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初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一）
安徽省巢湖市教学研究室 张永超
(本讲适合初中)
方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。

有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。

解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。

一、知识要点 1.形如
方程的解的讨论：
⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解； ②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。

2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关
知识。

⑴若
，则它有一个实数根＝1；若
，则它有一个实数根＝－1。

⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数
(≠0)的图象结合
起来考虑是常用方法。

3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。

4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。

5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。

二、例题选讲 1.方程整数根的讨论 例1.已知
，且方程
的两个实数根都是整数，则其最大的根是 。

解：设方程的两个实数根
为
、
，
则
，所
以。

因为
、都是整数，且97是质数，若设
＜
，则
，
，或
，
，因此最大的根是98。

评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。

这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如：
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类题.(2004年四川)已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数
根，则－等于( )
A.1；
B.2；
C.±1；
D.±2. 分析：依题意得⊿=，所以
，由，为整
数得
，或
，或
，或
， 所以－=±
1。

例2.(2000年全国竞赛)已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数
有______个。

解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。

①当时，
，符合题意；
②当
时，原方程是一元二次方程，易知
是方程的一个整数根。

设是方程的另一个整数根，
由一元二次方程根与系数的关系得。

因为
是整数，所以
±1，或±2，∴
=－1，0，2，
3。

结合①、②得，本题符合条件的整数有5个。

评注：本例首先对项的系数是否为零进行了分类讨论。

对于
时方程解的讨论方法具有一般性，
即由
是整数判断得
±1，或±2。

延伸拓展：例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应用到整除知识与分解变形技巧，是初中数学竞赛常考的内容，如：
(2004年信利杯)已知、是实数，关于、的方程组有整数解(，)，求、满
足的关系式。

解：原方程组可化
为
，所
以
，显然方程中≠－1，因
此。

因为、是整数，所以
，即=0，或－2。

当=0时，=0，此时、满足的关系式是=0(为任意实数)； 当=－2时，=8，此时、满足的关系式。

例3.(2004年全国联赛)已知方程
的根都是整数，求整数的值。

解：原方程的解为。

因为方程式的根都是整数，所以必须是完全平方式。

设(＞0)，则，所以。

∵
，且＞，
解得=10，0，－18，－8。

评注：涉及完全平方数的一元二次方程整数根讨论的问题，往往应用到分解质因数相关知识与技巧，这类题在近年初中数学竞赛题中较为常见，有的问题须多次使用根的判别式，多次变换讨论的对象，如：
的二次方程有有理根，则的值
类题.(2004年太原)已知为整数，若关于
是。

分析：由已知得为完全平方数。

设(为正整数)，即
①
应为完全平方数。

令(正整数，且＞)，则，因此，
解得，所以①可化为，解得=－2，或=0(舍去)。

例4.(2001年全国竞赛)如果，为质数，且，，那么的值为( )
A.；
B.或2；
C.；
D.或2.
解：依题意，，都是关于的方程的根。

若≠，则，是方程两个不相等的实数根，所以。

因为，为质数，所以=2、=11或=11、=2，因此=；
若=，则==2，或==11，所以=2。

因此本题答案选B。

评注：本题解答应用了质数的概念与分类讨论思想。

，都是关于的方程的根，可能有=与≠这一点容易忽视。

两个质数的和是13，这两个数只能是2与11.
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