3. 的定义解释
是从Cmnn个 不Cnn同m元素中取出m个元素拼成一组，在从n个不同
元素中取出m个元素的同时，n个元素中剩余的n-m个元素就自
然C形mn 成了一组，所以 与 是相对应的，所以两数相等.
Cmn
Cnm n
【辨析】
1.组合与组合数的区别
组合与组合数是两个不同的概念,一个组合是由不同元素合成的一组数,组合
【辨析】
1.排列的概念 排列问题是针对不同元素的排列,若问题中允许元素重复,则不是排列问题. 2.排列与排列数的区别 排列与排列数是两个不同的概念,一个排列是按一定顺序排列的一列数,排列 数是所有不同排列的个数,是一个数.
三、组合 1.组合与组合数
概念
组合,组合数
一般地,从n个不同元素中取出m个元素合成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合, 所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的组合数.
各类方案之间是互斥的、 各步之间是关联的、相
并列的、独立的
互依存的
二、排列 1.排列与排列数
排列,排列数
排列 概念
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素, 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不
排列数 同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个
③④字a与C母knbaa的n,b次k是b数k一之种和“是符n号. ”，它可以是数、式及其他值.
⑤通项公式是对(a+b)n这个标准形式而言的，如(a-b)n的展 开式的通项公式是
Tk1 1 k Cnkankbk .
Ckn (n N*,k 0,1,2,,n)
(2)二项式定理的特征 ①二项展开式有n+1项，比二项式的次数大1. ②二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念. ③要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题.
(3)二项式定理的通项公式 ① 是(a+b)n的第k+1项，而不是第k项. ②字母b的次数与组合数的上标相同.
2.分步乘法计数原理 (1)定义:完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. (2)“分步”的含义：完成一件事要分若干步，各个步骤相互依存，缺一不可， 只有各个步骤都完成后，才能完成这件事.
(3)“乘法”的含义：完成一件事的方法由各步中各种方法数相乘所得. (4)分步原则:分步中必须有一个明确的标准，标准不同分步也不同.分步基本 要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二 是每个步骤的方法之间是无关的，不能互相替代.
元素的排列数,用符号
A
m n
表示
公式 性质 备注
排列,排列数
乘积形式 阶乘形式
A
m n
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
A
m n
n
n!
m!
Ann n!;A0n 1;0! 1
n,m∈N*且m≤n
2.关于排列数公式的推导 排列问题是分步乘法计数原理的典型应用,排列数公式也是由分步乘法计数原 理推导得到的. 3.排列数公式的应用 排列数公式有两类形式,乘积形式常用来计算具体的数字的排列数;阶乘形式 常用来处理含字母的排列数的化简、证明等.
表示
Cmn
公式
性质 备注
乘积形式 阶乘形式
组合,组合数
Cmn
A
m n
A
m m
n n 1n m 1
m!
Cmn
n!
m!n
m!
Cmn
Cnm n
;
Cm n1
Cnm
Cnm1;C0n
1;0! 1
m,n∈N*,且m≤n
2.组合的定义及其理解 (1)定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“合成一组”，合成 一组即表示与顺序无关. (2)当两个组合的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合.当两 个组合中的元素不完全相同时，就是不同的组合.
数是所有不同组合的个数,是一个数字.
2.排列、组合的区别与联系
(1)区别:排列与顺序有关,组合与顺序无关.
(2)联系:由组合数公式 即
所以排列可看成两步,第一步取，第二步
将取出的元素全排列,因此组合可以看成排列的第一步.
Cmn
A
m n
A
m m
,
Amn Cmn gAmm，
四、二项式定理 1.二项式定理 (1)二项式定理
【辨析】 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系
关键词
本质
各类(步) 的关系
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
分类
分步
每类方案都能独立地完 成这件事,它是独立的\, 一次性的,每次得到的都 是最后结果
每一步得到的只是中间 结果,任何一步都不能独 立完成这件事,缺少任何 一步也不能完成这件事, 只有各个步骤都完成了, 才能完成这件事
(4)分类的原则:分类必须有一个明确的标准，标准不同分类也不同，分类的 基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不 同的方法(不重)，每类方法中的每种方法都应独立. (5)对“完成一件事”的理解：完成一件事，即完成既定的任务,如“三封信
投四个信箱”，完成这件事即将三封信投完，应从“信”的角度分析，“五 个人比赛，决出三个项目的冠军”,完成这件事即三项比赛结束,应从项目的 角度分析.
第一章 章末总结/阶段复习课
及时回顾基础有助于提升学科综合素养。本栏目精心梳理单元主干基础知 识，系统全面、层次清晰，便于快速回顾、高效理解，以达事半功倍之目的。
一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理 (1)定义:完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在 第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. (2)“分类”的含义：完成一件事可分为若干类，各类的方法相互独立，各类 中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这 件事. (3)“加法”的含义:完成一件事的方法由各类中的各种方法数相数
公式 a b n C0nan C1nan1b Cknankbk
Cnnbn (n∈N*,k=0,1,2,…,n)称为二项式定理
1 x n 1 C1nx Cn2x2 Cknxk Cnnxn n N *
Tk1 Cnkankbk (n N*, k 0,1, 2,, n)