2
解: 由图示特性可知,系统为2型系统, 开环频率特性应为
ω K (1 + j ) 5 G ( jω ) = ( jω ) 2
ω L(ω ) = 20 lg 2 + 20 lg 1 + ω 5 K
2
0
L(ω)
-- 40dB/dec
-- 20dB/dec 5 10
ω
(1) 利用低频段特性求K值： （已知：ωa=7.07）
s→0
L1 (ω )＝20 log
K
ω
2
= −20 log
ω2
K
7
(Ka=K)
8
9
“2” 型系统Bode图特点:
(1) 起始段为斜率: - 40dB/dec (2) 起始线段(或其延长线)在ω=1处的幅值为:
Ka L1 (ω ) = 20 lg ( jω ) 2
= 20 lg K a = 20 lg K
的交接频率时，斜率增加
(5) 最后在各转折频率附近作误差修正，得精确曲线。
13
3. Bode图相频特性的简捷绘制
● 在低频区，对数相频特性由
−ν × 90 o 开始。
● 在高频段，ω→∞，相频特性趋于
− (n − m) × 90o
● 如果在某一频率范围内，对数幅频特性 L(ω) 的斜率
保持不变，则在此频率范围内，相位也几乎不变。
(2)对于1型系统, 静态位置误差系数为: Kv = K = 10
ess = 1/Kv = 1/K = 1/10 = 0.1
（3）该系统的相位特性
30
ϕ（ω） = -90 − arctg
0
相位特性 ω
0.01
ω
0.01 K (1 + j
+ arctg
ω
)
ω
0.1
− arctg
ω
5
G ( jω ) =
.
“1” 型系统：
K (Ta s + 1)(Tb s + 1)...(Tm s + 1) G( s) = ν s (T1 s + 1)(T2 s + 1)...(T p s + 1)
开环频率特性:
(ν = 1)
ω ω ω + 1)( j + 1)...( j + 1) K( j ωa ωb ωm G ( jω ) = ω ω ω + 1)...( j + 1) jω ( j + 1)( j ω1 ω2 ωp
二、开环频率特性 Bode图的特点及其简捷绘制
■ 从总体看，控制系统的频率特性属低通特性； ■ 起始段特性（低频段）的斜率取决于系统的“型”； ■ 高频段的衰减速率取决于系统的 “阶次差”。 ■ 中间段衰减率变化发生在各环节的转折频率点。
1
1. 起始段特性（低频段）斜率取决于系统的“型” “0” 型系统：
ω =1
（3）起始线段(或其延长线)与 0 dB线 的交点为ωc , 其数值为: ω = K = K
c a
由于:
L1 (ω c )＝20 log
K
ω
2
= 0 , (ω c = K )
10
2 . 对数幅频特性的简捷绘制
G ( s) = (1)将开环传递函数变为时间常数形式： υ 写出对应的开环频率特性。 s
令 : 20 lg
K
ω a2
2 = 0 , K = ωa = 7.07 2 = 50
27
(2) 利用完整幅频特性求K值： （未知ωa 值） 据: 在
L(ω ) = 20 lg
ω 20 lg 1 + + 2 ω 5 K
2
ω
= 10 处, 令 : L(10) ≈ 20 lg
K + 20 lg 2 = 0 2 10
求得: K = 50
1 2 (3) 求输入为 r (t ) = t 时系统的稳态误差 2
2型系统:
Ka = K = 50
ess = 1/Ka = 1/50
28
练习题：已知最小相位 系统的开环对数幅频特性 , 要求: （1） 写出该系统的开环传递函数. （2）确定当 r(t) = t (t ≥ 0) 时的系统误差. （3）试画出该系统的相位特性。
L1 (1)＝20 log
K
ω
= 20 log K = 20 log K v
(3) 起始段(或延长线)与 0dB 线交于ωc 处, 其值为: ωc = Kv = K
L1 (ω c )＝20 log
K
ωc
= 0 ; (ω c = K = K v )
（ωc 称为 0dB 交界频率）
6
“2” 型系统：
