要计算出解函数 y(x) 在一系列节点
a x 0 x 1 x n b
处的近似值
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yi y(xi )
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yf(x,y) axb (1 .1 )
y(x 0) y0
(1 .2 )
对微分方程(1.1)两端从 xn到 xn1 进行积分
xn1ydxxn1 f(x,y(x))dx
若存在正的常数 L 使：
(Lipschitz)条件
|f( x ,y 1 ) f( x ,y 2 ) | L |y 1 y 2 | ( 1 .3 )
使 得 对 任 意 的 x [ a , b ] 及 y 1 ,y 2 都 成 立
则称 f (x,y) 对y 满足李普希兹条件，L 称为 Lipschitz常数.
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6.基本知识
本章主要讨论一阶常微方程的初值问题
各
yf(x ,y) a x b (1 .1 )
y(x 0) y 0
(1 .2 )
种 数 值 解
法
其中f (x,y)是已知函数，(1.2)是定解条件也称为 初值条件。
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常微分方程的理论指出：
当 f (x,y) 定义在区域 G=(a≤x≤b,｜y｜＜∞)
内部联系非常复杂
其状态随着 时间、地点、条件 的不同而不同
找出其状态和状态变化规律之间的相互联系， 也即一个或一些函数与他们的导数之间的关系
此种关系的数学表达就为
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微分方程
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2.数值求解微分方程的意义
如何建立数学模型已在建模课程中得到讨论， 各类微分方程本身和他们的解所具有的特性 已在常微分方程及数学物理方程中得以解释，
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6
4.什么是微分方程的数值解?
虽然求解微分方程有许多解析方法,但解析方法 只能够求解一些特殊类型的方程,从实际意义 上来讲
我们更关心的是某些 特定的自变量在某一个 定义范围内的一系列离散点上的近似值.
把这样一组近似解称为 微分方程在该范围内的
数值解
寻20找20/10数/28 值解的过程称为数值求解微分方程。 7
xn
xn
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y(xn1)y(xn)xx n n 1f(x,y(x))dx
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令 g(x)f(x,y(x))
右端积分用 左矩形数值
求积公式
b g (x )d x ( b a )g (a ) g ()(b a )2
a
2
得
yn1yn (xn1xn)f(xn,y(xn))
hf(x ,y(x ))
就可保证方程解的存在唯一性
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若 f (x,y) 在区域 G连续，关于y
满足李普希兹 条件
一阶常微分方程的初值问题的解存在且唯一. 我们以下的讨论，都在满足上述条件下进行.
一阶常微分方程组常表述为：
y1f1(x,y1, ,ym)
( axb)
ym fm(x,y1, ,ym)
y1 ( x0 ) 1
本章专门 讨论
如何利用数值方法求解微分方程（组）的问题。
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3.什么是微分方程 (组)的解析解?
3.什么是微分方 程(组)的解析解?
一个或一组具有所要求阶连续导数的解析函数，将 它代入微分方程（组），恰使其所有条件都得到满 足的解称为解析解(或古典解),称为真解或解。
寻找解析解的过程称为求解微分方程组。
在大量的实际方程中出现的函数起码的连续性都 无法保证，更何况要求阶的导数
求解数值解
很多微分方程 根本求不到 问题的解析解！
重要手段。
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5.常微分方程数值解法的特点 常微分方程的数值解法常用来求近似解
根据提供的算法 通过计算机
便捷地实现
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数值解法得到的近似 解(含误差)是一个 离散的函数表.
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§2、初值问题的数值解法―单步法
简单的数值方法与基本概念
1. 简单欧拉法（Euler） 2．后退的欧拉法 3．梯形法 4．改进Euler法
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1. 简单的欧拉(Euler)方法
考虑模型：
yf(x,y) axb (1.1)
y(x0) y0
(1.2)
欧
拉
最简单而直观
方
实用方法
法
弄清常微方程初值
在精度要求不高时
问题数值解法的一 些基本概念和构造
方法的思路.
通过2020欧/10/28拉方法的讨论
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2. 欧拉方法的导出
把区间［a,b］
分为n个小区间
N等分
步长为 hi (xi1-xi)
节点 x i a i h i , 一 般 取 h i h ( ( b a ) / n ) 即 等 距
第九章 常微分方程的数值解法
主要内容
§1、引言
§2、初值问题的数值解法--单步法
§3、龙格-库塔方法
§4、收敛性与稳定性
§5、初值问题的数值解法―多步法
§6、方程组和刚性方程
§20207/1、0/28习题和总结
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§1、 引 言
主要内容 ➢研究的问题
➢数值解法的意义
2020/1程 ? 现实世界中大多数事物
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nn
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或用向前差 商近似导数
y(xn)y(xn1)hy(xn)
y ( x n 1 ) y ( x n ) h y ( x n ) y n h f ( x n ,y n )
x0
x1
y i 1 y i h f ( x i,y i)( i 0 ,.,. n . 1 )
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y
m
( x0
)
m
方程组
初值条件
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写成向量形式为
yf(x,y) y(x0)y0,
axb x0(x0 (1), ,x0 (m ))T
高阶常微分方程定解问题如二阶定解问题：
y f (x, y, y)
y(a) y(a)
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a xb
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这些解法都可以写成向量形式 用于一阶常微分方程组的初值问题. 也就解决了高阶方程的定解问题.
依上述公式逐次计算可得：
y1 y0 hf ( x0 , y0 ) y2 y1 h f ( x1, y1 )
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
yn1 yn hf ( xn , yn )
每步计算 只用到 2020/10/28
y n1
yn
例题
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故也称Euler为单步法。 公式右端只含有已知项 y n
所以又称为显格式的单步法。
3.欧拉公式有明显的几何意义
过 点(x0,y0)的 曲 线 是 解y(x)在(x0,y0) 作y(x)的 切 线 与 直 线xx1交 于(x1,y1) 再 作 切 线 交 于(x2,y2)