第四节水锤计算的特征线法
前面介绍了水锤计算的解析法。
解析法的优点是应用简便，但难以求解较为复杂锤问题。
水锤计算的特征线法原则上可以解决任何形式的边界条件问题，可以较合理应水轮机的特性，能较方便地计人摩阻的影响，也便于用数字计算机计算。
特征线法有两种，一种以ζ-v（或H-V）为坐标场，一种以x-t为坐标场，两法的结果是一致的。
图14-12 简单管示意图
一、以ζ-v为坐标场的特征线法
图14-12表示一特性沿管长不变的水管，P为管中任意一点，距A点和B点的距离分为和。
根据基本方程式(14-5)和式(14-6)可导出求解P、B、A三点水锤压强时征线方程。
（一）任意断面P的水锤求解
根据基本方程式（14-5）和式（15一6），P点在时刻t的压强和流速变化为
式中上标“P”表示地点，下标“t”表示时间，例如，表示P点在时刻t的水头，余类推。
对于某一确定的断面P，为一常数，为便于书写，在波函数F和f中略去了。
对于A点，在时刻可写出下列相似的方程
因F是由A向P传播的反向波，故。
由于水管特性不变，。
考虑以上关系，将式(a)和式(b)两组方程相减，得
以上二式消去f，并将ζ=△H/Ho、v=V/Vmax和ρ=cVmax/2gHo。
对于B点，在时刻可以写出与式(b)相似的方程
因f是由B向P传播的正向波，故，将式(c)与(a)两组方程相减，以上法处理，得
从形式上看，式（14-35）是反x向写出的，称之为反向方程，在ζ-v坐标场上是一根斜率为2ρ的直线，如图14-13中的线；式（9-36）是顺x向写出的方程，成为正向方程，在ζ-v坐标场上是一根斜率为-2ρ的直线，如图14-13中的线。
图14-13 ζ-v坐标场上得特征线
在式（14-35）和式（14-36）中，如已知A点在时刻和B点在时刻的压强和流速，即可求出P点在时刻t的压强和流速。
和为图14-13中Pt的坐标值，可用
和两条直线的交点求出。
用特征线法求解压强和流速的方法就是过去广为采用的水锤计算的图解法。
（二）进口B点的水锤求解
已知P点在时刻t的压强和流速，列出PB间反向方程
压力水管进口为水库或平水建筑物，,故由上式可确定未知量。
（三）管末A点的水锤求解
已知P点在时刻t的压强和流速，列出PA间的正向方程
上式中有两个未知量和，必须利用A点的边界条件方能求解。
若A点为水斗式水轮机的喷嘴，则在时刻的出流条件为
利用式(14-38)和式(14-39)可求出未知量和。
在图14-13中，式(14-38)代表一根通过Pt
斜率为一2ρ的直线，式（14-39）则为一根抛物线，二者的交点, 的坐标即为待求的和。
式（14-35）-式(14-38)是水锤的特征方程。
已知A点和B点的压强和流速推求P点的压强和流速，再以P点作为已知，并利用边界条件，推求下一时段A点和B点之值，如是反复进行，可求出各点水锤压强和流速的全过程。
以上计算可图解，可手算，也可编出程序借助数字计算机进行。
计算时段为和大公约数的2倍。
若二者的最大公约数很小，为了求出水锤的全过程，可能需要进行数次或更多的反复运算，用计算机来求解这类问题是很理想的。
对于水头较低管路较长的水电站或供水、输油系统，在水锤计算中考虑阻力损失是必要的。
阻力损失与成正比，v有方向性（即有正负），为了在计算中反映v的方向性，以｜v｜v代,｜v｜为v的绝
对值。
在非恒定流时，管道中的流速随着时间和地点而改变，对阻力损失只能近似地予以考虑。
计人阻力损失有不同的方法，比较简便而又有足够精度的决法是将式（14-35）-式（14-38)写成
以上式中，，而；，而
；
其中；
n-糙率；
R -管道水力半径；
H-水电站上下游水位差；
—水管末端A点以上的水头损失。
P按此Ho求出。
考虑阻力损失后，各点的初始压强应注意扣除该点以上的水头损失。
若AP和PB两管段的特性不同，以、、和、、分别代人以上各式，特征方程仍然有效。
但每个特征方程所跨越的管段（如AP段和PB段）则必须是特性不变的。
二、以x-t为坐标场的特征线法
水锤基本方程式(14-1)和式(14-2)有两个自变量x和t，两个因变量H和V，是一组拟线性双曲型偏微分方程组，难于直接求出解析解。
特征线法的原理是在x-t平面建立一组曲线，沿这组曲线将水锤的偏微分方程转换为常微分方程，这组常微分方程的解就是满足上述曲线所给定的x和t特定关系的偏徽分方程的解。
以任意常数又乘以式(14-2)，并与式（14-1）相加，忽略管道坡度的影响，得
选择λ的两个特定值，使
则式(a)成
H和V为x和t的函数。
若x随t的变化而变化，则
以之代人式（c)，得
上式是以t为自变量, H和V为因变量的常微分方程，λ的数值可从式(b)求出，得
流速V远小于波速c，可以略去。
由λ=±g/c得
由λ=-g/c得
式（14-44)和式(14-46）在x-t坐标场代表两族曲线，如图14-14所示。
曲线dx/dt=+c上的点均满足式(14-45)，称正向特征线；曲线dx/dt=-c上的点均满足式(14-47)，称反向特征线。
图14-14 x-t坐标场上的特征线
式（14-45）和式（14-47）与式（14-44）和(14-46）等价，称特征方程，其解就是水锤基本方程式(14-1）和式(14-2)的解。
若将一简单管等分成N段，每段长△x，时间步长△t = △x/c，如图14-15所示。
其中AP线满足式（14-47)，若A点的因变量H和V已知，则沿线将式(14-47)积分，可得P点的未知量H和V。
以cdt/g=dx/g乘以式(14-47)，引人管道的断面积A,以流量Q代流速V,积分得
上式最后一项中Q随x的变化是未知的，若A、P两点的距离不大，可采用一阶近似积分代替式（14-48）的最后一项，得
为了提高计算精度，可将上式的摩阻项略加修正而成
同理，图14-15中的BP线满足式(14-45），以同法处理可得
利用式（14-50）和式（14-51）可求出P点的压头Hp和流量Qp。
由于式中的，
，略加分析即可证明，式（14-50）和式（14-51）与式（14-40）和式（14-41）是完全相同的。
因此，特征线法无论以ζ-v为坐标场或是以x-t为坐标场，其特征线方程相同。
图14-15 特征线法的计算网格
式（14-50）和式（14-51）可简写为
式中，；
，。
由下标A和B者均为已知量，有下标P者为未知量，利用以上二式可解出Hp和Qp。
计算从t=0开始，先求出t=△t时各网格结点的H和Q，继而求出t=2△t时各网格结点的H和Q，循此前进，直至推求到所要求的时间。
式(14-40)和式(14-41)也可以写成式(14-52)和式（14-53）的形式。