第九章 中心对称图形—平行四边形 综合测试卷（B ）
一、精选择题(每题3分，共24分)
1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是 ( )
2．对角线互相垂直平分的四边形是 ( )
A ．平行四边形、菱形
B ．矩形、菱形
C ．矩形、正方形
D ．菱形、正方形
3．用两块边长为a 的等边三角形纸片拼成的四边形是 ( )
A ．等腰梯形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
4．下列图形：①等腰三角形；②平行四边形；③矩形；④菱形；⑤正方形．用两个全等但不是等腰的直角三角形，一定能拼成的是 ( )
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③⑤
D ．①②③④⑤
5．如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，∠BEG ﹥60⁰，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为 ( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
6．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME=MC ．以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为 ( )
A 1
B ．3
C 1
D 1
7．如图，OA ⊥OB ，等腰Rt △CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD=45⁰．将△CDE 绕点C 逆 时针旋转75⁰，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则OC CD
的值为 ( )
A ．12
B ．13
C ． 2
D 8．如图，矩形ABCD 的面积为20 cm 2，对角线交于点O ；以AB 、AO 为邻边作平行四边形AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB 、AO ，为邻边作平行四边形AO 1C 2B ．．．；依此类推，则平行四边形AO 4 C 5B 的面积为 ( )
A ．54 cm 2
B ．58 cm 2
C ．516 cm 2
D ．532
cm 2
二、填空题(每题2分，共20分)
9．如图，平行四边形ABCD中，AE=CG，DH=BF，连接E、F、G、H、E，则四边形EFGH 是．
10．如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线L上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是．(填一个即可)
11．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF=3，AE=5，则AD ．
12．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若∠DAE：∠BAE=3：1，则∠EAO= ．
13．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8 cm，BD=6 cm，DH⊥AB于点H，则DH =
14．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是．
15．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90⁰,若AB=5，BC=8，则EF的长为．
16．如图，菱形ABCD中，∠B=60⁰，AB= 4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为．
17．如图，△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对
称，CE交x轴于点H．若E点的坐标是(7，一，则D点的坐标是．
18．如图，E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90⁰到△CBE’的位置．若AE=I，BE=2，CE=3，则么BE’C=．
三、解答题(共56分)
19．(本题8分)如图，在□ABCD中，直线EF∥BD，并且与CD、CB的延长线分别交于E、F，交AD于M，交AB于N．求证：．EN=FM
20．(本题7分)已知：如图，△ABC中，∠C=90⁰，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC 于F．求证：四边形CFDE是正方形．
21．(本题8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，∠B=90⁰，AG∥CD交BC 于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；
(2)当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．
22．(本题9分)如图，已知在菱形ABCD中，∠B=72⁰，请设计三种不同的方法，将菱形ABCD 分割成四个三角形，使每个三角形都是等腰三角形．(要求画出分割线段，标出所得的三角形内角的度数．两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法)
23．(本题12分)如图，在口ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BD、AC交于
点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．
(1)试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；
(2)证明：当旋转角为90⁰时，四边形ABEF是平行四边形；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，求
出此时AC绕点O顺时针旋转的角度．
24．(本题12分)已知，矩形ABCD中，AB=4 cm，BC=8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
(1)如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
(2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一
周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，当A、C、
P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：cm，a b≠0)，已知A、C、P、Q四点为
顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
参考答案
一、1．B 2．D 3．B 4．A 5．B 6．D 7．C 8．B
二、9．平行四边形 10．BE ⊥CF(答案不唯一) 11．7 12．45。
13．4.8 14．对角线
互相垂直的四边形 15．1.5 16．16 17．(5，0) 18．135。
三、19．证明：∵在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ．AD ∥BC ，又∵EF ∥BD ，∴四边形BNED
和四边形FBDM 为平行四边形，∴FM=BD 。
EN=BD 。
∴EN=FM ．
20．∵ DE ⊥BC ．DF ⊥AC ∴∠CFD=∠CED=90。
，又∵∠ACB=90。
，∴四边形CFDE 是矩形．又
∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DF=DE ，∴矩形CFDE 是正方形．
21．(1)证明：∵AD ∥BC ，AG ∥CD ，∴四边形AGCD 为平行四边形，∴AG=CD ，又∵点
E 、
F 分别为A
G 、CD 的中点，∵EG=12AG=12
Dc=DF ，∴四边形DEGF 是平行四边形． (2)连接DG ，∵G 为BC 中点，∴BG=CG ，由(1)得：AD=CG ，∴AD=BG ，又∵AD ∥BC ，
∴四边形ABGD 为平行四边形，∴AB ∥DC ，又∠B=90。
，∴∠DGC=∠B=90。
，
∴GF=12
CD=DF ，∴平行四边形DEGF 为菱形． 22．方法多样，提供几例仅供参考
23．解：(1)在□ABCD 中，AD ∥BC ，OA=OC ，
∴∠1=∠2．在△AOF 和△COEE 中，∠1=
∠2，OA=OC ，∠3=∠4，．∴△AOF ≌
△COE(ASA)，∴AF=CE
(2)由题意，∠AOF=90。
(如图1)，
又∵AB ⊥AC ，∴∠BAO=90︒，∠AOF=90︒，∴∠BAO=∠AOF 壬，∴BA ∥EF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，即AF ∥BE ．
∵BA ∥EF ，AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形．
(3)当EF ⊥BD 时，四边形BEDF 是菱形
(如图2)．
∵AF=CE ，AD ∥BC ，AD=BC ，∴ FD ∥BE ；DF —BE ，∴四边形
BEDF 是平行四边形．又∵EF ⊥BD ，∴口BEDF 是菱
形．∵AB ⊥AC ，∴∠BAC=90︒，∴BC 2=AB 2+AC 2．
∵∴∵四边形ABCD 是平行四边形。
∴OA=12AC=12
×2=1 ∵在△AOB 中，AB=AO=1, ∠BAO=90︒
∴∠1=45︒
∵EF ⊥BD, ∴∠BOF=90︒
∴∠2=∠BOD-∠1=90︒-45︒=45︒，即旋转角为45︒
24．(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCD，又∵EF垂直平分AC．∴AO=CO，又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE=CF，
∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥ AC，∴平行四边形AFCE为菱形．∴AF
=CF．设AF=x，则CF=x，BF=BC-CF=8-x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，42+(8--x)2=x2，x=5．∴AF=5．
(2)①情况一：当P在AF上，Q在CD上时，四边形APCQ显然不可能是平行四边形．情况二：当P在BF上，Q在ED上时，则当BP=DQ时，四边形APCQ为平行四
边形，即8--5=4t一4，t=4
3
．情况三：当P在AB上，Q在ED上时，显然四边形
APCQ不可能为平行四边形；情况四：当P在AB上，Q在EC上时，四边形APCQ显
然不可能为平行四边形．∴当t=4
3
时，四边形APCQ为平行四边形．
②a+b=12．。