j1 i1
j 1
i1
(xij x)2
(xij x j )2
(x j x)2
SST
SSE
SSA
3、计算均方和
均方和
离差平方和 自由度
离差平方和 自由度
SSA
r-1
SSE
r(nj-1)=n-r
SST
n-1
均方和MS MSA=SSA/(r-1) MSE=SSE/(n-r)
自由度：观测值的个数约束条件数 (n 1) (n r) (r 1)
检验统计量：
F
S组间 S组内
/自由度 /自由度
平方和/自由度=均方和 服从F分布
通过F值与其临界值的比较，推断各组均值是否相同。
A NOVA
S A LE S
Between Groups Within Groups Total
Sum of S qu ar es
2531796 4790788 7322584
4、计算检验统计量 和假设检验
建立假设 H0 : x1 x2 x j xr H1 : 各组均值不全相等
F
MSA MSE
SSA/(r 1) SSE /(n r)
～F(r-1,n-r)
培训例
⒈ 计 算 水 平 均 值 和 总 均 值
i
j A课程
1
2058
2
2176
3
3449
4
2517
df 2
12 14
Mean Square 1265897.867 399232.333
F 3.171
Sig. .078
结论：在0.05水平上培训对销售业绩的影响不显著。
单因素方差分析的一般模型
设：因素有r个水平，各水平的实验次数 为nj ，得到样本数据如表
因素水平 试验次数
1
2
1
x11 x12
2
x21 x22
1
3 .986
d均f值1 差 (I-J) df标2 准误 277.220000 399.6112598
显显著著性性 ..470118
95% 置信区间
下限
上限
-722.7890 1277.1890
2
3
976.40000 399.61598
.056 -23.5890 1976.3890
a. Dunnett t 检验将一个组视为一个控制组，并将其与所有其他组进行比较。
5
944
水平均值 2228.8
观测值个数 5
总均值 2369.467
B课程
3339
2777 3020 2437 3067
2928
5
C
2228 2578 1227 2044 1681
1951.6
5
水平均值
nj
xij
x j i1 nj
j 1,2,3
总均值为 x xij n
本例r=3。
3
n n j j 1
方差不等时可选 择的比较方法
与对照组的 配对比较
“选项”对话框：输出统计量
描述统计量
固定因素和随机 效应的统计量
等方差检验 显示均值图
培训-销售业绩SPSS输出结果
方 差 齐 性多检重验比 较
因变量: sales
Dunnett t（双sa侧l）esa
Levene 统
(I) trainsta 计(J)量trainsta
2、计算离差平方和
总离差平方和（总变异S总）
SST
(xij x)2
误差项离差平方和：组内变异S组内
SSE
( xij
x
j
)
2
j i
水平项离差平方和：组间变异S组间
nj
SSA
(x j x)2 n j (x j x)2
j i1
j
三个离差平方和的关系为： SST SSE SSA
检验方法：组间变异是否远大于组内变异
方差分析的术语
因素：一个独立的变量，是方差分析研究的对象。 在例1中，“培训”就是一个待研究的因素。
水平：因素的不同状态就称为“水平”。分组是 按因素的不同水平划分的。例1中，因素“培训” 分为三个水平（A课程、B课程、无训练）。
响应变量(性能指标）：在分组试验中，对试验对 象所观测记录的变量称为“响应变量”，它是受 “因素”影响的变量，如例1中“销售业绩”。
1227
2517
2437
2044
944
2228.8
3067
2928
1681
1951.6
902.028 339.333 518.551
注意 不仅不同组中销售员的业绩有区别，同一组 中接受相同培训的销售员的业绩也有区别
销售培训会提高销售人员的业绩吗？
影响业绩 的因素：
培训课程 随机因素：如个人特质、运气
培训例-续
SST
(xij x)2
(2058 2369.467)2 (2176 2369.467)2
(1681 2369.467)2
7322583.73
SSE
( xij
x
j
)
2
j i
(2058 2228.8)2 (944 2228.8)2
(3339 2928)2 (3339 2928)2
F=3.17<3.89，接受原假设，培训没有显著效果
单因素方差分析过程 one-way ANOVA
分析→比较均值→单因素 ANVOA
响应变量
因素
“对比”对话框：均值多项式比较
例如：4mean1-mean3
“两两比较…”对话框：选择均 值多重比较方法
方差相等时可选 择的比较方法
用t检验完成各组 均值的配对比较
(22281951.6)2 (16811951.6)2
4790788
SSA SST SSE 7322583.73 4790783 2531795.73
组内均方和： MSE SSE 4790788 399232 .33 n r 15 3
组间均方和：
MSA SSA 2531795 .73 1265897 .87
方差分析的类型
单因素方差分析（一维方差分析）：检验由单一因素 影响的一个或几个独立的响应变量的组间均值差异是 否显著。如上例，一个影响因素（培训）的不同水平 对一个响应变量（销售业绩）的影响分析。（oneway ANOVA 过程）
单响应变量多因素方差分析：对一个响应变量是否受 一个或多个因素影响进行分析，包括协方差分析。常 用的是双因素方差分析。（Univariate 过程）
同一组中的数据看成是来自同一总体，它们有一个理论 上的均值，
不同组的数据来自不同总体，一般认为这些总体具有相 同方差（其他条件保持不变），而它们的均值可能相同， 也可能不同。
方差分析的目的：通过假设检验，判断实验因素对响应变 量是否有显著影响，即各组均值是相同，还是不同 一般地，有 r个水平的因素，H0:1=2=…=r= 对上例，r=3
3
x31 x32
3 …j … r
x13 x1j
x1r
x2j
x2r
x3j
x3r
…
i
xi1 xi2
xij
xir
… …
… …
…
xn11 xn2 2
xn j j
xnr r
方差分析步骤
计算各水平均值和 总均值
计算离差平方和：S
F检验
计算检验统计量F
计算均方和： S/自由度
⒈计算水平均值和总均值
因素水平 试验次数
3449
3020
1227
2500.00
s a le s
4
2517
2437
2044
2000.00
5
944
3067
1681
1500.00
均值 2228.8 2928 1951.6
1000.00 5
影响业绩
培训课程
500.00
的因素：
随机因素：如个人特质、运气 1
2
3
tra in s ta
• 从上表可以看出，各组样本数据差异较大，尤其是 3组与1、2组的均值具有一定的差异。这是否说明
多响应变量多因素方差分析：研究一个或多个因素变 量与多个响应变量集之间的关系。（Multivariate 过 程）
重复测量方差分析：因素对响应变量影响的试验如果 是重复测量的，就需要用重复测量方差分析。 （Repeated Measures过程）
二、单因素方差分析
问题的表述和假设
按实验因素水平形成分组数据
变异来源分解，
组内变异（样本与组均值的离差平方和）： 随机因素造成，记作S组内。
组间变异（组均值与总均值的离差平方和）： 可能单纯由于随机因素造成，也可能是因素 的不同水平造成，记作S组间。
S组内+ S组间=S总（总变异：样本与总均值的离差平方和）
S组间和S组内的比值反映了两种差异大小的对比， 比值越大说明因素各个水平引起的差异越显著
三个离差平方和的关系为：
SST SSE SSA
证明：
(xij x)2
((xij x j ) (x j x))2
(xij x j )2
(x j x)2
r nj
2
(xij x j )(x j x)
j1 i1
r nj
r
nj
(xij x j )(x j x) [(x j x) (xij x j )] 0
A课程
B课程
C
方差分析的
1 2
2058 217633源自927772228 2578
检验方法: