直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
【知识通关】
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式
(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α.
(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
. 3．直线方程的五种形式
1．直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：
2.当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，α越大，l 的斜率越大；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π时，α越大，l 的斜率越
大．
【基础自测】
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )
(3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )
(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) A .3 B ．－ 3 C .
33
D ．－
33
D
3．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( ) A .3x －3y ＋6＋3＝0 B .3x －3y －6＋3＝0 C .3x ＋3y ＋6＋3＝0 D .3x ＋3y －6＋3＝0 A
4．如果A ·C ＜0且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
C
5．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0
【题型突破】
直线的倾斜角与斜率的应用
【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫
α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )
A .⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π6，π3 B .⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，π3
C .⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2 D .⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，2π3 (2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直
线l 斜率的取值范围为________．
(1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)
[母题探究] (1)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．
(2)若将本例(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围．
[解] (1)∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－(－1)＝1
3，
k BP ＝
3－0
0－(－1)
＝3.
如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
13，3.
(2)如图，直线PA 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°， 由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)． [方法总结] 1.求倾斜角的取值范围的一般步骤 (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围.
(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围.,求倾斜角时要注意斜率是否存在. 2.斜率的求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率.
(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
(x 1≠x 2)求斜率. (1)已知点(－1,2)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫
33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则
直线l 倾斜角的取值范围是( ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，π3 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π4，π C .⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，5π6 D .⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，3π4
(2)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π4，则点P 的横坐标的取值范围为( )
A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12
B ．[－1,0]
C ．[0,1]
D .⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1 (1)D (2)A
直线方程的求法
【例2】 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；
(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．
[解] (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，得BC 的方程为y －1
3－1
＝x －2
－2－2
，即x ＋2y －4＝0.
(2)设BC 边的中点D (x ，y )，则x ＝
2－22＝0，y ＝1＋3
2
＝2. BC 边的中线AD 过A (－3,0)，D (0,2)两点，所在直线方程为x －3＋y
2
＝1，即2x －3y ＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－1
2，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝
2.
所求直线方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. [方法总结] 求直线方程应注意以下三点
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件. (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).
(3)截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.
(1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距
的2倍，则该直线的方程为________．
(2)若直线经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________．
(1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0(2)3x－y＋6＝0。