2.0)|(==A B P A B P i i ,6.0)(,4.0)(==A P A P所求概率为,)|()()|()()|()()()()|(321321321321321321A B B B P A P A B B B P A P A B B B P A P B B B P B B AB P B B B A P +==由于三次检验是独立进行的，所以.905.09.01.01.06.02.08.08.04.02.08.08.04.0)|()|()|()()|()|()|()()|()|()|()()|(321321321321=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P B B B A P8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？ (2) 都不被击毁的概率等于多少？解：设A i =“第i 次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4. 已知,3.0)()(31==A P A P ,35.0)()(42==A P A P 所以,7.0)()(31==A P A P ,65.0)()(42==A P A P(1) 火炮被击毁的概率为356475.035.07.065.07.035.07.0)()()()()()()()()(432121432121432121=⨯⨯⨯+⨯=+=+=A P A P A P A P A P A P A A A A P A A P A A A A A A P坦克被击毁的概率为64365.03.065.07.03.0)()()()()()()(321132113211=⨯⨯+=+=+=A P A P A P A P A A A P A P A A A A P(2) 都不被击毁的概率为.207025.065.07.065.07.0)()()()()(43214321=⨯⨯⨯==A P A P A P A P A A A A P9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是21，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率． 解：A i =“甲第i 局获胜”， B i =“乙第i 局获胜”，B i =“丙第i 局获胜”，i=1,2,….， 已知,...2,1,21)()()(====i C P B P A P i i i ，由于各局比赛具有独立性，所以 在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为,71...212121...)(963987654321654321321=+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= C C A B C A B C A C C A B C A C C A P 同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为,71丙得冠军的概率为,72712=⨯甲、乙得冠军的概率均为.145)721(21=-第二章2一、填空题： 1. {}x X P ≤，)()(12x F x F -2. ==}{k X P k n kk np p C --)1(，k = 0，1，…，n 3.0,!}{>==-λλλe k k X P k为参数，k = 0，1，…4.λ+115. ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0 ,1)(b x a a b x f 6.+∞<<-∞=--x ex f x ,21)(222)(σμσπ7.+∞<<-∞=-x e x x ,21)(22πϕ8.)()(σμσμ-Φ--Φa b9.710.649 分析：每次观察下基本结果“X ≤1/2”出现的概率为412)(2121-==⎰⎰∞xdx dx x f ，而本题对随机变量X 取值的观察可看作是3重伯努利实验，所以{}649)411()41(223223=-==-C Y P 11.{}7257.0)212.2(212.2212.2=-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=<X P X P , {},8950.01)3.1()4.2()3.1()4.2()216.1()218.5(218.521216.15.86.1=-Φ+Φ=-Φ-Φ=--Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--=<<-X P X P 同理，P {| X | ≤ 3.5} =0.8822. 12.{})31(3113)(-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤=≤+==y F y X P y X Y P y G . 13.4813，利用全概率公式来求解： {}{}{}{}{}{}{}{}{}.4813414141314121410 442332 2221122=⨯+⨯+⨯+⨯====+===+===+=====X P X Y P X P X Y P X P X Y P X P X Y P Y P 二、单项选择题：1. B ，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导F (-a)=dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f aa⎰⎰⎰⎰⎰-===∞--∞-00a -0a-0)(21)(-21)(-)()(2. B ，只有B 的结果满足1)(lim )(==+∞+∞→x F F x3. C ，根据分布函数和概率密度的性质容易验证4. D ，⎩⎨⎧<≥=2,2,2X X X Y，可以看出Y 不超过2，所以 {}{}0,2,12,12,12 ,12,2 ,1)(0>⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎩⎨⎧<≤≥=≤=--⎰θθθϑy e y y dx e y y y X P y y Y P y F y x y Y ， 可以看出，分布函数只有一个间断点.5. C, 事件的概率可看作为事件A （前三次独立重复射击命中一次）与事件B （第四次命中）同时发生的概率，即p p p C B P A P AB P p ⋅-===-2313)1()()()(.三、解答题（A ）1．(1)8分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有1-612⨯C （这里12C 指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为612⨯C 多算了一次）或1512+⨯C 种，故{}36113615361-611212=+⨯=⨯==C C X P ,其他结果类似可得.(2)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 363243 36273236202136111 0 x x x x x x x ，，，，，，，2．注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然{}1261299510===C X P. 3．1!0==-∞=∑λλae k a k k，所以λ-=e a .94．(1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=<=3x 132432141-1x 03x 132}2{}1{21}1{-1x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x f ，(2){}41121=-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X p X P 、 {}2122523===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<X P X P 、{}{}{}{}{}{}43323232==+=====≤≤X P X P X X P X P ； 5．(1){}3121121121lim 212121222242=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++==∞→i i iX P 偶数， (2){}{}16116151415=-=≤-=≥X P X P ， (3){}7121121121lim 21333313=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∞→∞=∑i i i i X P 的倍数.6．(1) ()()5.15.0~P t P X = {}5.10-==e X P .(2)5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P .7．解：设射击的次数为X ，由题意知().20400~，B X{}{}kk k kC X P X P -=∑-=≤-=≥4001040098.002.011129972.028.01!81810=-=-≈-=∑e k k K ，其中8=400×0.02.8．解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数，().305~，B X 则指示灯发出信号的概率{}{})7.03.07.03.07.03.0(131********55005C C C X P X P p ++-=<-=≥=1631.08369.01=-=；9. 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则51)(xex F --=，{}2)10(110-=-=>e F X P，()25~-e B Y ，则50,1,k ,)1()(}{5225 =-==---k k k e e C k YP0.516711}0{-1}1{52=--===≥-）（e Y P Y P10. (1)、由归一性知：⎰⎰-∞+∞-===222cos )(1ππa xdx a dx x f ，所以21=a .10(2)、42|sin 21cos 21}4{404===<<⎰πππx xdx X P . 11. 解 （1）由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim11F x F x F x x ==-→+→，即A=1.（2）{}=<<7.03.0X P4.0)3.0()7.0(=-F F .（3）X 的概率密度⎩⎨⎧<<='= ,010,2)()(x x x F x f . 12. 解 因为X 服从（0，5）上的均匀分布，所以⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他05051)(x x f若方程024422=+++X Xx x 有实根，则03216)4(2≥--=∆X X ，即12-≤≥X X ，所以有实根的概率为{}{}53510511252152==+=-≤+≥=⎰⎰-∞-x dx dx X P X P p 13. 解: (1) 因为4)(3~，N X 所以)2()5(}52{F F X P -=≤<5328.016915.08413.01)5.0()1(=-+=-Φ-Φ={})4()10(104--=≤<-F F X P996.01998.021)5.3(21)5.3()5.3(=-⨯=-Φ=--Φ-Φ={}{}212≤-=>X P X P {}221≤≤--=X P[])2()2(1---=F F [])5.2()5.0(1-Φ--Φ-=[])5.0()5.2(1Φ-Φ-=3023.01-=6977.0={}{}313≤-=>X P X P )3(1F -=)0(1Φ-=5.01-=5.0=(2){}{}c X P c X P ≤-=>1，则{}21=≤c X P 21)23()(=-Φ==c c F ，经查表得21)0(=Φ，即023=-c ，得3=c ；由概率密度关于x=3对称也容易看出。