K (Ta s + 1)(Tb s + 1)...(Tm s + 1) G( s) = ν s (T1 s + 1)(T2 s + 1)...(T p s + 1)
Φ( ∞ ) = −90 ( n − m ) = 0
25
例3： 已知最小相位系统的开环波特图如图所示:
L(ω)
-- 40dB/dec
-- 20dB/dec 0 5 10
ω
1. 若已知低频段特性曲线的延线与0dB线交于ωa=7.07,确定 此系统的频率特性. 2. 若未知低频段特性曲线的延线与0dB线交点频率ω,确定此 系统的频率特性. 1 2 3.求输入为 r (t ) = t 时系统的稳态误差. 26
开环频率特性:
(ν = 2)
ω ω ω K( j + 1)( j + 1)...( j + 1) ωa ωb ωm G ( jω ) = ω ω ω 2 + 1)...( j + 1) ( jω ) ( j + 1)( j ω1 ω2 ωp
静态加速度误差系数: 起始段特性:
K a = lim s 2G ( s ) = K
18
ϕ（ω） = -90 + arctg
0
ω
2
− arctg
ω
0.5
− arctg
ω
30
19
三、最小相位系统的 Bode 图 最小相位系统频率特性的特点：
1. 如果两个系统有相同的幅频特性，则在整个频率范围 内，最小相位系统的相位滞后总小于非最小相位系统。 2. 最小相位系统的幅频特性与相频特性有唯一的对应关系。 3.最小相位系统的优点: 幅频、相频特性简单，有利于系统的稳定性设计。
对数幅频特性:
L(ω ) = 20 log G ( jω )
静态位置误差系数:
K p = lim G ( s ) = lim G ( jω ) = K
s→0
ω →0
2
低频频特性: L1 (ω ) = 20 log K = 20 log K P
“0”型系统特点:
幅频特性起始段(低频段)为水平线, 对应幅值为20lgKp
● 合理估计每个转折频率点的相位值。
14
绘制L(ω)曲线例题
要求：绘制给定系统开环对数幅频特性. 解：开环传递函数为:
G ( jω ) H ( jω ) = 40( j jω ( j
ω
2
+ 1)
ω
0.5
+ 1)( j
ω
30
+ 1)
分析： 此系统为1型、3阶系统 3个转折频率： ω i
= 0.5,2,30
17
L(ω)
L(ω)曲线
G ( jω ) H ( jω ) = 40( j jω ( j
ω
2
+ 1)
[-20] 40db [-40] 20db 0db 0.1 -20db --40db [-20] 10
ω
0.5
+ 1)( j
ω
30
+ 1)
ω 30 100
0.5
1
2
[-40]
低频段： ω = 0.1 时为52db, ω = 0.5 时为38db 转折频率：0.5 斜率： -40 2 30 -20 -40
开环传递函数(单位反馈系统)
K (Ta s + 1)(Tb s + 1)...(Tm s + 1) G( s) = ν s (T1 s + 1)(T2 s + 1)...(T p s + 1)
开环频率特性:
(ν = 0)
ω ω ω + 1)( j + 1)...( j + 1) K( j ωa ωb ωm G ( jω ) = ω ω ω ( j + 1)( j + 1)...( j + 1) ω1 ω2 ωp
静态速度误差系数:
K v = lim sG ( s ) = K
s→0
低频段：L1 (ω )＝20 log
K
ω
= −20 log
ω
K
(Kv=K)
4
(Kv=K)
5
“1” 型系统Bode图特点: （起始段特性由积分环节决定） (1) 起始段斜率: - 20dB/dec (2) 起始段（或延长线)在ω=1 位置的增益为 20logK .
15
G ( jω ) H ( jω ) =
40( j jω ( j
ω
2
+ 1)
ω
0.5
+ 1)( j
ω
30
+ 1)
低频段：
积分环节
L1 (ω ) = 20 lg
特征点：
40
ω
,
斜率 : −20dB / dec
40 L1 (ω = 1) = 20 lg = 32(dB ) 1