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蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第3章 成本最小化)

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1.某厂商具有Leontief 生产函数:{}1122min ,y x x ββ=,120ββ>、。

(1)求条件要素需求函数和成本函数; (2)画出成本函数曲线。

解:(1)在Leontief 生产函数中,产量仅是11x β/和12/x β中较小的一个值,所以,无论是利润最大化或者是成本最小化问题,厂商的最优投入必然满足1122=x x ββ。

在此约束下,生产函数可以简单地写为11y x β=(当然也可以写为22y x β=)。

从而,对于预先给定的产量0y ≥,条件要素需求是:11 x y β=,22x y β=成本函数:()()1122c y w w y ββ=+。

(2)厂商的成本函数如图3-1所示。

图3-12.某厂商具有线性生产函数:12y ax bx =+,,0a b >。

(1)求条件要素需求函数和成本函数; (2)画出成本函数曲线。

解:(1)成本最小化问题是:11220min X w x w x ≥+..s t 12ax bx y +=①若12w w a b <,条件要素为()()12, ,0x x y a **=,成本函数是()1c y w y a =;②若12w w a b >,条件要素为()()120, ,x x y **=,成本函数是()2c y w y b =;③若12w w a b =,最优解可取线段12ax bx y +=上任一点,在此不妨取()()12, ,0x x y a **=,所得的成本函数形式上与①中一致,取另一端点可得②中的成本函数形式。

但是在这里的条件下,这二者是等价的。

(2)图略。

3.某厂商具有Cobb-Douglas 生产函数:112y Ax x αα-=,0A >,01α≤≤。

证明其成本函数形式为()112,c w y Bw w y αα-=,其中B 是依赖于A 和α的常数。

证明:成本最小化问题是:()1122min w x w x +..s t 112Ax x y αα-=构造拉格朗日函数()()1112212L w x w x Ax x y ααλ-=+-- 成本最小化的一阶必要条件为:1111210L w Ax x x ααλα--∂=-=∂ ()212210L w Ax x x ααλα-∂=--=∂ 变形为:()()()11112w A x x ααααααλα--=()()()11112121w A x x ααααααλα----=-⎡⎤⎣⎦两式相乘得:()11121w w A ααααλαα--=-从而:()11121211w w Bw w A ααααααλαα---=-其中B 是依赖于A 和α的常数。

代入一阶条件,并利用约束等式,得到:11y w x λα=()221yw x λα-=从而,()1112212,c w y w x w x y Bw w y ααλ-=+==。

4.证明成本函数的性质:(1)(),c w y 是w 和y 的单增函数; (2)(),c w y 是w 的一次齐次函数。

证明:(1)任取0y ≥,记必要投入集()(){}V y y x f x =≥,按定义:()(),min x V y c w y wx ≤=只要生产函数是单调的,对任何12y y <,必然有()()12V y V y ⊇,所以()()()()1212,min min ,x V y x V y c w y wx wx c w y ≤≤=≤=。

(2)记要素价格为w 时的条件要素需求函数为(),x w y ,它满足一阶必要条件:()()i ijj f x w w f x **=(), 1....,i j n = 等式右边分式的分子分母同乘以正数t 等式仍然成立,说明在价格tw 下,条件要素需求仍然是(),x w y 。

所以,()()(), , , c tw y twx w y tc w y ==。

5.证明:如果生产函数是凹函数,则成本函数(),c w y 是y 的凸函数。

证明:对任何产量1y 和2y ,记相应成本最小化问题的解(也就是条件要素需求)分别是1x *和2x *,按定义:()()1122f x y f x y **==,,()11c y wx *=,()22c y wx *=对任何[]0,1t ∈,记()3121y ty t y =+-。

由生产函数的凹性得,()()()()3121211y tf x t f x f tx t x ****⎡⎤=+-≤+-⎣⎦,这意味着()121tx t x **+-足以生产产量3y ,所以:()()()()()()3121212111c y w tx t x twx t wx tc y t c y ****⎡⎤≤+-=+-=+-⎣⎦即()c y 是产量y 的凸函数。

6.证明:对于位似生产函数,规模收益弹性与成本的产量弹性存在关系:()()[], 1cy e x w y E r =/。

证明:考虑位似生产函数:()()y f x F g x ==⎡⎤⎣⎦这里()0F '⋅>,()g x 是一次齐次函数。

根据1.4节的推导,规模收益函数为:()()()()()d d g x F g g x F e x g y F g x '=⋅=⎡⎤⎣⎦如果(),x x w y *=为产出为y 时的条件要素需求,它必需满足一阶条件:()()()() 'i i i w f x c y F g g x λ***'==其中第二个等式用到了拉格朗日系数的意义:()'c y λ*=。

