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2．常见数列的求和公式 (1)12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋162n＋1 (2)13＋23＋33＋…＋n3＝nn2＋12
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[小题诊断]
1．(2018·安溪质检)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3
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3．1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)．
解析：设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，① 则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，② ①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn ＝11－－xxn－nxn， ∴Sn＝11－－xxn2－1n－xnx. 答案：11－－xxn2－1n－xnx
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[必记结论]
1．常见的裂项公式
(1)nn1＋1＝n1－n＋1 1.
(2)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
(3)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
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a1＋4d＝5， ∴5a1＋5×25－1d＝15，
∴ad1＝＝11，，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴ana1n＋1＝nn1＋1＝n1－n＋1 1，
∴数列
1 anan＋1
的前100项和为
1－12
＋
12－13
＋…＋
1010－1101
＝1－1101＝110001. 答案：A
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即a21a＋1＋2d3＝ d＝3，5，
解得ad1＝＝11，，
所以Sn＝
nn2＋1，因此k＝n1 S1k＝21－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1＝n2＋n1.
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5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an} 的前n项和，则S2 017＝_－__1_0_0_7__.
第五章 数列 第四节 数列求和
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掌握等差、等比数列的前n项和公式．
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求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式
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[小题纠偏] 1．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N*)，则f(3)＝ _27_(_8_7_－__1_) .
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(5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数 列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求 和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98 ＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
na1＋an
Sn＝
2
＝na1＋ na1＋nn2－1d .
②等比数列的前 n 项和公式
(ⅰ)当 q＝1 时，Sn＝ na1 ；
a11－qn
a1－anq
(ⅱ)当 q≠1 时，Sn＝ 1－q
＝ 1－q
.
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(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等 比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干 项． (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的 推导过程的推广．
－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝( A )
A．9
B．8
C．17
D．16
解析：S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋ 3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1 ＋1＋…＋1＝9.
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4．(2017·高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，
2n
n
S4＝10，则
k＝1
S1k＝___n_＋__1____.
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意，
a1＋2d＝3， 4a1＋6d＝10，
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1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比 数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论． 2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论 中形如an，an＋1的式子应进行合并． 3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即 前剩多少项则后剩多少项．
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解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)， 可得，该数列是期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝ －1，a4＝0，所以S2 017＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 017＝ 504×(－2)＋1＝－1 007.
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2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列
ana1n＋1的前100项和为(
)
A.110001
B.19091
99 C.100
101 D.100
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解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15，