第十一章 静不定结构
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能量原理在求解 超静定问题上的应用
概述
已有的基础：
什么是超静定； 求解超静定问题的基本方法； 超静定结构的性质。
现在的问题是：
怎样利用对称性和反对称性减少未知力的个数？ 能量原理如何应用: ---用于写变形协调方程，求方程中的位移量？
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§11-1 超静定问题的解法
E2 A2
的内力及变形，在工程上（如桥梁等）
P 2
应用非常广泛。
B
多余约束：在静定结构上
RB
加上的一个或几个约束，
对于维持平衡来说是不必
要的约束（但对于特定地
工程要求是必要的）称多
余约束。对应的约束力称
多余约束反力（B—固端约
束）
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二、 超静定问题分类
根据结构及其约束的特点，超静定结构分为三类：
超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独 立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定 全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题.
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RA A
相应的结构称超静定结构或静不定结构。
超静定次数：未知力个数与平衡方程
E1 A1
1
数之差，也等于多余约束数
C
由于超静定结构能有效降低结构
1 2
13cos
②
(3)代入物理关系，建立补充方程
13
2
A
2
1
3
A
1
N1 1 E1 A1
N1
E1 A1 cos
3
N3 3 E3 A3
N3 E3 A3
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③
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得:E1A N 11 cLosE N 33A L3cos
④
(4)联立①、④求解：
N1
F
2 cos
E 3 A3
E 1 A 1 cos 2
A
把超静定问题转化为静定问题解，但
必须满足原结构的变形约束条件。
E1 A1
1
例1. 杆上段为铜，下段为钢杆，
C
F
上段 1,截 长面 A 1,弹 积性E1 模量 E2 A2
2
下段 2,截 长面 A2,弹 积性E2模量R B B
杆的两端为固支,求两段的轴力。
解：（1）选取基本静定结构（静定基如图）， B端解除多余约束，代之以约束反力 R B
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（2）求静定基仅在原有外力作用下以及仅在代
替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移
C ACEF1A11()
A
BABRB(E11 A1E2A 22) (RB为负值E） 1 A1
1
（3）比较两次计算的变形量，其值应
C
该满足变形相容条件，建立方程求解。
AC AB0
E2 A2
F 2
RA
E1A1 2F E2 A21 E1A1 2
符号中：第1个下脚标“1”表示该位移在X1 作用点处
沿着X1方向发生；第2个下脚标“P”表示该位移是由
实际载荷P引起的。
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2）由多余约束反力X1作用引起的沿X1方向的位移Δ1 X1
符号中：第1个下脚标“1”表示该位移在X1 作用点处 沿着X1方向发生；第2个下脚标“X1”表示该位移是由 多余约束反力X1引起的。
一. 静定与超静定的概念
引例: 在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠 静力平衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和 尚抬水吃，三个和尚没水吃”，恐怕是最早说到超 静定问题的例子了。
静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立 的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部 未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定 结构。
RB B
RB
E2 A21F E1A1 2 E2 A21)
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2. 几何分析法
解超静定问题的关键是找出求解所
有未知约束反力所缺少的补充方程。 结构变形后各部分间必须象原来一 样完整、连续、满足约束条件----即 满足变形相容条件。
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例2. 结构如图，1、2杆抗拉刚度为
E1A1,3杆E 为 3A3, 在F力作用下，
求各杆内力。
解: (1) 画A结点受力图，建立平衡方程
Fx0:N1N2
①
F y 0 :2 N 1co N s3 F
未知力个数2个，平衡方程数1个，故为一 次超静定。
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A F
N1
N3
N2
A
x
F
y
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(2)如图三杆铰结，画A节点位移图, 列出变形相容条件。要注意所设的 变形性质必须和受力分析所中设定 的力的性质一致。由对称性知
Δ1 X1需要寻找新算法。
C点的总位移：Δ1 P＋Δ1 X1
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若以Δ1表示基本结构在外力(q)及多余约束反力(X1) 的共同作用下C点沿X1方向的位移。
变形比较法: 是一种求解静不定梁的直接通过几何关系建立补充方 程的方法。
力法是一种直接求解未知反力的方法。 基本思想:
是以未知约束反力X（反力偶M）为未知数建立 变形方程。
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基本原理： 1、对于形量，是单位力产生变形量的X
（M）倍。 3、而单位力产生的变形量可用莫尔积分法求解。
N3
1
2
F E 1 A1
cos
3
E 3 A3
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三. 拉（压）杆超静定问题解法的讨论
1、解拉（压）超静定问题必须正确地画出结构 的变形图，
2、然后分析结构特点，找出结构变形前后的不 变量或者等量关系，
3、再用数学方法刻画它,从而给出补充方程。
观察问题的角度不同所采用的方法也会有很大差 异。同一题，不同的解法难、易、繁、简也相去 甚远。我们必须仔细分析找出最恰当的办法来。
通过计算这些变形量，最终求解出未知约束反力。
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例：
简支梁中点有支撑并受均布载荷作用的力法分析。
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一 取基本结构（去多余约束，补多余反力）
在基本结构中，C点的挠度由q及X1载荷产生。
用叠加法：
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二 求C点的总变形 1）由外载荷q作用引起的沿X1方向的位移Δ1 P
１、外力超静定结构－－外部约束存在多余约束。
如：
P
A
B
为一次外力超静定
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２、内力超静定结构－－仅在内部存在多余约束。 如：封闭刚架在一般的横截面上有三种 内部约束力N、Q及M。
P A
m B
内力超静定结构
3、内、 外超静定结构
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三、 拉（压）杆超静定问题的解法：
1. 比较变形法
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1.比较变形法 常用于结构较为简单，一些特定节点位移已知且 计算也较为简单的问题。
2. 几何法分析变形 是求解超静定杆系的基本方法，常用于各杆的变 形关系较为简单，超静定次数较低的杆系的求解。
但是，一般情况下分析变形寻找等量关系较为困难。
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§11－2 用力法解静不定系统