上式两边同乘以i x *并对i 加总,得到()()()11nni i i i i i w x c y F g g x x ***==''=∑∑。

由于()g x 是一次齐次函数,由欧拉定理有:()()1ni ii g x xg x ***==∑代入()()()11nni i i i i i w x c y F g g x x ***==''=∑∑的右端,等式左端即为产出y 的成本()c y ,这就得到:()()()() ''*c y c y F g g x =根据成本的产量弹性定义,有:()()()()()()1c y c y y y E y c y F g g x e x **'==='7.考虑一个两工厂厂商,其工厂的成本函数分别为()2111 2c y y =和()()22221c y y =+ (1)什么条件下厂商只使用一个工厂?什么条件下厂商需要两个工厂同时生产?(2)推导厂商的成本函数。

解:()1114c y y '=,()22222c y y '=+。

(1)如果厂商同时使用两个工厂,应当满足()()1122c y c y ''=; 但是,注意到()()22202c y c ''≥=,而当112y ≤/时,()112c y '≤。

所以,当112y ≤/时,厂商只会选择在工厂1生产; 当且仅当112y >/时,厂商才会同时使用两个工厂。

(2)在同时使用两个工厂的情况下,厂商的产量分配满足()()1122c y c y ''=,由此解得:()113y y =+/,()2 213y y =-/此时总成本为:()()()()22211221212211333y y c y c y c y y +-⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成本函数为:()()222213y c y y ⎧⎪=⎨+⎪⎩1212y y ≤>8.假设一个竞争厂商的成本函数是()2211,,c w w y w y w αβγ=。

(1)参数α、β和γ需要满足什么条件,()12c w w y ,,才是一个典型的成本函数? (2)求条件要素需求函数。

解:(1)根据成本函数的性质,典型的成本函数()c w y ,应当是w 和y 的单增函数,是w 的一次齐次函数,同时还是w 的凹函数。

据此,必然要求,,0αβγ≥,1αβγ++=。

在这两个条件下,()12c w w y ,,=12w w y αβγ为w 凹函数的条件自动成立(可检查海赛矩阵主子式的符号确为正负相间)。

(2)在成本函数已知的条件下,根据Shephard 引理可以求出条件要素需求:()()11121,,c w y x w y w w y w αβγα-∂==∂,()()12122,,c w y x w y w w y w αβγβ-∂==∂9.一个厂商有两个工厂,这两个工厂的成本函数是相同的()() 0;0,0 i y F k c y F ky α>>=>+1,2i =但如果厂商只在一个工厂生产,另一个工厂的固定成本F 是可以避免的,即是说()00i c =。

(1)成本最小条件(3.28)是否一定成立?为什么?(2)在1α=和3α=两种情况下,厂商如何决定是在一个工厂生产还是同时在两个工厂生产?(3)在3α=条件下,什么产量范围内存在规模经济? 解:(1)由于这里存在厂商只使用一个工厂的可能性,而这意味着成本最小化问题中需要考虑角点解,所以第3章中成本最小化条件(3.28)不一定成立。

(2)1α=时,两工厂的成本函数变为:()i i i c y F ky =+。

由于两个工厂的边际成本都是常数k ,无论厂商需要生产多少产量y ,它总可以将所有产品安排在一个工厂生产,维持边际成本k ,同时节约另一工厂的固定成本F 。

据此,厂商的成本函数即为一个工厂的成本函数()c y F ky =+。

3α=时,()3i i i c y F ky =+,()23i i i c y ky ='。

在产量为y 时,如果厂商同时使用两个工厂,成本最小化要求:()()1122122y c y c y y y ''⇒===。

这种情况下,厂商成本函数为:()()()()31222222c y c y c y F k y =+=+如果厂商只使用一个工厂,它的成本函数为:()3I c y F ky =+所以,厂商的产量配置取决于两个成本的大小。

厂商只使用一个工厂的条件是:()33222F ky F k y +≤+/,即()134/3y F k ≤因此,厂商的成本函数是:()()3322/2F kyc y F k y ⎧+⎪=⎨+⎪⎩334/34/3y F k y F k ≤>(3)根据刚才建立的成本函数,计算成本对产量的弹性系数:34/3y F k ≤时,()()()33311333c y c y y F ky Fc y E y kyky +===+'; 34/3y F k >时,()()()333/1818333c y c y y F ky Fc y E y ky ky +===+'。

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