课时作业(三十四)[19.2 1. 第2课时菱形性质的应用]一、选择题图K－34－11．如图K－34－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛的对角线AC的长是( )A．6 3 m B．6 m C．3 3 m D．3 m2．已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的长度之比是4∶3，则这个菱形的面积是( )链接听课例1归纳总结A．12 cm2B．24 cm2C．48 cm2D．96 cm23．如图K－34－2所示，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数为( )A．78°B．75°C．60°D．45°图K－34－2K－34－34．如图K－34－3，菱形ABCD的周长为8 cm，BC边上的高AE为 3 cm，则对角线AC和BD的长度之比为( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶ 2 D．1∶35．如图K－34－4，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于( ) A．50°B．60°C．70°D．80°6．如图K－34－5，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长为( )A．1 B.2C．2－ 2 D．2－2 2图K－34－5图K－34－67．如图K－34－6，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，点D在CE上，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是( )A. 3 B．2 C．3 D.2二、填空题图K－34－78. 如图K－34－7，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为________cm2.链接听课例1归纳总结9．如图K－34－8，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝________．图K－34－8图K－34－910．如图K－34－9，菱形ABCD的周长为8 5，对角线AC和BD相交于点O，AC∶BD＝1∶2，则AO∶BO＝________，菱形ABCD的面积S＝________．11．在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．三、解答题12．如图K－34－10，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD 交AD的延长线于点F.求证：DF＝BE.图K－34－1013．如图K－34－11，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．图K－34－1114．如图K－34－12所示，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，连结DP，交对角线AC于点E，连结BE.(1)试说明：∠APD＝∠CBE；(2)若∠DAB＝60°，则点P运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的1？为什么？链接听课例2归纳总结4图K－34－1215．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图K－34－13①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图K－34－13②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．图K－34－13规律探究如图K－34－14所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连结AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°……按此规律所作的第n个菱形的边长为________．图K－34－14详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] B 易知△ABC 为等边三角形，所以AC ＝AB ＝6 m . 2．[答案] B3．[解析] B 连结BD.∵四边形ABCD 为菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∠ADC ＝120°，∠C ＝60°.∵P 为AB 的中点，∴DP 为∠ADB 的平分线，即∠ADP ＝∠BDP ＝30°，∴∠PDC ＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE ＝∠PDE ＝45°.在△DEC 中，∠DEC ＝180°－(∠CDE ＋∠C)＝75°.4．[解析] D 由菱形ABCD 的周长为8 cm 得边长AB ＝2 cm .又因为高AE 为 3 cm ，所以∠ABC ＝60°，△ABC ，△ACD 均为等边三角形，AC ＝2 cm ，BD ＝2AE ＝2 3 cm .故对角线AC 和BD 的长度之比为1∶ 3.5．[解析] B 连结BF ，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，∴∠FAB ＝∠DCF ＝40°.∵EF 垂直平分AB ，∴AF ＝BF ，则∠FAB ＝∠FBA ＝40°，∴∠CFB ＝∠FAB ＋∠FBA ＝80°，∴∠DFC ＝80°.在△CDF 中，∠CDF ＝180°－80°－40°＝60°.6．