微积分中10大经典问题
最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的
高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。

可惜的是3年多过去了，整理出
的问题不足半百。

再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。

这里入选原则是必须配得起“经典”二字。

知识范围要求不超过大二数学系水平，
尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。

排名不分先后。

1）开普勒定律与万有引力定律互推。

绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉
典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。

大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。

重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！
2）最速降线问题。

该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。

答案
是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。

其解答一般变分书上均有。

本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。

这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。

最速降线问题通过引
入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。

不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。

3）曲线长度和曲面面积问题。

一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以
是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。

如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。

但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。

德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。

4）处处连续处处不可导的函数。

长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。

但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。

这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。

现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。

至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。

其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。

5）填满正方形的连续曲线。

数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是
一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。

结果人们不得不重新
审视以往对曲线的看法。

6)重积分变量替换定理。

该定理可以说是数学分析中比较大的一个定理，选择它的理由
是因为其具有微积分的显著特征，即用一般化的通法代替特殊化技巧性的方法。

微积分
的出现解决了不少以前从为解决的难题，使数学一般化了。

比如求面积，你不再像以往
那样使用特殊的分割技巧，然后求和求极限了，而且范围也更广泛了。

7）泰勒级数和傅立叶级数是如何发现的。

注意这里是发现，而不是证明。

教材中对于一
个定理，往往是直接列出定理，接着证明，最后举例。

但是对于数学思想阐述不够，尤其
是对定理的“发现”过程介绍甚少，而这和定理本身同样重要。

泰勒级数和傅立叶级数源
自于人们这样朴素的思想，即用简单函数表示复杂函数。

而人们所熟悉的简单函数要数幂
函数（整数次）和三角函数了。

泰勒级数来自泰勒多项式，而后者是泰勒从牛顿差分法中
得到的，而且非常不严密。

傅立叶级数是傅立叶用分离变量法解热传导方程（二阶抛物型
偏微分方程）时得到的。

此前欧拉等人也曾得到过类似结果，不过他们大都持怀疑态度。

谁会想到任意一个连续函数可以用和它根本不像的三角函数表示呢？人们对于无穷的认识
还很少。

关于泰勒级数和傅立叶级数是如何发现，大家可以参考《古今数学思想》二三册。

8）多项式逼近连续函数。

泰勒级数提供了用简单函数研究复杂函数的方法，不过它对函数
本身要求也高（要求无穷次可导），这就限制了它的应用范围。

后来人们想对于连续函数，是否存在多项式，使得该函数与多项式之差可以任意小，即用多项式逼近连续函数。

答案
是存在的，魏尔斯特拉斯最早给出了存在性的证明，后来斯通又将其推广为更一般的形式。

值得一提的是伯恩斯坦的证明，他不但证明了逼近多项式的存在性，而且给出了多项式--
---伯恩斯坦多项式的构造方法。

以上证明均可以在张筑生老师的《数学分析新讲》第三册
中找到。

9）格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的统一证明。

这三个公式是微积分中我最喜欢的公
式之一，形式优美，含义深刻。

若将三者统一起来，就得引入外微分。

外微分可以说数学分析中最具有现代特色的内容之一了。

其本身既有抽象性，又有统一性，而且可以向高维情况，流形，微分几何，微分拓扑等进军。

陈省身老先生尤其喜欢用外微分。

外微分一般是数学系的必修课程。

国外比较不错的书推荐《流形上的微积分高等微积分中一些经典定理的现代化处理》（M.斯皮瓦克写的）。

不过该书写的比较简洁、难度很大，最好大二大三去看。

10）不动点定理。

布劳威尔的这个不动点定理可以说是名气大的下人，有个老外写了本科普书叫《20世纪数学的五大指导理论》，里面就有不动点定理。

而且也有专门的书，好象叫《不动点理论》，一般需要涉及拓扑理论。

据说不动点的应用范围远超出数学领域，有兴趣的可以看看《20世纪数学的五大指导理论》这本书。

不动点定理经过适当技术处理是可以放到微积分中的，就二、三维情况的可以看看张老师的《数学分析新讲》第三册。

对于一般的n维情况，米尔诺曾给出一个比较初等的解析证明，该证明可以在齐民友的《重温微积分》（很不错的书）中找到。