上海高一数学常用三角函数公式大全

一、基本概念

1. 角度弧度

a. 正角（顺时针转），负角（逆时针转），零角

b. 360𝑜=2

c. 弧度计算： ||= 𝑙𝑟； 想想通过扇形面积求弧度怎么求？

2. 任意角的三角比

a. 𝑟= √𝑥2+𝑦2≥0

b. sin= 𝑦𝑟 cos= 𝑥𝑟 tan= 𝑦𝑥

c. sec= 𝑟𝑦 csc= 𝑟𝑥 cot= 𝑥𝑦 与上面定义互为倒数

二、诱导公式 （不用背，记住规律，想想就知道答案）

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）

tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z） cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα

公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀 ※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（奇变偶不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）

例如：

sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。

所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。 （理解，并练习）

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．（要求理解并能说明为什么）

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；

第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；

第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦

还有一种按照函数类型分象限定正负：

函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

正弦 .........＋..........＋..........—..........—........

余弦 .........＋..........—..........—..........＋........

正切 .........＋..........—..........＋..........—........

余切 .........＋..........—..........＋..........—........

三、同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系式 （理解记忆，不能死记硬背）

倒数关系:

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系：（知道如何证明自然就记住了）

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

四、两角和公式

（后面公式的基础很重要，正反两个方向都要记住，并能灵活应用）

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

（可通过上面的公式推导下面的公式，试试看）

tan(A+B) =tanAtanB-1tanBtanA

tan(A-B) =tanAtanB1tanBtanA

cot(A+B) =cotAcotB1-cotAcotB

cot(A-B) =cotAcotB1cotAcotB

四、倍角／半角公式

倍角公式 （利用两角和公式证明）

tan2A =Atan12tanA2 Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA

tan3a = tana·tan(3+a)·tan(3-a)

半角公式 (怎么证明？一定要知道，条件要知道，根据A的大小可正可负)

sin(2A)=2cos1A cos(2A)=2cos1A

tan(2A)=AAcos1cos1 cot(2A)=AAcos1cos1

tan(2A)=AAsincos1=AAcos1sin

万能公式 （要求能证明）

sina=2)2(tan12tan2aa cosa=22)2(tan1)2(tan1aa tana=2)2(tan12tan2aa

四、和差化积／积化和差

和差化积 （要求能证明）

sina+sinb=2sin2bacos2ba sina-sinb=2cos2basin2ba

cosa+cosb = 2cos2bacos2ba cosa-cosb = -2sin2basin2ba

tana+tanb=babacoscos)sin(

积化和差 （要求能证明）

sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b) cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]

sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]

五、其它变换

（灵活应用上述公式，重要，要求能够证明，不要求死记） a•sina+b•cosa=)b(a22×sin(a+c) [其中tanc=ab]

a•sin(a)-b•cos(a) = )b(a22×cos(a-c) [其中tan(c)=ba]

1+sin(a) =(sin2a+cos2a)2

1-sin(a) = (sin2a-cos2a)2

六、正余弦定理和解斜三角形

1. 面积公式: 𝑆∆𝐴𝐵𝐶= 12𝑎𝑐sin𝐵= 12𝑏𝑐sin𝐴= 12𝑎𝑏sin𝐶

2. 正弦定理：sin𝐴𝑎= sin𝐵𝑏= sin𝐶𝑐 or 𝑎sin𝐴= 𝑏sin𝐵= 𝑐sin𝐶=2𝑅

3. 余弦定理：

a. 𝑎2=𝑏2+ 𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴 cos𝐴= 𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

b. 𝑏2=𝑎2+ 𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵 cos𝐵= 𝑎2+𝑐2−𝑏2

2𝑎𝑐

c. 𝑐2=𝑎2+ 𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶 cos𝐶= 𝑎2+𝑏2−𝑐2

2𝑎𝑏

七、三角函数

侧重理解，掌握，不要死记硬背

1. 正弦函数 𝑦=sin𝑥； 余弦函数 𝑦=cos𝑥

a. 定义域：（－，＋）

b. 值域：［－1， 1］；最大最小值

i. 取最大（小）值时𝑥的集合

ii. 取0值时𝑥的集合

c. 性质：

i. 周期性，周期：2k𝜋 (𝑘∈𝑍,𝑘≠0); 最小正周期：2

ii. 奇偶性：正弦函数为奇函数；余弦函数为偶函数

iii. 单调区间（长度为的区间）

iv. 图像，根据区间[−π，π]的图像做平移即可。

2. 正切函数(余切函数) 下面以正切为例

a. 定义域，注意有些点没有 𝑥∈𝑅,𝑥≠𝑘𝜋+𝜋2,𝑘∈𝑍

b. 值域：（－，＋）

c. 周期性：𝜋为周期，也是最小正周期

d. 奇偶性：奇函数