[解析] C ∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ＝2，由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴CB ′＝BB ′－BC ＝22－2.∵AB ∥CD ，∴∠FCB ′＝∠B ＝45°.又由折叠的性质知，∠B ′＝∠B ＝45°，∴CF ＝FB′＝2－ 2.故选C .7．[答案] A8．[答案] 23[解析] 由勾股定理，得DE ＝22－12＝3(cm )，所以菱形ABCD 的面积为AB·DE＝2 3 cm 2. 9．[答案]125[解析] 因为AC ＝8，BD ＝6，所以AO ＝4，BO ＝3.根据勾股定理，得AB ＝32＋42＝5.在Rt △ABO 中，根据三角形的面积关系，得5OH ＝3×4，所以OH ＝125.10．[答案] 1∶2 16[解析] ∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，AC ⊥BD ，∴AO ∶BO ＝AC ∶BD ＝1∶2.∵菱形ABCD 的周长为85，∴AB ＝2 5.设AO ＝k ，BO ＝2k ，则AB ＝k 2＋（2k ）2＝5k ＝2 5，∴k ＝2，∴AO ＝2，BO ＝4，∴菱形ABCD 的面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×4×4＝16.11．[答案] 105°或45° [解析] 如图．当点E 与点C 在BD 两侧时， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠A ＝∠C ＝30°，∠ABC ＝∠ADC ＝150°，∴∠DBA ＝∠DBC ＝75°. ∵ED ＝EB ，∠DEB ＝120°， ∴∠EBD ＝∠EDB ＝30°，∴∠EBC ＝∠EBD ＋∠DBC ＝105°. 当点E′与点C 在BD 同侧时， ∵∠DBE ′＝30°，∴∠E ′BC ＝∠DBC －∠DBE′＝45°， ∴∠EBC ＝105°或45°.12．证明：如图，连结AC. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠DAB ，CD ＝CB. ∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CF ＝CE ，∠CFD ＝∠CEB ＝90°. 在Rt △CDF 与Rt △CBE 中，⎩⎨⎧CD ＝CB ，CF ＝CE ， ∴Rt △CDF ≌Rt △CBE ，∴DF ＝BE.13．解：(1)证明：在▱ABCD 中，AB ＝CD ， BC ＝AD ，∠ABC ＝∠CDA.又∵BE ＝EC ＝12BC ，AF ＝DF ＝12AD ，∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF.(2)∵四边形AECF 为菱形，∴AE ＝EC. 又∵E 是边BC 的中点， ∴BE ＝EC ，∴BE ＝AE.又∵BC ＝2AB ＝4，∴AB ＝12BC ＝BE ＝2，∴AB ＝BE ＝AE ＝2，即△ABE 为等边三角形， 则▱ABCD 的BC 边上的高为3， ∴菱形AECF 的面积为23.14．解：(1)∵菱形ABCD 是以对角线AC 所在直线为对称轴的轴对称图形， 且点C 与点C 对应，点D 与点B 对应，点E 与点E 对应， ∴△CDE 与△CBE 关于直线AC 对称， ∴∠CBE ＝∠CDE.又∵AB ∥DC ，∴∠APD ＝∠CDE ， ∴∠APD ＝∠CBE.(2)当点P 运动到AB 边的中点时，S △ADP ＝14S 菱形ABCD .理由：如图，连结DB.∵∠DAB ＝60°，AD ＝AB ，∴△ABD 是等边三角形．而P 是AB 边的中点，∴DP ⊥AB ，∴S △ADP ＝12AP ·DP ，S 菱形ABCD ＝AB·DP. ∵AP ＝12AB ， ∴S △ADP ＝12×12AB ·DP ＝14S 菱形ABCD ， 即△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的14. 15．证明：(1)连结AC.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC.又∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC.∵∠AEF ＝60°，∴∠FEC ＝90°－60°＝30°.∵∠C ＝180°－∠B ＝120°，∴∠EFC ＝30°，∴∠FEC ＝∠EFC ，∴CE ＝CF.∵BC ＝CD ，∴BC －CE ＝CD －CF ，即BE ＝DF.(2)连结AC ，由(1)得△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°.∵∠BAE ＋∠EAC ＝60°，∠EAF ＝∠CAF ＋∠EAC ＝60°，∴∠BAE ＝∠CAF. ∵四边形ABCD 是菱形，∠B ＝60°，∴∠ACF ＝12∠BCD ＝∠B ＝60°， ∴△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF.又∵∠EAF ＝60°，∴△AEF 是等边三角形．[素养提升][答案] (3)n －1[解析] 如图，连结DB ，交AC 于点O ，则可得△ABD 为等边三角形，所以DO ＝12BD ＝12AD ＝12×1＝12.在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2－DO 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，所以AC ＝3，即第二个菱形的 边长为 3.同理可得第三个菱形的边长为3＝(3)2，第四个菱形的边长为3×(3)2＝(3)3，…，第n个菱形的边长为(3)n－1.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。